Samo słowo sinus wzięło się z nieporozumienia. W sanskryckim oryginale to jya czyli struna albo cięciwa. Tak konstruowano funkcje trygonometryczne. Arabowie używali tej nazwy tak jak my dziś, sinusa. Ale ponieważ samo słowo nic dla nich nie znaczyło zaczęli je omyłkowo zapisywać tak, jak w ich języku określa się zatokę. A po łacinie zatoka to sinus i stąd europejska nazwa. Widzisz trójkąt równoboczny. Długość każdego boku wynosi 4. Jakie miary mają kąty ostre w trójkącie równobocznym? Zatrzymaj lekcję i spróbuj odpowiedzieć. W trójkącie równobocznym każdy kąt ma taką samą miarę która wynosi 60 stopni. Narysujmy teraz wysokość tego trójkąta która pada na ten bok. Pamiętaj, że wysokość to odcinek który jest zawsze prostopadły do boku na który pada. Pamiętaj, że każdy trójkąt ma 3 wysokości. Do dalszych rozważań będzie nam potrzebna tylko jedna. Wysokość w trójkącie równobocznym dzieli go na dwa trójkąty prostokątne. To jest pierwszy trójkąt prostokątny a to jest drugi trójkąt prostokątny. Skoro te dwa trójkąty prostokątne są identyczne to te dwa kąty są również identyczne. Jaką mają miarę? 60 stopni podzielić przez 2 czyli 30 stopni. Każdy z tych dwóch kątów ma 30 stopni. Ta wysokość dzieli również ten bok na dwie jednakowe części. Oznaczę tylko jedną z nich aby ilustracja była bardziej czytelna. Ten bok, w tym trójkącie prostokątnym jest taki sam, jak ten bok w tym trójkącie prostokątnym. Jaką zatem długość ma ten odcinek? 4 podzielić przez 2, czyli 2. Skupimy się teraz na jednym z dwóch trójkątów prostokątnych. Ten, który jest po lewej schowam. Otrzymaliśmy trójkąt prostokątny o kątach 30 stopni, 90 stopni i 60 stopni. Czy pamiętasz, jakie są zależności między długościami boków w takim trójkącie? Zatrzymaj lekcję i spróbuj odpowiedzieć. Najkrótszy bok to ten który jest naprzeciw najmniejszego kąta. Ten bok ma długość równą 2. Oznaczmy ją literą a. Najdłuższy bok to ten który jest naprzeciw największego kąta. Przeciwprostokątna w trójkącie prostokątnym o takich kątach jest 2 razy dłuższa niż najkrótszy bok. Jeżeli a, czyli 2 pomnożymy przez 2 otrzymamy 4. 4 to jest to samo co 2a. A jaką długość ma bok który znajduje się naprzeciw kąta który ma 60 stopni? Aby obliczyć jego długość wystarczy długość najkrótszej przekątnej, czyli 2 pomnożyć przez pierwiastek z trzech. Ten bok ma długość równą 2 pierwiastki z trzech. Wysokość wyliczamy z twierdzenia Pitagorasa. Skoro długość najkrótszego boku oznaczyliśmy się literą a to możemy to też zapisać jako a razy pierwiastek z trzech. Tę zależności występują w każdym trójkącie który ma 30 stopni, 60 stopni i 90 stopni. W dalszych rozważaniach będziemy opierali się wyłącznie na tych oznaczeniach. Obliczmy teraz sinus 30 stopni. Ustawiamy się w tym wierzchołku. Sinus tego kąta to iloraz długości przyprostokątnej naprzeciw tego kąta i długości przeciwprostokątnej. Zapisujemy zatem. Sinus 30 stopni równa się a przez 2a. a możemy skrócić i otrzymamy 1/2. Sinus 30 stopni jest zawsze równy 1/2. Wyznaczmy teraz cosinus 30 stopni. Znowu ustawiamy się tutaj. Cosinus tego kąta to iloraz długości