Trzy wyrazy ciągu geometrycznego

Playlista: Ciąg geometryczny

Z tego filmu dowiesz się:


  • jaka jest zależność między trzeba kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego,
  • jak ją stosować w zadaniach.

Podstawa programowa


Autorzy i materiały

Lista wszystkich autorów


Tutor: Krzysztof Chojecki

Konsultacja: Krystyna Parszuto

Grafika podsumowania: Agnieszka Opalińska

Materiały: Krzysztof Chojecki, Agnieszka Opalińska

Korekta: Małgorzata Załoga

Produkcja


Katalyst Education

Lista materiałów wykorzystanych w filmie


tommyvideo (CC0)
Katalyst Education (CC BY)

Wiedza niezbędna do zrozumienia tematu

Aby w pełni zrozumieć materiał zawarty w tej playliście, upewnij się, że masz opanowane poniższe zagadnienia.

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

Stopa zwrotu to powszechnie używany przez ekonomistów i maklerów sposób oceny, czy inwestycja w danym okresie przyniesie zysk, czy też nie. Do jej wyliczania wykorzystuje się średnią geometryczną, która ma związek z pewną własnością ciągu geometrycznego, którą poznasz w tej lekcji. Pewien ciąg geometryczny jest opisany wzorem an równa się 3 razy 2 do potęgi n minus pierwszej. Wypisz samodzielnie pięć pierwszych wyrazów tego ciągu. a1 to 3 razy 2 do potęgi zerowej, czyli 3. a2 to 3 razy 2 do potęgi pierwszej, czyli 6. a3 to 3 razy 2 do potęgi drugiej, czyli 12. a4 to 3 razy 2 do potęgi trzeciej, czyli 24. a5 to 3 razy 2 do potęgi czwartej, czyli 48. Wybierzmy teraz trzy dowolne wyrazy, tego ciągu, które stoją obok siebie. Ja wybieram trzy pierwsze wyrazy. Wyrazy, które stoją obok środkowego to 3 i 12. Ich iloczyn to 3 razy 12, czyli 36. Jaki wyraz znajduje się między 3 a 12? Sześć. A ile wynosi 6 do kwadratu? 36, czyli tyle, co iloczyn wyrazów skrajnych. Intrygujące, prawda? Ciekawe, czy tak jest zawsze? Weźmy trzy inne, kolejne wyrazy w tym ciągu. Tym razem niech będą to 6, 12 i 24. Iloczyn wyrazów skrajnych to 6 razy 24, czyli 144. Podnieśmy teraz wyraz środkowy do kwadratu. 12 do potęgi drugiej to 144, czyli tyle samo, co iloczyn wyrazów skrajnych. Sprawdźmy jeszcze, czy będzie tak dla wyrazów 12, 24 i 48. Iloczynem wyrazów skrajnych jest 12 razy 48, czyli 576. A ile to jest 24 do kwadratu? Też 576. Pokazaliśmy, że w trzech przypadkach w tym ciągu kwadrat wyrazu środkowego jest taki sam, jak iloczyn wyrazów skrajnych. Jak sprawdzić, czy taka własność zachodzi dla trzech dowolnych kolejnych wyrazów w tym ciągu? Mamy do dyspozycji wzór ogólny. N-ty wyraz obliczamy, mnożąc 3 przez 2 do potęgi n minus pierwszej. Jaki numer będzie miał wyraz stojący przed n-tym wyrazem? n minus jeden. A jaki będzie wzór na n minus pierwszy wyraz tego ciągu? Spróbuj wyznaczyć go samodzielnie. Aby wyznaczyć wzór na a(n minus 1), wystarczy do tego wzoru w miejsce n wstawić w nawiasie n minus 1. a(n minus 1) równa się zatem 3 razy 2 do potęgi n minus drugiej. Jaki numer będzie miał wyraz stojący po n-tym wyrazie? n plus 1. Jaki będzie wzór na n plus pierwszy wyraz? Do tego wzoru w miejsce litery n wstawiamy n plus jeden. a(n plus 1) równa się 3 razy 2 do potęgi n-tej. Trzy wyrazy stojące obok siebie w naszym ciągu to a(n minus 1), an oraz a(n plus 1). Obliczmy iloczyn wyrazów skrajnych. a(n minus 1) razy a(n plus jeden) to 3 razy 2 do potęgi n minus drugiej razy 3 razy 2 do potęgi n-tej. 3 razy 3 to 3 do potęgi drugiej. Korzystając z własności działań na potęgach wiemy, że iloczyn dwóch potęg o takich samych podstawach możemy zapisać jako jedną potęgę o takiej samej podstawie i wykładniku równym sumie wykładników. 