Gejzer Old Faithful w parku narodowym Yellowstone wybucha parą w bardzo przewidywalnych odstępach, zależnych od czasu poprzedniej erupcji. Historycznie było tak, że jeśli trwała ona minutę, do kolejnej trzeba było czekać około 46 minut. Jeśli dwie minuty, następna była za około 58 minut. Jeśli 3 minuty, na kolejną czekano 70 minut. Jak widzisz, jest to – pomijając geologiczne przybliżenie – ciąg arytmetyczny, którego kolejne wyrazy to 46, 58, 70, 82, 94, a różnica wynosi 12. Znajomość ciągów może ci się więc przydać, gdy zechcesz odwiedzić Yellowstone. Na jednej z matur pojawiło się zadanie dotyczące ciągów, warte aż 5 punktów. Rozwiążemy je teraz razem. Zobaczysz, że nie jest to wcale takie trudne. Nieskończony ciąg liczbowy an jest określony wzorem: an równa się 2 odjąć 1 przez n, dla n równego 1, 2, 3 i tak dalej. Polecenie składa się z dwóch części. Zacznijmy od rozwiązania podpunktu pierwszego. Oblicz, ile wyrazów ciągu an jest mniejszych od 1,975. Aby obliczyć, ile wyrazów ciągu an jest mniejszych od tej liczby, należy zapisać odpowiednią nierówność. Wyrazy obliczamy z tego wzoru który przepiszę pod spodem. Mamy znaleźć te, które są mniejsze niż 1,975. Potrafisz już rozwiązywać takie nierówności. Zrób to teraz a samodzielnie, a potem sprawdź, czy mamy tak samo. Minus 1 przez n przerzucę na prawą stronę nierówności ze zmienionym znakiem, a 1,975 przerzucę na lewą stronę ze zmienionym znakiem. Otrzymujemy 2 odjąć 1,975 jest mniejsze niż 1 przez n. Z tego wynika, że 0,025 jest mniejsze niż 1 przez n. Obie strony nierówności mnożymy przez n. Mogę to zrobić, ponieważ wiem, że mamy do czynienia z ciągiem, czyli liczby ujemne i 0 są wykluczone. 0,025 razy n jest mniejsze niż 1. Teraz obie strony nierówności dzielimy przez 25 tysięcznych. n jestem zatem mniejsze niż 1 podzielić przez 25 tysięcznych. Zamienimy liczbę dziesiętną na ułamek zwykły. Otrzymujemy 1 przez 25/1000. 1 podzielić przez 25/1000 to 1000/25, czyli 40. n jest mniejsze niż 40. Jaki z tego wniosek? Wyrazy ciągu opisanego wzorem: 2 minus 1 przez n są mniejsze niż 1,975, dla n mniejszych niż 40. Pamiętaj, że w ciągach litera n oznacza numer miejsca, na którym znajduje się dany wyraz. Może zatem przyjmować wartości naturalne dodatnie, czyli 1, 2, 3 i tak dalej. Mamy to nawet zapisane w treści zadania. Spośród liczb naturalnych dodatnich wybieramy te, które są mniejsze niż 40. Ile ich jest? 39. Mamy odpowiedź do pierwszej części zadania. 39 wyrazów ciągu jest mniejszych od 1,975. Zabierzmy się teraz za drugi podpunkt. Dla pewnej liczby x trzywyrazowy ciąg a2, a7 i x jest arytmetyczny. Oblicz x. Z jakiej własności ciągu arytmetycznego tutaj skorzystamy? Wiemy, że dla trzech występujących po sobie wyrazów ciągu arytmetycznego średnia arytmetyczna skrajnych jest taka sama, jak wyraz środkowy. Oznacza to, że a2 dodać x podzielić przez 2 równa się a7. Nie znamy x, ale a2 oraz a7 możemy obliczyć. Zrób to samodzielnie. a2 to 2 odjąć 1/2, czyli 1 i 1/2. a7 to 2 odjąć 1/7, czyli 1 i 6/7. Wstawiając otrzymane wartości do tego równania otrzymujemy 1 i 1/2 dodać x podzielić przez 2 równa się 1 i 6/7. Spróbuj samodzielnie rozwiązać to równanie. Najpierw zamieńmy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe. Otrzymamy 3/2 dodać x podzielić przez 2 równa się 13/7. Teraz obie strony równania mnożymy przez 2. Z lewej strony dwójki się skrócą i zostanie 3/2 dodać x, a z prawej dostaniemy 26/7. Aby wyznaczyć x wystarczy teraz przenieść trzy drugie na prawą stronę ze zmienionym znakiem. x równa się 26/7 odjąć 3/2. Sprowadzamy oba ułamki do wspólnego mianownika, którym jest na przykład liczba 14. 26/7 to 52/14, a 3/2 to 21/14. 52/14 odjąć 21/14, to 31/14, czyli 2 całe i 3/14. Wykonaliśmy drugą część zadania. Gratulacje! Jak widzisz, to zadanie nie było wcale trudne. W pierwszym podpunkcie należało zapisać odpowiednią nierówność, rozwiązać ją i wyciągnąć poprawne wnioski, a w drugim skorzystać z odpowiedniej własności i rozwiązać proste równanie. Utrudnieniem były tylko nieprzyjemne ułamki. Inne zadanie, które również pojawiło się na egzaminie maturalnym, brzmi następująco: dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego an określonego dla n większych bądź równych 1 jest równy 30, a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa 162. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu. Co wiemy z treści zadania? Wiemy, jaki jest 12. wyraz ciągu an. Jest nim liczba 30. Znamy też sumę 12 początkowych wyrazów. Ta suma to 162. Szukamy pierwszego wyrazu tego ciągu. Gdy mowa o sumie ciągu arytmetycznego, od razu zapisujemy na nią wzór i wstawiamy znane nam już dane. Suma n początkowych wyrazów ciągu to a1 dodać an podzielić przez 2, razy n. Jaki będzie zatem wzór na sumę 12 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego? Spróbuj zapisać go samodzielnie. S12 – bo tak oznaczamy sumę 12 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego – równa się: a1 dodać a12 podzielić przez 2, razy 12. Wiemy, ile wynosi ta suma? Wiemy, 162. W miejsce S12 wstawiamy 162. Nie znamy pierwszego wyrazu. To jego poszukujemy. A czy znamy 12. wyraz tego ciągu? Znamy, wynosi 30. W miejsce a12 wstawiamy więc 30. Co otrzymaliśmy? Równanie, które należy rozwiązać. Spróbuj zrobić to samodzielnie. Przepisuję 162. 2 i 12 się skrócą. Po prawej stronie zostanie zatem a1 dodać 30 w nawiasie, razy 6. Teraz obie strony równania dzielę przez 6. 162 podzielić przez 6 to 27. Z prawej strony zostaje a1 dodać 30. Teraz od obu stron równania odejmuję 30 i mamy minus 3 równa się a1. Pierwszym wyrazem ciągu an jest liczba minus 3. Wykonaliśmy wszystkie zadania. Dobra robota. Rozwiązując zadania z ciągów, w których obliczasz n, czyli odpowiadasz na pytanie, na przykład ile wyrazów, które z wyrazów pamiętaj, że musi przyjmować wartości naturalne większe od 0. Chcesz wiedzieć więcej o ciągu arytmetycznym? Obejrzyj pozostałe lekcje z tego działu. Wszystkie znajdziesz na naszej stronie internetowej pistacja.tv.