Ciąg geometryczny - wprowadzenie

Pewne bakterie – kuzynki laseczek jadu kiełbasianego – mnożą się, czyli dzielą, nawet co 10 minut. Teoretycznie jedna taka bakteria potrzebowałaby niecałych 5 godzin żeby wyprodukować aż 500 milionów potomków. Na szczęście te rekordzistki są pożyteczne. Przerabiają szczątki roślin i zwierząt na proste związki. Z jednej bakterii po 20 minutach powstają dwie bakterie. Ile bakterii powstanie z jednej po godzinie, ile po trzech godzinach, a ile po jednej dobie? Jak się domyślasz, liczba bakterii po jednej, 3 i 24 godzinach będzie tworzyć ciąg. Na początku mamy jedną bakterię. Oznacza to, że b1 równa się 1. Po 20 minutach mamy już dwie bakterie. b2 równa się 2. W kolejnym podziale, który nastąpi po 20 minutach, każda z dwóch bakterii podzieli się na dwie. Po 40 minutach będziemy mieć 4 mikroby. Po 60 minutach możemy zaobserwować, że bakterii jest już 8, bo z każdej z czterech powstały kolejne dwie. Możemy dać już odpowiedź na pierwszą część pytania. Po godzinie z jednej bakterii powstanie kolonia 8 mikrobów. Dlaczego ośmiu? Bo jedna godzina to 3 razy 20 minut, czyli 3 cykle podziału. Kolejne wyniki wpiszmy w tabelę. Pierwszy wiersz określa numer pozycji w bakteryjnym ciągu. Zauważ, że numer pozycji jest w naszym przypadku zawsze o 1 większy od liczby cykli podziału. W ciągu godziny mamy trzy dwudziestominutowe cykle, więc po godzinie jesteśmy na pozycji czwartej. Jak widzisz, każdy kolejny podział dwukrotnie zwiększa liczbę bakterii. Po pierwszym cyklu, czyli w drugiej pozycji mamy dwie bakterie, po drugim 4, po trzecim 8. W piątej pozycji mamy 16 bakterii, a w szóstej 32. Teraz zastanówmy się, ile bakterii będzie po trzech godzinach. W ciągu 3 godzin mamy 9 dwudziestominutowych cykli. Numer pozycji będzie wynosił zatem 9 dodać 1, czyli 10. Jaką liczbę będziemy mieć w tabeli w pozycji dziesiątek? Policzmy w pamięci. Szósty cykl, czyli 7. pozycja to 64 bakterie. W pozycji 8. mamy już 128 mikrobów, w dziewiątej 256, a w dziesiątej, czyli po 9 cyklach – to znaczy po trzech godzinach – 512 bakterii. Spróbujmy określić wzór pozwalający nam obliczyć liczbę bakterii w n-tej pozycji, czyli bn. Zauważ, że mamy tu do czynienia z potęgami liczby 2. Możemy więc zapisać nasz wzór jako bn równa się 2 do potęgi n minus pierwszej. Ten wzór pozwala nam obliczyć, ile bakterii będziemy mieć po 24 godzinach, czyli po jednej dobie. Liczba cykli w tym czasie to 3 razy 24, czyli 72. Pozycja, której wartość chcemy obliczyć będzie mieć zatem numer 73. Wstawiając do tego wzoru w miejsce litery n liczbę 73 otrzymamy: b73 równa się 2 do potęgi 73 minus 1, a to daje nam 2 do potęgi 72. Jest to tak duża liczba, że nie będziemy jej wyznaczać. Zostawimy zapis w potędze. Zastanów się, jak obliczyć liczbę bakterii gdy na początku mamy nie jedną, lecz trzy. Jakim wzorem można opisać taką sytuację? Dla ułatwienia posłużymy się jeszcze raz naszą tabelą. W pierwszej pozycji mamy trzy bakterie. Potem ich liczba się podwaja, czyli po pierwszym cyklu – to znaczy w drugiej pozycji – jest ich 6, po kolejnym 12 i tak dalej. Jak różnią się wartości wyrazów od tych, które mieliśmy w tabeli wcześniej? Każdy będzie trzykrotnie większy. W takim razie, jak będzie wyglądać nasz wzór? Będzie to cn równa się 3 razy 2 do potęgi n minus pierwszej. W tym ciągu każdy wyraz poza pierwszym powstaje poprzez wymnożenie wyrazu poprzedzającego przez pewną liczbę, tak jak w tym przypadku, przez liczbę 2. Taki ciąg w matematyce nazywamy ciągiem geometrycznym, a liczbę przez którą mnożymy, ilorazem ciągu. Iloraz ciągu oznaczamy literą q. Mam teraz dla ciebie zadanie. Sprawdź, czy ciąg zapisany w tabeli jest geometryczny. Można zaobserwować, że począwszy od drugiego wyrazu, każdy kolejny jest 4 razy większy od poprzedniego. 