Sinus, cosinus i tangens w trójkącie prostokątnym

Trygonometria powstała i rozwinęła się głównie na potrzeby żeglugi. Dzięki niej można było dokładniej określać położenie statków na morzu w oparciu o położenie Słońca i gwiazd na nieboskłonie. Na rozwój trygonometrii niebagatelny wpływ miały badania astronomiczne. Dzięki trygonometrii będziemy w stanie określać miary kątów w trójkącie prostokątnym na podstawie zależności między długościami jego boków. Zaraz wprowadzę cię w tajniki trygonometrii. Spójrz na takie dwa trójkąty prostokątne. Boki tego trójkąta są dwa razy dłuższe niż odpowiednie boki tego trójkąta. Te dwa trójkąty są trójkątami podobnymi z cechy bok-bok-bok. Kąt znajdujący się naprzeciw krótszej przyprostokątnej w tym trójkącie oznaczyłem grecką literą alfa. Kąt znajdujący się naprzeciw dłuższej przyprostokątnej w tym trójkącie oznaczyłem grecką literą beta. Skoro te dwa trójkąty są podobne to odpowiednie kąty w tych trójkątach są identyczne. Ustawmy się teraz w tym wierzchołku. Przyprostokątna, na którą patrzymy czyli ta, która znajduje się naprzeciw kąta alfa, ma długość trzy. Podzielmy tę długość przez długość przeciwprostokątnej. Wynik zapiszmy w postaci ułamka. Otrzymujemy 3/5. Teraz ustawmy się w tym wierzchołku. On również znajduje się przy kącie alfa. Bok, na który patrzymy, czyli ten, który jest naprzeciw kąta alfa, ma długość sześć. Podzielmy długość tej przyprostokątnej przez długość przeciwprostokątnej. Wynik również zapiszemy w postaci ułamka. Otrzymujemy sześć dziesiątych. Te dwa ilorazy oznaczają stosunki długości odpowiednich boków. Zauważ, że ułamek 3/5 to jest to samo, co 6/10. Ten zapis czytamy "sinus alfa". To tylko groźnie brzmi. Czym jest sinus alfa? Gdy mamy do czynienia z trójkątem prostokątnym i kąt alfa jest jednym z kątów ostrych tego trójkąta to sinus alfa jest to iloraz długości odpowiednich boków. Wyobrażamy sobie, że stajemy w narożniku który znajduje się przy kącie alfa. Długość przyprostokątnej znajdującej się naprzeciw kąta alfa, dzielimy przez długość przeciwprostokątnej. W przypadku tego trójkąta otrzymujemy 3/5. I już. To jest sinus kąta alfa w tym trójkącie. Powiem Ci teraz pewną ciekawostkę. Gdy znamy stosunek długości odpowiednich boków w trójkącie prostokątnym to możemy skorzystać z pewnej tablicy aby odczytać miarę tego kąta. O tym, jak to się robi, opowiem Ci w jednej z kolejnych lekcji w tym dziale. Pokażę ci teraz coś nowego. Dalej wyobrażamy sobie że stoimy w tym miejscu. Zajmijmy się najpierw tym trójkątem. Podzielmy teraz długość przyprostokątnej znajdującej się przy kącie alfa przez długość przeciwprostokątnej. Dzielenie zapiszemy w postaci ułamka zwykłego i otrzymamy 4/5. Zróbmy to samo w tym trójkącie. Stoimy w tym miejscu. Dzielimy długość przyprostokątnej znajdującej się przy kącie alfa przez długość przeciwprostokątnej. Dzielenie zapisujemy w postaci ułamka zwykłego i otrzymujemy 8/10. Ten zapis czytamy "kosinus alfa". Możemy to również zapisać jako "cosinus alfa" ale ten zapis czytamy "kosinus alfa". Gdy zechcemy obliczyć cosinus kąta alfa to ustawiamy się w wierzchołku przy kącie alfa. Następnie dzielimy długość przyprostokątnej znajdującej się przy kącie alfa przez długość przeciwprostokątnej. W ten sposób otrzymamy cosinus kąta alfa. Pokażę ci teraz coś jeszcze. Tym razem podzielę długość przyprostokątnej znajdującej się naprzeciw kąta alfa przez długość przyprostokątnej znajdującej się przy kącie alfa. Gdy takie dzielenie zapiszę w postaci ułamka zwykłego, otrzymam 3/4. Przenieśmy się teraz do tego trójkąta. Tutaj robimy dokładnie to samo czyli dzielimy długość przyprostokątnej znajdującej się naprzeciw kąta alfa przez długość przyprostokątnej znajdującej się przy kącie alfa. Gdy takie dzielenie zapiszę w postaci ułamka zwykłego, otrzymam 6/8. Ten zapis czytamy "tangens alfa". Gdy zechcemy wyznaczyć tangens kąta ostrego alfa w trójkącie prostokątnym ustawiamy się w wierzchołku przy tym kącie następnie dzielimy długość przyprostokątnej znajdującej się naprzeciw kąta alfa przez długość przyprostokątnej znajdując ej się przy kącie alfa. W tym przypadku tangens kąta alfa to 6/8. Zobaczmy teraz, co się stanie gdy kąt alfa zastąpimy kątem beta. Pokażę ci, jak wyznaczyć sinus kąta beta w tym trójkącie. Wyobrażam sobie, że stoję w tym wierzchołku. Aby wyznaczyć sinus kąta beta, wystarczy że podzielę długość przyprostokątnej znajdującej się naprzeciw kąta beta przez długość przeciwprostokątnej. Otrzymam 4/5. Tyle