Dziennikarze sportowi są znani z kwiecistego języka. Czasami zapożyczają w swoich artykułach pewne zwroty z matematyki. Na przykład: radość biegaczy po każdym przebiegniętym kilometrze rosła w postępie geometrycznym. Mamy nadzieję, że z naszymi lekcjami twoja wiedza o ciągach też wzrośnie w postępie geometrycznym. W tej lekcji rozwiążemy cztery zadania egzaminacyjne o ciągu geometrycznym. W rosnącym ciągu geometrycznym an określonym dla n większego bądź równego jednemu, spełniony jest warunek a4 równa się 3a1. Iloraz tego ciągu jest równy??? Mamy wskazać jedną z czterech odpowiedzi. Najlepiej poprawną. Spróbuj samodzielnie rozwiązać to zadanie. Wiemy, że ten ciąg jest geometryczny. Z treści zadania wiemy też że 3a1 równa się a4. Naszym zadaniem jest obliczenie q. Jak inaczej możemy zapisać zależność między czwartym a pierwszym wyrazem wykorzystując przy tym iloraz q? Czwarty wyraz ciągu geometrycznego otrzymamy mnożąc wyraz pierwszy przez iloraz, czyli q, podniesiony do potęgi trzeciej. Wstawiając w miejsce a4, iloczyn a1 razy q do potęgi trzeciej, otrzymujemy 3a1 równa się a1 razy q do potęgi trzeciej. Dzieląc obie strony równania przez a1 otrzymujemy, że 3 równa się q do potęgi trzeciej. Jaką liczbę należy podnieść do potęgi 3 aby otrzymać 3? Pierwiastek trzeciego stopnia z trzech. Tyle wynosi iloraz tego ciągu geometrycznego. Zatem poprawna odpowiedź to C. Przejdźmy do drugiego zadania. Ciąg x, 2x dodać 3 oraz 4x dodać 3 jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy??? Tu też mamy 4 odpowiedzi. To zadanie możemy rozwiązać na dwa sposoby. W niektórych zadaniach możemy sprawdzać po kolei, która odpowiedź jest poprawna. Zacznijmy od odpowiedzi A. Wstawmy liczbę -4 w miejsce x w wyrażeniach, które są kolejnymi wyrazami ciągu. Otrzymamy: -4, 2 razy -4 dodać 3 oraz 4 razy -4 dodać 3. Po wykonaniu obliczeń otrzymujemy -4, -5 i -13. Czy to jest ciąg geometryczny? Nie. Odpowiedź A jest zatem błędna. Spróbuj sprawdzić, która z odpowiedzi b, c czy d jest poprawna. Gdy w miejsce x wstawimy odpowiedź b czyli 1, otrzymamy następujący ciąg: 1, 5 i 7. To też nie jest ciąg geometryczny. Sprawdzamy dalej. Po wstawieniu w miejsce x odpowiedzi C otrzymamy: 0, 3 i 3. To też nie jest ciąg geometryczny. Została odpowiedź D. Po zastąpieniu x liczbą -1 mamy: -1, 1 i -1. To jest ciąg geometryczny którego ilorazem jest liczba -1. To jest poprawna odpowiedź. Pokażę Ci teraz drugą metodę która polega na wykorzystaniu własności że kwadrat środkowego wyrazu jest taki sam jak iloczyn wyrazów skrajnych. To znaczy, że w nawiasie 2x dodać 3 zamykamy nawias, do kwadratu, równa się x razy w nawiasie 4x dodać 3 zamykamy nawias. Uprośćmy obie strony. W nawiasie, 2x dodać 3, zamykamy nawias do kwadratu, to 4x do kwadratu dodać 12x dodać 9, a prawa strona to 4x do kwadratu dodać 3x. Uporządkujmy to równanie przerzucając wszystkie elementy występujące po prawej stronie równania, na lewą ze zmienionym znakiem. Otrzymujemy 4x do kwadratu dodać 12x dodać 9 odjąć 4x do kwadratu odjąć 3x. Zredukujmy wyrazy podobne. 