Wzór ogólny ciągu geometrycznego - zadania

Gdy kupujesz zeszyt, możesz wybrać format A4 albo A5. Co to oznacza? Międzynarodowa norma definiuje trzy serie formatów – A, B i C. Interesująca nas seria A zaczyna się od A0, który odpowiada prostokątowi o powierzchni 1m kwadratowego przy czym jego wymiary są tak dobrane, że stosunek dłuższego boku do krótszego to pierwiastek z dwóch. Format A1 jest połową formatu A0, czyli krótszy bok arkusza A0 to dłuższy bok arkusza A1. Ale stosunek dłuższego boku do krótszego nadal jest równy pierwiastkowi z dwóch. Żeby znaleźć wymiary zeszytu A5 trzeba posłużyć się ciągiem geometrycznym. Opowiem ci o nim w tej lekcji. Już wiesz, że ciąg geometryczny to taki ciąg, w którym każdy wyraz oprócz pierwszego powstaje poprzez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez pewną liczbę zwaną ilorazem ciągu. Tę zależność możemy zapisać takim wzorem rekurencyjnym: an plus 1 równa się an razy q dla każdego n należącego do zbioru liczb naturalnych dodatnich. Pamiętaj, że wzór rekurencyjny to taki, który pozwala na obliczenie kolejnego wyrazu korzystając z poprzedniego. A jak nazywa się wzór, w którym możemy obliczyć dowolny wyraz ciągu znając tylko jego pozycję? Taki wzór nazywamy wzorem ogólnym. Dla ciągu geometrycznego będzie to an równa się a1 razy q do potęgi n minus pierwszej. Pokażę ci, jak wykorzystać podane informacje w zadaniach o ciągach. Pierwsze zadanie brzmi: Wyznacz wzór ogólny ciągu geometrycznego, w którym trzeci wyraz wynosi 27, a czwarty 9. Szukamy wzoru ogólnego dla tego ciągu geometrycznego. Dla każdego ciągu geometrycznego wzór ogólny to an równa się a1 razy q do potęgi n minus pierwszej. Czego zatem potrzebujemy? Wyrazu pierwszego i ilorazu. Co wiemy z treści zadania? Trzeci wyraz to 27, czyli a3 równa się 27, a czwarty to 9, czyli a4 równa się 9. Skoro mamy podane dwa kolejne wyrazy, możemy obliczyć iloraz tego ciągu. Spróbuj to zrobić samodzielnie. Czwarty wyraz powstaje przez pomnożenie trzeciego przez iloraz, czyli q. Dzieląc obie strony równania przez a3 otrzymujemy q równe a4 podzielić przez a3. Podstawiając dane z treści zadania otrzymujemy 9/27, a po skróceniu 1/3. Mamy już iloraz ciągu. To jedna trzecia. Obliczmy wyraz pierwszy, obliczając kolejno a2 i a1. Wartość drugiego wyrazu to wartość trzeciego podzielona przez iloraz, czyli przez q. Mamy zatem 27 podzielić przez 1/3, a to równa się 27 razy 3, czyli 81. W ten sam sposób możemy obliczyć wyraz pierwszy, którego potrzebujemy do zapisania wzoru ogólnego. a1 równa się a2 podzielić przez q, czyli 81 podzielić przez 1/3, a to się równa 81 razy 3, czyli 243. Mamy już teraz wszystkie dane, dzięki którym zapiszemy wzór ogólny tego ciągu. W miejsce a1 wstawiamy 243, a w miejsce q 1/3 i mamy an równa się 243 razy jedna trzecia do potęgi n minus pierwszej. Przejdźmy do kolejnego zadania. Między liczbę 3 i liczbę 768 wstaw trzy inne liczby tak, aby wszystkie tworzyły pięcioelementowy ciąg geometryczny. Wykonajmy rysunek do tego zadania. Mamy liczbę 3. Potem jakieś 3 liczby, których nie znamy. Na końcu zapisuję 768. Pierwszy wyraz, czyli 3, to a1. Liczba 768 to piąty wyraz ciągu. Aby znaleźć a2, a3 i a4 potrzebujemy ilorazu ciągu. Jak go znaleźć? Masz jakiś pomysł? Wykorzystajmy informację, że a5 to 768. Znamy też a1, czyli 3. Wykorzystajmy wzór ogólny. an równa się a1 razy q do potęgi n minus pierwszej. Piąty wyraz, czyli a5, to a1 razy q do potęgi 5 odjąć 1. Skoro piąty wyraz to 768, a pierwszy