Zmęczenie kierowcy to ważny czynnik ryzyka wypadków. Okazuje się, że zmęczenie to potęguje jazda autostradą, między ekranami gdzie droga jest prosta i nie ma na czym zawiesić oka. Naukowcy odkryli, że taka drogowa monotonia pogarsza koncentrację nawet o 20% i sprzyja błędom w prowadzeniu. Co innego monotonia w ciągach. Ona zawsze prowadzi nas w określonym kierunku. Wiesz już, co to jest ciąg monotoniczny. W tym filmie omówimy monotoniczność ciągów geometrycznych. Spójrz na jeden z nich. Jest to ciąg geometryczny bo każdy kolejny wyraz jest dwa razy większy od poprzedniego. Zapiszmy to. Iloraz tego ciągu, czyli q, to 2. Co jeszcze wiemy? Wiemy, że wyraz pierwszy czyli a1, wynosi 2. Co możemy powiedzieć o monotoniczności tego ciągu? Każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego, więc jest to ciąg rosnący. Jak myślisz, co ma wpływ na monotoniczność ciągu geometrycznego? By się tego dowiedzieć, zmieńmy w naszym ciągu któryś parametr i zobaczmy jak to wpłynie na monotoniczność. Na początek zostawmy bez zmian iloraz ciągu, czyli 2. Zmieńmy jednak znak w pierwszym wyrazie. Co otrzymamy? Nasz nowy ciąg będzie składać się z wyrazów: -2, -4, -8, -16 i tak dalej. Jak widzisz, nie tylko pierwszy ale wszystkie pozostałe wyrazy są ujemne. A jak jest z monotonicznością tego ciągu? Jest to ciąg malejący, ponieważ -2 jest większe od -4 a -4 jest większe od -8. Każdy następny wyraz jest dwukrotnie mniejszy od poprzedniego. Możemy zatem wyciągnąć wniosek że na monotoniczność ciągu geometrycznego ma wpływ znak pierwszego wyrazu. Sprawdźmy teraz jak na monotoniczność ciągu wpływa wartość jego ilorazu. Czy mnożąc dowolne dwie liczby dodatnie zawsze otrzymamy wynik większy od każdej z tych liczb? Oczywiście, że nie. Jeśli przynajmniej jedna z naszych liczb będzie mniejsza od jedności, to wynik będzie mniejszy od większego z czynników. Na przykład: 2 razy 1/5 to 2/5, a to mniej niż 2. Podobnie 1/2 razy 1/3 daje nam 1/6 a 1/6 jest mniejsza i od 1/3, i od 1/2. Jak można zastosować tę informację do ciągów geometrycznych? Oto przykład. Weźmy a1 równa się 1/5 i q równa się 1/2. Nasz ciąg będzie wyglądać następująco: 1/5 1/5 razy 1/2, czyli 1/10 1/10 razy 1/2, czyli 1/20. Kolejnym wyrazem będzie 1/40 a potem 1/80 i tak dalej. Zauważ, że kolejne wyrazy ciągu maleją. Jak myślisz, czy monotoniczność się zmieni jeśli zwiększymy pierwszy wyraz? Zastanów się. Jeśli nawet pierwszy wyraz będzie wynosił na przykład 100, to drugim będzie już tylko 50, bo 100 razy 1/2 czyli połowa ze 100, to 50. Trzeci wyraz to 25. Czwarty to już tylko 12 i pół. W takim ciągu wyrazy też maleją. Jak widzisz, jeśli pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest dodatni, a iloraz mieści się w przedziale od zera do jednego to ciąg jest zawsze malejący. A czy potrafisz samodzielnie określić monotoniczność ciągu, w którym iloraz nadal jest z przedziału od 0 do 1 ale pierwszy wyraz jest ujemny? Taki ciąg będzie rosnący. Sprawdźmy to na przykładzie ciągu o pierwszym wyrazie równym -1 i q równym 1/2. Jego wyrazy to kolejno: -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16 i tak dalej. Wszystkie wyrazy są ujemne ale coraz bliższe zeru więc rosną. Mamy ciąg rosnący. Wiesz już, że na monotoniczność ma wpływ znak pierwszego wyrazu. Rozpatrywaliśmy też ciągi ze względu na różne wartości q i wiemy że to nie koniec. Wpiszmy zdobyte informacje do tabeli. Najpierw wpiszmy wartości jakie może przybierać