2 do potęgi n minus drugiej razy 2 do potęgi n-tej to 2 do potęgi n odjąć 2 dodać n. Otrzymamy 3 do kwadratu razy 2 do potęgi 2n minus 2. Wróćmy teraz do wzoru na wyraz środkowy. Obliczmy jego kwadrat. Podnosimy zatem iloczyn 3 razy 2 do potęgi n minus pierwszej do kwadratu. Kwadrat iloczynu to iloczyn kwadratów. Mamy więc 3 do kwadratu razy 2 do potęgi n minus 1 do kwadratu. Jeżeli potęgę podnosimy do potęgi, podstawę przepisujemy, a wykładnik mnożymy. Otrzymamy 2 do potęgi 2 razy w nawiasie n minus pierwszej, zamykamy nawias. Po wymnożeniu dwójki przez nawias otrzymamy 3 do kwadratu razy 2 do potęgi 2n minus 2. Zauważ, że otrzymaliśmy to, co poprzednio. Oznacza to, że an do kwadratu równa się a(n minus 1) razy a(n plus 1). Udowodniliśmy tym samym, że w tym ciągu kwadrat środkowego wyrazu jest zawsze równy iloczynowi wyrazów sąsiednich. Matematycy wykazali, że taka własność występuje w każdym ciągu geometrycznym. Nie jest to wcale takie trudne, jak się wydaje. Pokażę ci, jak to zrobić. Niech an będzie ciągiem geometrycznym o ilorazie q różnym od zera. Weźmy trzy wyrazy występujące obok siebie, czyli a(n minus 1), an oraz a(n plus 1). W ciągu geometrycznym wyraz o numerze a(n minus 1) otrzymamy dzieląc wyraz an przez iloraz, który oznacza się literą q. a(n plus pierwszy) wyraz otrzymamy mnożąc wyraz an przez iloraz q. a(n minus 1) równa się zatem an podzielić przez q, a a(n plus 1) równa się an razy q. Obliczmy iloczyn wyrazów krańcowych, czyli a(n minus 1) oraz a(n plus 1) korzystając z tych wzorów. Mamy więc an podzielić przez q razy an razy q. q się skraca. an razy an to an do kwadratu. Tym samym udowodniliśmy, że w dowolnym ciągu geometrycznym iloczyn wyrazów krańcowych dla dowolnej trójki wyrazów jest taki sam jak kwadrat wyrazu środkowego. Ta własność ciągu geometrycznego jest często sprawdzana na egzaminach. Rozwiążemy teraz jedno z typowych zadań dotyczących tego zagadnienia. Liczby 2, 2x minus 1 oraz 1/2 są w podanej kolejności pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. Oblicz x. Korzystamy z poznanej własności. Wiemy, że iloczyn wyrazów krańcowych jest taki sam jak kwadrat wyrazu środkowego. Kwadrat wyrazu środkowego to w nawiasie 2x minus 1 do kwadratu. To równa się iloczynowi wyrazów sąsiednich, czyli 2 razy 1/2. Przepiszmy lewą stronę równania. Po prawej mamy dwa razy 1/2, czyli 1. Spróbuj teraz samodzielnie rozwiązać to równanie. Kwadrat pewnej liczby, która jest zapisana w postaci 2x minus 1 wynosi 1. Jaka liczba do kwadratu da nam 1? Jeden do kwadratu to jeden i minus jeden do kwadratu to jeden. Oznacza to, że rozwiązaniem wyrażenia 2x minus 1 w tym przypadku może być zarówno jeden, jak i minus 1. Kiedy 2x minus 1 równa się 1? Wtedy, kiedy 2x równa się dwóm, a to zajdzie wtedy, gdy x to 1. A kiedy 2x minus 1 równa się minus 1? Wtedy, gdy 2x równa się 0, a to zajdzie wtedy, gdy x równa się 0. Mamy zatem rozwiązanie. W miejsce x możemy wstawić dwie różne liczby i otrzymamy dwa różne ciągi geometryczne. Jeśli a(i minus 1), ai oraz a(i plus 1) są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego an, to kwadrat każdego wyrazu prócz pierwszego oraz ostatniego, gdy ciąg jest skończony jest równy iloczynowi wyrazów sąsiednich. Ten dział dotyczy ciągu geometrycznego. Wszystkie działy znajdziesz na naszej stronie internetowej: pistacja.tv.

Pobieranie materiałów

Poniższe materiały są udostępniane na otwartej licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 4.0.

cc-by