3 razy 4 to 12, 12 razy 4 to 48, a 48 razy 4 to 192. Możemy też to sprawdzić inaczej, wykorzystując dzielenie. Wyraz następny można podzielić przez wyraz poprzedzający. Na przykład 192 podzielić przez 48 to 4. Wynik jest taki sam dla dzielenia 48 przez 12 i 12 przez 3. Za każdym razem otrzymujemy 4, więc ten ciąg jest geometryczny. Jego wzór ogólny to an równa się 3 razy 4 do potęgi n minus pierwszej. Możemy to uogólnić stwierdzając, że ciąg geometryczny to ciąg o wzorze an równa się wyraz pierwszy, czyli a1 razy q do potęgi n minus pierwszej. Pamiętaj, że a1 oznacza pierwszy wyraz ciągu, a q – jego iloraz. Mam dla ciebie jeszcze jedno zadanie. Sprawdź, które z podanych ciągów są geometryczne. Dla każdego ciągu geometrycznego zapisz jego wzór ogólny. Mamy tutaj pierwszy ciąg: 2, 4, 6, 8, 10 i 12. Czy to jest ciąg geometryczny? Zobacz. Począwszy od wyrazu drugiego każdy wyraz jest o 2 większy od poprzedniego. O dwa, nie dwa razy, a więc to nie jest ciąg geometryczny. To jest ciąg arytmetyczny. Spójrz teraz na kolejny ciąg. 1/2, 3/2, 9/2 i 27/2. Każdy wyraz w tym ciągu jest trzykrotnie większy od poprzedniego. Łatwo to zobaczyć, bo w mianowniku ułamki się nie zmieniają, a każdy licznik jest 3 razy większy od poprzedniego. A więc jest to ciąg geometryczny o ilorazie q równym 3. Zapiszmy jego wzór. Pierwszy wyraz to 1/2, a iloraz właśnie poznaliśmy. Wynosi 3. Wzór ogólny tego ciągu geometrycznego to bn równa się 1/2 razy 3 do potęgi n minus pierwszej. Spójrz teraz na kolejny ciąg. Minus 2, 4, minus 8, 16, minus 32 i 64. Tu łatwiej nam będzie znaleźć iloraz ciągu dzieląc wyrazy. Na początek a2 podzielimy przez a1. 4 podzielić przez minus 2 to minus 2. Teraz a3 dzielimy przez a2. Minus 8 podzielić przez 4 to też minus 2. Sprawdź samodzielnie ilorazy dla pozostałych znanych wyrazów. 16 podzielić przez minus 8 to minus 2. Minus 32 podzielić przez 16 to też minus 2. Taki sam wynik da podzielenie liczby 64 przez minus 32. Mamy więc do czynienia z ciągiem geometrycznym. Zapiszmy jego wzór ogólny. Potrzebujemy pierwszego wyrazu oraz ilorazu. Pierwszy wyraz to minus 2. Iloraz, czyli q, to też minus 2. Wzór ogólny tego ciągu to minus 2 razy minus 2 do potęgi n minus 1. Przejdźmy teraz do ostatniego ciągu. 6, 6, 6, 6, 6 i 6. To jest ciąg stały. Zgodzisz się chyba, że taki ciąg też możemy określić jako geometryczny. Jego iloraz wynosi 1, a pierwszy i wszystkie pozostałe wyrazy tego ciągu to 6. Wzór ogólny to dn równa się wyraz pierwszy, czyli 6, razy iloraz, czyli 1, do potęgi minus pierwszej. To tyle w tej lekcji. Gratuluję! Ciąg liczbowy an nazywamy ciągiem geometrycznym jeśli istnieje taka liczba q, że każdy wyraz ciągu oprócz pierwszego powstaje poprzez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez tę liczbę. Można to zapisać w taki sposób: an plus 1 równa się an razy q dla każdego n należącego do liczb naturalnych dodatnich. Liczbę q nazywamy ilorazem ciągu. Zapraszam cię do obejrzenia pozostałych lekcji o ciągu geometrycznym oraz do zasubskrybowania naszego kanału.