Tablice trygonometryczne które wykorzystywał w swoich pracach indyjski matematyk Aryabhata są najstarszymi które przetrwały do dziś. Zawierają one wartości sinusa i odwrotności cosinusa dla kątów od zera do 90 stopni z dokładnością do czterech miejsc po przecinku. Spójrz na taką sytuację. Mamy tutaj trójkąt prostokątny. Krótsza przyprostokątna ma długość 3. Dłuższa przyprostokątna ma długość 4. Przeciwprostokątna ma długość 5. W tym miejscu zaznaczono kąt ostry i oznaczono go alfa. Starożytni matematycy zastanawiali się jak znaleźć miarę kąta alfa znając długości boków trójkąta prostokątnego. W dzisiejszych czasach jest to dużo łatwiejsze. Pokażę Ci, jak to robić. Skoro chcemy znaleźć miarę tego kąta to ustawiamy się w tym wierzchołku. Znamy długości wszystkich boków tego trójkąta. Wybieramy zatem sinus cosinus lub tangens. Ja wybiorę sinus. Sinus kąta alfa to iloraz długości przyprostokątnej znajdującej się naprzeciw kąta alfa i długości przeciwprostokątnej. Sinus kąta alfa równa się zatem 3/5. Gdy znamy już wartość sinusa alfa to możemy skorzystać z tablicy wartości funkcji trygonometrycznych. Funkcje trygonometryczne to właśnie sinus cosinus i tangens. Pokażę Ci teraz, jak wygląda taka tablica. Teraz widzisz tabelę. Ta tabela nazwana jest tablicą wartości funkcji trygonometrycznych. W pierwszej kolumnie znajdują się kąty od zera do 90 stopni. Oznaczono je literą alfa. Ten symbol oznacza, że liczby pod spodem są kątami podanymi w stopniach. Obok znajduje się taka sama tabela tylko że z innymi kontami. Tę tabelę można przewijać. Zobacz. Tak, jak mówiłem. W pierwszej kolumnie można znaleźć kąty od zera do 90 stopni. W czwartej kolumnie znajdują się uporządkowane malejąco kąty od 90 do zera stopni. Oznaczono je beta. Weźmy sobie teraz jakiś kąt z pierwszej kolumny. Na przykład 2 stopnie. Gdy odczytamy wartość z tego pola dowiemy się, ile wynosi sinus alfa czyli ile wynosi sinus dwóch stopni. Sinus dwóch stopni wynosi 0,0349. Ale zobacz. Pod spodem mamy jeszcze taki zapis. Cosinus beta. W tym wierszu, w kolumnie oznaczonej beta mamy 88 stopni. Cosinus 88 stopni wynosi 0,0349. Spójrz teraz na ten kąt. 85 stopni. Cosinus tego kąta wynosi 0,0872. Tyle samo wynosi też sinus kąta alfa czyli sinus kąta 5 stopni. Spójrz jeszcze na trzecią kolumnę. Tutaj mamy tylko taki zapis. Tangens alfa. Oznacza to, że żeby znaleźć tangens jakiegoś kąta musimy go odnaleźć wyłącznie w pierwszej kolumnie. Weźmy na przykład 5 stopni. Tangens tego kąta to 0,0875. Myślę, że warto jeszcze wspomnieć że te liczby, które znajdują się w tej tabeli to są wartości przybliżone do czwartego miejsca po przecinku. To przybliżenie jest jednak wystarczająco dokładne aby podawać miary kątów. Wróćmy teraz do naszego zadania. Jeszcze raz przypomnę, że w tablicy mamy podane liczby dziesiętne. Te liczby dziesiętne oznaczają wartości sinusów, cosinusów i tangensów dla kątów od zera do 90 stopni. My znamy sinus kąta alfa ale jest on zapisany w postaci ułamka zwykłego. Zamieniamy zatem ten ułamek na liczbę dziesiętną. Wystarczy pomnożyć licznik i mianownik przez 2. Otrzymamy 6/10. Ułamek 6/10 zapisany w postaci liczby dziesiętnej to 0,6. Teraz wrócimy do tablicy z wartościami trygonometrycznymi i będziemy szukali wartości sinusa alfa która wynosi 0,6. W drugiej kolumnie mamy wartości sinusów. Zwróć uwagę, że im większy kąt tym większa wartość sinusa. Tutaj mamy liczbę, która jest bliska 2/10. Musimy przewinąć naszą tabelę. Zatrzymajmy się w tym miejscu. Nie znajdziemy w tej tabeli wartości która jest równa dokładnie 6/10. Zwróć uwagę, że ta liczba jest bardzo blisko 6/10. Jak już mówiłem te wartości to i tak tylko przybliżenia. Wartość kąta alfa odczytujemy z pierwszej kolumny. Mamy tutaj 37 stopni. Wracamy do zadania. Najbliżej tej wartości jest kąt który ma 37 stopni. Można więc powiedzieć że alfa ma około 37 stopni. Udało nam się. Znaleźliśmy miarę tego kąta. Wynosi ona około 37 stopni. A jak możemy szybko podać miarę tego kąta? Zatrzymaj