Jeśli masz psa, codziennie wyprowadzasz go na spacer. Gdy dorośniesz, zapewne wyprowadzisz się z domu. Na zakończenie uroczystości pada często komenda: Sztandar wyprowadzić! W matematyce też się wyprowadza. Wzory. Metodę wyprowadzania jednego z nich poznasz w tej lekcji. Wiesz już, jak liczyć sumę n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego. Pokażę ci, jak liczyć taką sumę dla ciągu geometrycznego. Spójrz na taki wzór ogólny pewnego ciągu geometrycznego. Trzy razy dwa do potęgi n minus pierwszej. Zatrzymaj lekcję i spróbuj samodzielnie wypisać kilka początkowych wyrazów tego ciągu. Pierwszym wyrazem jest liczba 3. Drugim - liczba 6. Trzecim - 12, czwartym - 24, piątym - 48. Tyle nam wystarczy. Ten ciąg jest nieskończony więc po przecinku zapisujemy trzy kropki. Sumę dwóch, trzech, czterech albo pięciu wyrazów tego ciągu można obliczyć na piechotę, dodając do siebie wartości kolejnych wyrazów. Wyobraź sobie jednak, że masz policzyć sumę dwudziestu pierwszych wyrazów ciągu opisanego tym wzorem. Aby obliczyć ją na piechotę musielibyśmy znaleźć jeszcze 15 kolejnych wyrazów tego ciągu i dodać je wszystkie do siebie. Zadanie dość czasochłonne. Dlatego matematycy wymyślili szybszy sposób na obliczenie sumy dowolnej liczby początkowych wyrazów dowolnego ciągu geometrycznego. Dlaczego? Bo są leniwi. Innymi słowy znaleźli na to wzór. Pokażę Ci, jak go wyprowadzili. Niech a_n oznacza dowolny ciąg geometryczny o ilorazie różnym od jednego. Nie znamy wzoru na ten ciąg. Znamy tylko jego nazwę i wiemy że jest geometryczny. Suma n pierwszych wyrazów tego ciągu to wyraz pierwszy dodać wyraz drugi dodać wyraz trzeci dodać wyraz czwarty i tak dalej, aż do wyrazu n-tego. Przepiszmy: S_n równa się a1. Wykorzystajmy fakt, że ciąg jest geometryczny. Oznacza to, że wyraz drugi powstaje poprzez pomnożenie pierwszego przez q. Zamiast a2 wpisujemy zatem a1 razy q. Trzeci wyraz powstaje przez przemnożenie pierwszego przez q do kwadratu i ten iloczyn wstawiamy do tej sumy w miejsce a3. Czwarty wyraz powstaje przez przemnożenie pierwszego przez q do potęgi trzeciej i tak dalej. Wyraz n-ty powstaje przez przemnożenie wyrazu pierwszego przez q do potęgi n minus jeden. Wykonajmy pewną sztuczkę. Pomnóżmy obie strony tego równania przez q. Zobacz co się stanie. Otrzymamy q razy S_n równa się a1 razy q dodać a1 razy q do kwadratu dodać a1 razy q do potęgi trzeciej dodać a1 razy q do potęgi czwartej i tak dalej, aż do a1 razy q do potęgi n-tej. Mnożąc obie strony równania przez tę samą liczbę zachowujemy zależności, ale otrzymujemy inną postać, która przydaje się do przekształceń. W tej sytuacji możemy oba równania potraktować jako układ. Od górnego równania odejmijmy dolne. Najpierw lewa strona. Od S_n odejmujemy q razy S_n. A co otrzymamy z prawej strony? A1 zostaje, bo od a1 nie odejmiemy nic z drugiej równości. A1 razy q odjąć a1 razy q to zero. Drugi składnik sumy w tym równaniu i pierwszy składnik w tym równaniu się zerują. Idziemy dalej. Od a1 razy q do kwadratu możemy odjąć a1 razy q do kwadratu. Trzeci składnik tej sumy i drugi składnik tej sumy się zerują. Idąc tym tropem zauważamy, że podobnie będzie z każdą kolejną parą w