przyprostokątnej przy tym kącie i przeciwprostokątnej. Zapisujemy zatem: cosinus 30 stopni równa się a razy pierwiastek z trzech podzielić przez 2a. Znowu możemy skrócić literę a która występuje zarówno w liczniku jak i w mianowniku. Otrzymujemy pierwiastek z trzech przez 2. Wyznaczmy jeszcze tangens 30 stopni. Tangens tego kąta to iloraz długości przyprostokątnej która jest naprzeciw tego kąta i drugiej przyprostokątnej. Zapisujemy zatem, że tangens 30 stopni równa się a podzielić przez a razy pierwiastek z trzech. Znowu skracamy obie litery a. Otrzymujemy 1 podzielić przez pierwiastek z trzech. Po usunięciu niewymierności z mianownika otrzymujemy pierwiastek z trzech przez 3. Otrzymane wartości zapiszemy teraz w tabeli, aby zebrane informacje były bardziej czytelne. Spójrz zatem na taką tabelę. W pierwszej kolumnie mamy sinus alfa cosinus alfa i tangens alfa. Pierwszy wiersz oznaczono alfa. Wypełnijmy tę tabelę dla kąta alfa który ma 30 stopni. Ile wynosi sinus 30 stopni? Obliczyliśmy, że sinus 30 stopni to 1/2. W tym miejscu możemy więc zapisać 1/2. A ile wynosi cosinus 30 stopni? Obliczyliśmy, że ten cosinus wynosi pierwiastek z trzech przez 2. W tym miejscu, możemy więc zapisać pierwiastek z trzech przez 2. A ile wynosi tangens 30 stopni? Tangens 30 stopni to pierwiastek z trzech przez 3. W tym miejscu zapisujemy pierwiastek z trzech przez 3. Mam teraz zadanie dla Ciebie. Zatrzymaj lekcję i spróbuj samodzielnie wyznaczyć sinus 60 stopni cosinus 60 stopni i tangens 60 stopni. Spróbuj jak najbardziej uprościć otrzymane zapisy tak, jak ja to zrobiłem przed chwilą. Sinus 60 stopni to a razy pierwiastek z trzech przez 2a. Skracamy a. Otrzymujemy pierwiastek z trzech przez 2. Cosinus 60 stopni to a przez 2a. Znowu możemy skrócić a. Cosinus 60 stopni to 1/2. Teraz tangens 60 stopni. W tym przypadku wynosi on a razy pierwiastek z trzech przez a. Kolejny raz możemy uprościć ten ułamek. Tangens 60 stopni to pierwiastek z trzech. Rozbudujemy teraz naszą tabelę. Dopiszemy do niej wartości sinusa cosinusa i tangensa dla 60 stopni. Ile wynosi sinus 60 stopni? Obliczyliśmy, że sinus tego kąta to pierwiastek z trzech przez 2. W tym miejscu możemy zapisać pierwiastek z trzech przez 2. A ile wynosi cosinus 60 stopni? Obliczyliśmy, że cosinus tego kąta to 1/2. W tym miejscu możemy więc wpisać 1/2. A ile wynosi tangens 60 stopni? Tangens tego kąta to pierwiastek z trzech. W tym miejscu możemy więc zapisać pierwiastek z trzech. Dlaczego akurat wartości tych kątów są aż tak ważne? Te wartości wykorzystuje się bardzo często rozwiązując różne problemy geometryczne. Warto więc spróbować zapamiętać tę tabelkę. Ja pamiętam, że po prostu kilka razy ją przepisałem. Gdy kilka razy zapiszemy że sinus 30 stopni to 1/2 to po prostu to zapamiętamy. Spróbuj i przekonaj się. Sinus, cosinus i tangens 30 i 60 stopni wyprowadzisz z kolei korzystając z zależności między bokami w trójkącie prostokątnym będącym połową trójkąta równobocznego. Chcesz wiedzieć więcej o trygonometrii? Obejrzyj inne lekcje w tym dziale. Jeśli chcesz być na bieżąco to zasubskrybuj nasz kanał.