lekcję i spróbuj odpowiedzieć. Skorzystajmy z tej własności że suma miar kątów w każdym trójkącie wynosi 180 stopni. Ten kąt ma 90 stopni, a ten ma 37 stopni. Razem mamy 127 stopni. Do 180 brakuje nam 53. Ten kąt ma miarę około 53 stopni. Spójrz teraz na takie zadanie. Rozwiąż trójkąt. Co to znaczy rozwiązać trójkąt? Tym razem, naszym zadaniem jest odnalezienie długości wszystkich boków tego trójkąta oraz miar wszystkich kątów tego trójkąta. Wiemy jedynie, że ten trójkąt jest trójkątem prostokątnym. Ten kąt ma 70 stopni. Długość tego boku wynosi 8. Od czego możemy zacząć? Możemy podać miarę tego kąta. Znamy miarę dwóch kątów więc łatwo możemy obliczyć miarę trzeciego kąta. 90 stopni i 70 stopni to 160 stopni. Do 180 brakuje nam 20 stopni. Znamy już miary wszystkich kątów tego trójkąta. Teraz poszukamy długości tych dwóch boków. Skorzystamy z trygonometrii. Mamy tutaj dwa kąty ostre. Znamy ich miarę. Ustawiamy się zatem w jednym z tych dwóch wierzchołków. Ja wybieram ten wierzchołek. Do znalezienia mamy długości tych dwóch boków. Wybierzmy sobie jeden z nich. Ja wybiorę krótszą przyprostokątną. Długość tego boku oznaczę literą a. Skupiamy się teraz na długości dwóch przyprostokątnych. Dzieląc długość a przez 8 otrzymamy tangens 20 stopni. Zapiszmy to. Tangens 20 stopni równa się a podzielić przez 8. Otrzymaliśmy pewne równanie. Chcemy wiedzieć, ile wynosi a. Nie znamy jeszcze tangensa 20 stopni. Możemy odczytać go z tablicy wartości trygonometrycznych. Pokażę Ci jednak, jak to zrobić korzystając z kalkulatora. Na zaawansowanych kalkulatorach możemy obliczać wartości sinusa cosinusa i tangensa dowolnego kąta. Chcemy obliczyć tangens 20 stopni. Wpisujemy zatem do kalkulatora 20. Skoro chcemy obliczyć tangens to wciskamy ten przycisk. Otrzymaliśmy taką liczbę. Zaokrąglimy ją do czwartego miejsca po przecinku. Tangens 20 stopni to 0,3640. Tyle mamy otrzymać, dzieląc a przed 8. Teraz dokładnie widać, że ten zapis nie był wcale niewiadomą. Co musimy zatem zrobić aby dowiedzieć się ile wynosi liczba a? Wystarczy, że pomnożymy te dwie liczby. Zapiszę to obok. a równa się 8 razy 0,364. Wynik to 2,912. Pamiętaj, że wartość tangensa 20 stopni jest wartością przybliżoną. Oznacza to, że długość tego odcinka jest również przybliżeniem. Mamy aż trzy cyfry po przecinku. My jeszcze nie wykonaliśmy całego zadania. Będziemy chcieli obliczyć jaką długość ma przeciwprostokątna. My w gruncie rzeczy znamy już długości dwóch przyprostokątnych. Korzystając z jakiego twierdzenia będziemy mogli obliczyć długość przeciwprostokątnej? Tym twierdzeniem jest twierdzenie Pitagorasa. Aby ułatwić sobie obliczenia jeszcze bardziej przybliżę długość tego boku. Przybliżę ją do jednego miejsca po przecinku. Tutaj mamy 1 więc przybliżeniem tej liczby będzie 2,9. Zmażę teraz literkę a i zapiszę tutaj 2,9. Długość przeciwprostokątnej oznaczę literą c. Twierdzenie Pitagorasa mówi nam że jeżeli dodamy do siebie kwadraty długości przyprostokątnych to otrzymamy kwadrat długości przeciwprostokątnej. Podnosimy zatem 8 do kwadratu. Do tego dodajemy 2,9 do kwadratu i otrzymujemy c do kwadratu. 8 do kwadratu to 64. 2,9 do kwadratu to 8,41. Suma tych dwóch liczb jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej. Dodając te dwie liczby, otrzymamy 72,41. Długość przeciwprostokątnej c to dodatni pierwiastek z tej liczby. Długość przeciwprostokątnej to około 8,5. Wykonaliśmy nasze zadanie. Rozwiązaliśmy trójkąt. Znamy długości wszystkich boków i miary wszystkich kątów tego trójkąta. Do rozwiązywania trójkątów czyli poszukiwania miar ich kątów i długości boków używamy tablic trygonometrycznych. Znajdziesz je w intrenecie lub na ostatnich stronach tablic maturalnych. Odpowiednie wartości możesz również obliczać wykorzystując zaawansowany kalkulator. Tablice trygonometryczne które poznaliśmy przed chwilą będą wykorzystywane również w innych lekcjach tego działu. Wszystkie działy znajdziesz na naszej stronie internetowej pi-stacja.tv