obu równaniach. Spójrz na ostatni składnik górnej sumy. A1 razy q do potęgi n minus jeden. Czy w dolnej sumie znajduje się taki sam składnik? Ostatnim elementem tutaj jest a1 razy q do potęgi n-tej. W poprzednim musi być a1 razy q do potęgi n minus pierwszej. Te wyrazy też się wyzerują. W drugim równaniu zostaje nam tylko a1 razy q do potęgi n-tej. W górnym równaniu po prawej stronie zostało nam a1, a w dolnym a1 razy q do n-tej. Gdy od prawej strony górnego równania odejmiemy prawą stronę dolnego to otrzymamy a1 odjąć a1 razy q do n-tej. Mamy jedno równanie. S_n odjąć q razy S_n równa się a1 odjąć a1 razy q do potęgi n-tej. Wyciągnijmy po lewej stronie tego równania wspólny czynnik przed nawias. Otrzymamy S_n razy, w nawiasie, 1 minus q. Wyciągnijmy wspólny czynnik przed nawias po prawej stronie. Dostaniemy a1 razy, w nawiasie, 1 minus q do potęgi n-tej. Teraz podzielmy obie strony równania przez jeden minus q. Z lewej strony otrzymamy S_n, a z prawej: w liczniku a1 razy 1 odjąć q do n-tej a w mianowniku 1 odjąć q. Mamy wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego. Czego zatem potrzebujemy, aby ją obliczyć? Wyrazu pierwszego i ilorazu. Wróćmy zatem do naszego ciągu. An równa się 3 razy 2 do potęgi n minus jeden. Chcemy obliczyć sumę dwudziestu pierwszych wyrazów tego ciągu. Do jej obliczenia potrzebujemy pierwszego wyrazu, którym jest 3, oraz ilorazu który wynosi 2. Suma 20 początkowych wyrazów tego ciągu to: w liczniku a1, czyli 3, razy - w nawiasie 1 odjąć 2 do potęgi 20 - zamykamy nawias podzielić przez jeden odjąć dwa. Po wykonaniu obliczeń, do których niezbędny jest kalkulator, otrzymujemy: 3 145 725. Widzisz, że wzór pozwolił nam dość szybko obliczyć tę sumę. Gdybyśmy mieli liczyć to na piechotę to byłby niezły hardkor. Przejdźmy do kolejnego przykładu. Jest to typowe zadanie egzaminacyjne. Obiecuję, że będą tam mniejsze liczby. Polecenie brzmi następująco: Dla poniższego ciągu geometrycznego oblicz sumę pierwszych pięciu wyrazów. Nasz ciąg wygląda w taki sposób: 1, 3, 9, 27 i tak dalej. Wzór na sumę n pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego, to: S_n równa się a1 razy, w nawiasie, 1 odjąć q do potęgi n-tej zamykamy nawias, podzielić przez 1 odjąć q. Spróbuj samodzielnie obliczyć S_5. Ile wynosi wartość pierwszego wyrazu, czyli a1? Jeden. A ile wynosi iloraz, czyli q? Trzy. Jaką liczbę wstawimy w miejsce n? Pięć bo liczymy sumę pięciu początkowych wyrazów. S_5 to: w liczniku 1 razy, otwieramy nawias 1 odjąć 3 do potęgi piątej, zamykamy nawias a w mianowniku 1 odjąć 3. Po wykonaniu obliczeń na kalkulatorze otrzymujemy 121. Tyle wynosi suma pięciu początkowych wyrazów tego ciągu. Wykonaliśmy nasze zadanie. Dobra robota! Sumę n pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego an można policzyć ze wzoru S_n równa się a1 razy, w liczniku 1 odjąć q do potęgi n-tej, podzielić przez jeden odjąć q gdy iloraz ciągu, czyli q, jest różny od jednego albo ze wzoru: S_n równa się n razy a1 gdy iloraz ciągu, czyli q, wynosi jeden. Chcesz więcej wiedzy o ciągu geometrycznym? Obejrzyj pozostałe lekcje z tej playlisty. Jeżeli chcesz być na bieżąco z nowymi lekcjami zasubskrybuj nasz kanał.