wynosi sinus kąta beta. Zatrzymaj teraz lekcję i spróbuj samodzielnie zapisać sinus kąta beta, który znajduje się w tym trójkącie. Wyobrażam sobie, że stoję w tym wierzchołku. Dzielę długość przyprostokątnej znajdującej się naprzeciw kąta beta przez długość przeciwprostokątnej. Sinus kąta beta w tym trójkącie to 8/10. Zwróć uwagę, że te dwa ułamki są równoważne. Aby odnaleźć cosinus kąta beta w tym trójkącie wystarczy podzielić długość przyprostokątnej znajdującej się przy kącie beta przez długość przeciwprostokątnej. Otrzymamy 3/5. Teraz spróbuj samodzielnie znaleźć cosinus kąta beta w tym trójkącie. Tym razem jesteśmy tutaj. Aby znaleźć cosinus tego kąta wystarczy podzielić długość przyprostokątnej znajdującej się przy tym kącie przez długość przeciwprostokątnej. Otrzymamy 6 podzielić przez 10, czyli 6/10. Teraz pokażę ci, jak znaleźć tangens kąta beta w tym trójkącie. Patrzymy z wierzchołka przy kącie beta. Aby znaleźć tangens kąta beta wystarczy podzielić długość przyprostokątnej znajdującej się naprzeciw kąta beta przez długość drugiej przyprostokątnej. Otrzymamy 4/3. Spróbuj teraz samodzielnie znaleźć tangens kąta beta w tym trójkącie. Jesteśmy tutaj. Dzielimy długość przyprostokątnej która jest naprzeciw kąta beta przez długość drugiej przyprostokątnej. Otrzymujemy 8/6. Teraz przyszła pora, aby podsumować sobie zdobytą wiedzę o sinusie, cosinusie i tangensie kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. Widzisz trójkąt prostokątny. Długość boku, który znajduje się naprzeciw kąta alfa, oznaczono małą literą a. Długość przyprostokątnej, która znajduje się naprzeciw kąta beta, oznaczono małą literą b. Długość przeciwprostokątnej oznaczono małą literą c. Aby obliczyć sinus kąta alfa wystarczy podzielić długość przyprostokątnej naprzeciw kąta alfa przez długość przeciwprostokątnej. A co należy zrobić, aby obliczyć cosinus kąta alfa? Wystarczy podzielić długość przyprostokątnej przy kącie alfa przez długość przeciwprostokątnej. Aby obliczyć tangens kąta alfa wystarczy podzielić długość przyprostokątnej naprzeciw kąta alfa, przez długość przyprostokątnej przy kącie alfa. Pokażę Ci jeszcze, czym jest sinus kąta beta cosinus kąta beta i tangens kąta beta. Sinusem kąta beta jest iloraz długości przyprostokątnej naprzeciw kąta beta i długości przeciwprostokątnej czyli b przez c. Cosinusem kąta beta jest iloraz długości przyprostokątnej przy kącie beta i długości przeciwprostokątnej czyli a przez c. Tangensem kąta beta jest iloraz długości przyprostokątnej naprzeciw kąta beta i długości przyprostokątnej przy kącie beta. W tym trójkącie ten iloraz to b przez a. Mam teraz zadanie dla Ciebie. Zatrzymaj lekcję i spróbuj samodzielnie zapisać sinus kąta alfa cosinus kąta alfa i tangens kąta alfa. Zacznę od sinusa kąta alfa. Kąt alfa jest tutaj. Wyobrażam sobie, że jestem w tym miejscu. Aby obliczyć sinus kąta alfa wystarczy że podzielę długość przyprostokątnej która jest naprzeciw kąta alfa przez długość przeciwprostokątnej. W liczniku zapisuję zatem 5 a w mianowniku pierwiastek z 37. Po usunięciu niewymierności z mianownika otrzymamy 5 pierwiastków z 37 przez 37. Obliczę teraz cosinus kąta alfa. Dalej jestem w tym miejscu. Aby obliczyć cosinus kąta alfa, dzielę długość przyprostokątne,j która jest przy kącie alfa przez długość przeciwprostokątnej. W liczniku zapisuję zatem pierwiastek z 12 a w mianowniku pierwiastek z 37. Mogę to zapisać jako pierwiastek z ułamka 12/37. Teraz obliczę tangens kąta alfa. Dalej jestem tutaj. Tangens kąta alfa to iloraz długości przyprostokątnej naprzeciw kąta alfa przez długość drugiej przyprostokątnej. W liczniku zapisuję zatem 5 a w mianowniku pierwiastek z 12. Po usunięciu niewymierności z mianownika otrzymamy pięć pierwiastków z 12 przez 12. Możesz jeszcze spróbować zapisać sinus kąta beta, cosinus kąta beta i tangens kąta beta. Odpowiedzi napisz w komentarzu. Sprawdź, czy inni mają tak samo. Sinus, cosinus i tangens oznaczają ilorazy długości odpowiednich boków w trójkącie. Chcąc obliczyć sinus kąta alfa dzielisz długość przyprostokątnej naprzeciw tego kąta przez długość przeciwprostokątnej. Cosinus alfa obliczysz, dzieląc długość przyprostokątnej przy kącie alfa przez długość przeciwprostokątnej. Aby obliczyć tangens, podziel długość przyprostokątnej naprzeciw kąta alfa przez długość drugiej przyprostokątnej. Zapraszam cię do obejrzenia pozostałych lekcji o trygonometrii. Jeśli chcesz być na bieżąco z nowymi lekcjami to zasubskrybuj nasz kanał.