to 3, to wstawiając te dane do tego wzoru mamy 768 równa się 3 razy q do potęgi 4. Żeby obliczyć iloraz, najpierw dzielimy obie strony równania przez 3. Mamy 256 równa się q do potęgi czwartej. Aby znaleźć q należy zadać sobie pytanie, jaka liczba podniesiona do potęgi czwartej to 256. Taką liczbą jest 4, bo 4 do potęgi czwartej to 256. W tym przypadku podstawa potęgi jest taka sama, jak wykładnik. Pamiętaj jednak, że nie musi być tak za każdym razem. Czy to jedyne rozwiązanie? No nie. Minus 4 do potęgi czwartej to też 256. Pamiętaj, że tego równania nie można pierwiastkować. Pierwiastek da nam tylko liczbę dodatnią. Stracilibyśmy wtedy rozwiązanie ujemne. Jakie wyciągamy wnioski z tego, że otrzymaliśmy dwa różne ilorazy? Takie, że możemy otrzymać 2 różne ciągi spełniające warunki podane w treści zadania. Pierwszym jest ciąg, w którym każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez 4. Zaczynamy od początku. Pierwszy wyraz to 3. Drugi to 3 razy 4, czyli 12. Trzeci to 12 razy 4, czyli 48. Czwarty to 48 razy 4, czyli 192. Mnożąc 192 przez 4 otrzymamy 768. Wszystko się zgadza. To pierwsza odpowiedź. Zróbmy to samo dla q równego minus 4. Otrzymamy nowy ciąg. Pierwszy wyraz to 3. Drugi to 3 razy minus 4, czyli minus 12. Trzeci to minus 12 razy minus 4, czyli 48. Czwarty to 48 razy minus 4, czyli minus 192. Minus 192 razy minus 4 daje nam wyraz piąty, czyli 768. Też się zgadza. To druga odpowiedź. Wykonaliśmy drugie zadanie. Gratulacje! Teraz przyszedł czas na następne. Wyznacz iloraz ciągu geometrycznego bn, w którym b3 to 1 i 1/2, a b5 to 1 i 1/4. Przypomnijmy sobie wzór ogólny. bn równa się b1 razy q do potęgi n minus pierwszej. Wstawmy do niego dane z treści zadania. Skoro piąty wyraz to 1 i 1/4, to 1 i 1/4 równa się b1 razy q do jakiej potęgi? Skoro to piąty wyraz, to do potęgi 5 odjąć 1, czyli 4, Dla wyrazu piątego mamy równanie 1 i 1/4 równa się b1 razy q do potęgi czwartej. Zrób to samo dla wyrazu trzeciego. Skoro b3 to 1 i 1/2, to 1 i 1/2 równa się b1 razy q do potęgi drugiej. Mamy dwa równania, w których występują dwie niewiadome. Da się zatem je obliczyć rozwiązując ten układ równań. Masz jakiś pomysł, jak to zrobić? Ja postanowiłem podzielić pierwsze równanie przez drugie. Dzielenie zapiszę za pomocą kreski ułamkowej, zamieniając liczby mieszane na ułamki niewłaściwe. 1 i 1/2 to 3/2, a 1 i 1/4 to 5/4. Po prawej stronie w liczniku mamy b1 razy q do potęgi czwartej, a w mianowniku b1 razy q do potęgi drugiej. Popatrz na prawą stronę równania. b1 nam się skróci, a z dzielenia potęg zostanie q do kwadratu. Ile to jest 5/4 podzielić przez 3/2? To jest to samo, co 5/4 pomnożyć przez 2/3. Z obliczeń po lewej dostajemy 5/6. Jaka liczba podniesiona do kwadratu to 5/6? Taką liczbą jest pierwiastek z 5/6 albo minus pierwiastek z 5/6. To wszystkie zadania w tej lekcji. Dobra robota! Znając wartości dwóch dowolnych wyrazów ciągu geometrycznego i miejsca, na których stoją te wyrazy, możemy wyznaczyć iloraz tego ciągu i jego pierwszy wyraz. Aby to zrobić, ułóż układ równań dwukrotnie wykorzystując wzór ogólny i rozwiąż go, na przykład dzieląc równanie przez siebie, lub zastanów się, ile razy wcześniejszy z wyrazów należy pomnożyć przez iloraz, aby otrzymać wyraz kolejny, następnie ułóż odpowiednie równanie i rozwiąż je. Zadania tego typu bardzo często mają dwa rozwiązania. Pamiętaj o tym. Zapraszam cię do obejrzenia kolejnej lekcji z tego działu oraz do odwiedzenia naszej strony na Facebooku.