Pierwszym Europejskim matematykiem który traktował trygonometrię jako dyscyplinę oddzielną od astronomii był Regiomontanus. W XV wieku napisał pracę „De triangulis omnimodis libri quinque” w której usystematyzował całą dotychczasową wiedzę z tej dziedziny. Wyobraź sobie, że zielony odcinek to podjazd, dzięki któremu można wjechać na wysokość jednego metra. Ten podjazd jest nachylony do podłoża pod kątem 14 stopni. Czy posiadając wyłącznie te dwie informacje jesteśmy w stanie policzyć jaka jest długość tego podjazdu? Zwróć uwagę, że mamy tutaj do czynienia z trójkątem prostokątnym. Tutaj mamy kąt ostry, który ma 14 stopni. Przyprostokątna, znajdująca się naprzeciw tego kąta ma 1 metr. Chcemy znać długość przeciwprostokątnej. Jeżeli podzielę długość tej przyprostokątnej przez długość przeciwprostokątnej to powinienem to zapisać w postaci sinusa, cosinusa czy tangensa? Zatrzymaj lekcję i spróbuj odpowiedzieć. Iloraz długości przyprostokątnej naprzeciw kąta oraz przeciwprostokątnej to sinus. W tym przypadku mamy sinus 14 stopni. Zapiszę to w tym miejscu. Sinus tego kąta to 1 metr podzielić przez a. Zapiszę to w postaci ułamka zwykłego. Może się wydawać że mamy tutaj dwie niewiadome. Pamiętaj jednak, że potrafimy obliczyć na kalkulatorze albo sprawdzić w internecie ile to jest sinus 14 stopni. Zobacz. Tutaj mamy sinus, tutaj cosinus a tutaj tangens. Aby obliczyć sinus 14 stopni najpierw wpisuję 14 stopni a następnie wciskam klawisz z napisem sin. On oznacza sinusa. Tyle wynosi sinus 14 stopni. W tablicach maturalnych podaje się rozwinięcie do czwartego miejsca po przecinku. Kolejną cyfrą występującą po dziewiątce jest dwójka. Oznacza to, że nie zwiększamy zatem tej cyfry. Pomnóżmy obie strony tego równania przez a. Po lewej stronie otrzymamy a razy 0,2419. Długości przeciwprostokątnych po prawej stronie równania się skrócą. Zostanie nam 1 metr. Długość podjazdu to około 4,13 metra. Znaleźliśmy poszukiwaną długość. Spójrz teraz na takie zadanie. Mamy znaleźć długość boku oznaczonego literą. W tym trójkącie tylko ten bok jest oznaczony literą. Wiemy, że cosinus beta równa się 1/2. Kąt beta znajduje się w tym miejscu. Długości których boków, muszę podzielić aby otrzymać cosinus tego konta? Zatrzymaj lekcję i spróbuj odpowiedzieć. Cosinus kąta beta to iloraz długości przyprostokątnej która znajduje się przy kącie beta i długości przeciwprostokątnej. Cosinus kąta beta równa się zatem b przez 5. Zobacz. Z treści zadania wiemy że cosinus tego kąta to 1/2. Korzystając z długości boków tego trójkąta otrzymaliśmy b przez 5. Oznacza to, że iloraz długości tych dwóch boków ma być równy 1/2. Zapisujemy zatem że b przez 5 równa się 1/2. Takie równania rozwiązujemy mnożąc liczby na krzyż. 2 razy b to 2b 5 razy 1 to 5 Otrzymujemy 2b równa się 5. To jak znaleźć długość b? Wystarczy obie strony tego równania podzielić przez 2. 2b podzielić przez 2, to b. 5 podzielić przez 2 to 2,5. Odcinek b ma długość równą 2,5. Wykonaliśmy nasze zadanie. Gratulacje. Ostatnie zadanie w tej lekcji jest dla Ciebie. Znajdź długość boku oznaczonego literą wiedząc, że tangens gamma równa się 1,8. Konkretnie chodzi nam o długość tego boku, która jest oznaczona literą c. Zatrzymaj lekcję i spróbuj odpowiedzieć. Znamy tangens kąta gamma. Ten kąt znajduje się tutaj. Tangens kąta gamma w tym trójkącie to iloraz długości tego boku i tego boku. Zapiszmy to. Tangens gamma równa się 4,5 podzielić przez c. Wiemy, że tangens gamma to 1,8. Oznacza to, że ten iloraz musi się równać 1,8. To również zapisujemy. Teraz obie strony tego równania mnożymy przez c. 4,5 podzielić przez c razy c równa się 4,5. Po lewej stronie równania zostanie zatem 4,5. Po prawej stronie otrzymamy 1,8 razy c. Teraz obie strony równania dzielimy przez 1,8. 1,8 razy c podzielić przez 1,8, to c. Po lewej stronie otrzymamy 4,5 podzielić przez 1,8. c równa się 2,5 To jest nasza odpowiedź. Szukaliśmy długości tego boku. Wynosi ona 2,5. Mając dany sinus, cosinus lub tangens jednego z kątów ostrych trójkąta prostokątnego i znając długość dowolnego boku możesz obliczyć długość pozostałych boków układając odpowiednie równania. Dzięki tej lekcji widzisz że to nic trudnego. Jeśli chcesz wiedzieć więcej o trygonometrii to obejrzyj pozostałe lekcje z tego działu. Wszystkie działy znajdziesz na naszej stronie internetowej pi-stacja.tv