4x do kwadratu odjąć 4x do kwadratu to 0. 12x odjąć 3x to 9x. Do tego dodajemy 9. Ta suma równa się zeru. Teraz sam oblicz wynik. Co należy dodać do 9, aby otrzymać 0? -9 Jaką liczbę należy wstawić w miejsce x aby 9x wynosiło -9? -1 Otrzymujemy zatem, że x to -1. Pamiętaj, że x to nic innego, jak pierwszy wyraz ciągu podanego w zadaniu. Poprawną odpowiedzią jest zatem D. Pokazaliśmy to zresztą pierwszą metodą. Przejdźmy do trzeciego zadania. Dany jest ciąg geometryczny an określony dla n większego bądź równego jednemu w którym a1 to pierwiastek z dwóch a2 to 2 pierwiastki z dwóch a a3 to 4 pierwiastki z dwóch. Wzór na n-ty wyraz tego ciągu ma postać... Naszym zadaniem jest wskazanie jednej poprawnej odpowiedzi. Wzór ogólny ciągu geometrycznego to a1 razy q do potęgi n minus 1. Pierwszy wyraz znamy. To pierwiastek z dwóch. Do wzoru ogólnego brakuje nam q. Aby obliczyć iloraz tego ciągu geometrycznego, wystarczy podzielić wyraz kolejny przez poprzedni czyli na przykład a2 przez a1. Otrzymamy 2 pierwiastki z dwóch podzielić przez pierwiastek z dwóch czyli 2. Wzór ogólny to pierwiastek z dwóch razy 2 do potęgi n minus 1. Wśród podanych odpowiedzi nie ma takiej. Co zrobić? Należy przekształcić ten wzór do innej postaci. Pierwiastek z dwóch to 2 do potęgi 1/2 i to mnożymy przez 2 do potęgi n minus 1. Mnożąc potęgi o takich samych podstawach przepisujemy podstawę, a wykładniki dodajemy. Otrzymujemy 2 do potęgi 1/2 dodać n odjąć 1, czyli 2 do potęgi n minus 1/2. Rozdzielmy to na iloczyn dwóch potęg. Otrzymujemy 2 do potęgi n-tej razy 2 do potęgi -1/2. 2 do potęgi -1/2 to inaczej 1 przez pierwiastek z dwóch. Więc otrzymujemy 2 do potęgi n-tej przez pierwiastek z dwóch. Taki wzór znajduje się w odpowiedzi B. To jest poprawna odpowiedź. Wykonaliśmy nasze zadanie. Przejdźmy do ostatniego. Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny: 24, 6 oraz a odjąć 1. Stąd wynika, że: a równa się 5/2 a równa się 2/5 a równa się 3/2 albo a równa się 2/3. Spróbuj samodzielnie rozwiązać to zadanie. Znamy dwa pierwsze wyrazy tego ciągu. Potrafimy zatem obliczyć jego iloraz. Wynosi 6 podzielić przez 24, czyli 1/4. Trzeci wyraz otrzymamy mnożąc wartość wyrazu drugiego przez iloraz. Mamy więc 6 razy 1/4, a to wynosi 3/2. Trzeci wyraz znamy jednak z treści zadania. To a odjąć 1. Mamy znaleźć a. Zrobimy to, rozwiązując takie równanie. 3/2 i to równa się a odjąć 1. Przerzućmy -1 na drugą stronę równania ze zmienionym znakiem. 3/2 dodać 1 to 5/2. Znaleźliśmy a. Poprawną odpowiedzią jest więc odpowiedź A. Wykonaliśmy wszystkie zadania. Szacunek. W dowolnym ciągu geometrycznym iloraz kolejnych wyrazów jest stały co zapisujemy: an plus 1 podzielić przez an równa się q. To prosty sposób na sprawdzenie czy dany ciąg jest geometryczny. W zadaniach, w których masz wybrać jedną z podanych odpowiedzi, najpierw ustal, czy wykorzystując te odpowiedzi możesz policzyć kolejne wyrazy ciągu a następnie sprawdź, czy otrzymany z obliczeń ciąg jest geometryczny. Ten dział dotyczy ciągu geometrycznego. Jeśli lubisz nasze lekcje polub naszą stronę na Facebooku.