pierwszy wyraz. a1 może być ujemne ale może też być dodatnie. Pierwsze dwa ciągi którymi się zajmowaliśmy miały q równe 2. Później zauważyliśmy, że taka sama zależność, dotyczy wszystkich ilorazów większych od 1. Rozpatrywaliśmy też ciągi, w których iloraz q był dodatni, ale mniejszy od 1. Zapiszmy tę informację w tabeli korzystając z języka matematyki. Zostają nam jeszcze ciągi, w których q jest ujemne i takie, w których jest równe 0. q może też wynosić 1. Gdy iloraz jest większy od jedności a pierwszy wyraz ciągu jest ujemny to ciąg jest malejący. Natomiast, gdy wyraz pierwszy jest dodatni, ciąg jest rosnący. A jaka jest monotoniczność, gdy q jest większe od 0 i mniejsze od 1, a pierwszy wyraz jest mniejszy od 0 lub większy od 0? W pierwszej komórce wpisujemy ciąg rosnący a w następnej ciąg malejący. Zastanówmy się teraz, jakim ciągiem będzie ciąg, którego iloraz wynosi 1. Czy wyrazy tego ciągu będą się zmieniać? Nie, bo mnożenie przez 1 nie zmienia wyniku. Jak nazywa się ciąg, którego wszystkie wyrazy są takie same? Taki ciąg, to ciąg stały. I to niezależnie od tego czy jego pierwszy wyraz będzie ujemny czy dodatni. Teraz pytanie. Jaka jest monotoniczność ciągu którego iloraz wynosi 0? Wiemy, że wynikiem mnożenia jakiejkolwiek liczby przez 0 jest 0. W takim razie jakim ciągiem jest ciąg którego pierwszy wyraz jest ujemny na przykład -10, a każdy następny to 0? Czy jest to ciąg stały? Nie. Pierwszy wyraz jest mniejszy od pozostałych. Czy pamiętasz, jak w matematyce nazywamy takie ciągi? To ciągi niemalejące. Myślę, że już bez większych tłumaczeń dasz się przekonać, że ciąg, w którym pierwszy wyraz jest dodatni, a pozostałe to 0 to ciąg nierosnący. Ale to jeszcze nie wszystkie sytuacje. Weźmy ciąg, w którym iloraz to -1. Jeśli pierwszy wyraz jest ujemny to mnożąc go przez -1 zmieni się znak. Wyraz drugi będzie dodatni. A trzeci wyraz? Będzie ujemny, bo poprzedni mnożymy przecież przez -1. A czwarty? Znów dodatni. Widzisz, że w tym przypadku wyrazy na przemian będą dodatnie albo ujemne. Nie możemy określić, czy w tym ciągu wartości rosną czy maleją. To jest przykład ciągu który nie jest monotoniczny. Jak myślisz, czy takie zachowanie ciągu zależy od tego, jaką wartość przyjmuje iloraz czy wystarczy sam fakt że ten iloraz jest ujemny? Wystarczy, że jest ujemny. Dlatego nie musimy rozpatrywać większej liczby przypadków. Wpiszmy do tabeli, że dla q mniejszego od zera ciąg nie jest monotoniczny. Niezależnie od tego, czy pierwszy wyraz jest ujemny czy dodatni. Czy to już wszystkie możliwe sytuacje? Nie. Brakuje nam takiej, w której pierwszy wyraz jest zerem. Myślę jednak, że już samodzielnie potrafisz określić, jaki to będzie ciąg. Jasne, że to ciąg stały. Niezależnie od tego jaką wartość przyjmuje q. Zapamiętaj! Ciąg złożony z samych zer też jest ciągiem geometrycznym. Jego ilorazem może być w tym przypadku dowolna liczba. Ciąg geometryczny an, o pierwszym wyrazie większym od zera jest: rosnący gdy q jest większe niż 1 malejący, gdy q należy do przedziału obustronnie otwartego od 0 do 1 lub stały, gdy q wynosi 1. Ciąg geometryczny an o pierwszym wyrazie mniejszym niż 0 jest: rosnący, gdy q należy do przedziału obustronnie otwartego od 0 do 1 malejący, gdy q jest większe niż 1 lub stały, gdy q wynosi 1. W tym dziale znajdziesz wszystkie niezbędne informacje dotyczące ciągów geometrycznych. Wszystkie działy znajdziesz na naszej stronie internetowej pistacja.tv