Za ojca trygonometrii uważa się Hipparchosa z Nikei który w II wieku przed naszą erą ułożył pierwsze tablice trygonometryczne choć wcale nie opierał ich na stosunkach boków i kątów w trójkącie. Rozwiążmy takie zadanie. Drabinę o długości 4 metrów, oparto o ścianę tak że dolny koniec drabiny znajduje się 2,5 metra od ściany. Jaki kąt tworzy drabina z podłożem? Rozwiązując zadania tekstowe które dotyczą geometrii zawsze rozpoczynamy od stworzenia rysunku. Niech ta pozioma lina oznacza podłoże. Pionowy odcinek oznacza ścianę. Ściana łączy się z podłożem. Pod jakim kątem zazwyczaj ściany są nachylone do podłoża? Pod kątem prostym. Niech ten odcinek z kolei oznacza drabinę. Drabina łączy się z podłożem w tym miejscu a ze ścianą w tym miejscu. Zwróć uwagę że otrzymaliśmy trójkąt prostokątny. Co wiemy z treści zadania? Wiemy, że drabina ma długość 4 metrów. W tym miejscu mogę zapisać zatem 4 metry. Wiemy też, że dolny koniec drabiny znajduje się 2,5 metra od ściany. To jest dolny koniec drabiny. Tutaj mamy ścianę. Oznacza to, że ten odcinek ma 2,5 metra długości. W tym miejscu zapiszę 2,5 metra. A czego chcemy się dowiedzieć? Co chcemy obliczyć? W treści zadania mamy takie pytanie: jaki kąt tworzy drabina z podłożem? Tutaj mamy drabinę, a tutaj mamy podłoże. Chcemy się zatem dowiedzieć jaką miarę ma ten kąt. Oznaczmy go alfa. Szukamy zatem miary kąta alfa. Zwróć uwagę, że drabina jest przeciwprostokątną naszego trójkąta prostokątnego. Podłoże z kolei jest przyprostokątną tego trójkąta. Jeżeli ustawimy się w tym miejscu to będziemy w stanie obliczyć cosinus tego kąta. Cosinus kąta alfa to stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie alfa oraz długość przeciwprostokątnej. Możemy zatem zapisać, że cosinus alfa równa się 2,5 metra podzielić przez 4 metry. Metry możemy skrócić. Zapisujemy wynik w tym miejscu. Wiemy zatem, ile wynosi cosinus alfa. Aby znaleźć miarę kąta alfa należy poszukać tej wartości w tablicy z wartościami funkcji trygonometrycznych. Zapamiętajmy zatem tę liczbę. 0,625 Poszukajmy zatem w tej tabeli kąta którego cosinus wynosi 0,625. W tej kolumnie znajdują się sinusy kąta alfa i cosinusy kąta beta. Kąty alfa znajdują się tutaj a kąty beta znajdują się tutaj. Wszystko sprowadza się do tego aby w tej kolumnie znaleźć wartość 0,625 i odczytać miarę kąta z ostatniej kolumny. No to poszukajmy tej wartości. Zobacz. Tutaj mamy 0,6157, a tutaj mamy 0,6293. Nie znajdziemy zatem w tej tabeli tej wartości. Zwróć jednak uwagę, że ta liczba jest bardzo blisko tej liczby. Kąt, którego cosinus wynosi 0,6293 to 51 stopni. Oznacza to, że kąt którego cosinus wynosi 0,625 jest bardzo blisko 51 stopni. Wynik podamy zatem w przybliżeniu. Możemy zatem zapisać że alfa to w przybliżeniu 51 stopni. Możemy zatem podać odpowiedź. Drabina i podłoże tworzą kąt którego miara to około 51 stopni. Spójrz na kolejne polecenie. Brzmi ono następująco: oblicz wartość wyrażenia. Pod spodem mamy to wyrażenie. Sinus 30 stopni razy tangens 60 stopni dodać cosinus 45 stopni razy tangens 45 stopni. Zauważ, że mamy tutaj charakterystyczne kąty. 45 stopni, 60 stopni, 30 stopni. Wartości funkcji trygonometrycznych dla tych kątów możemy odczytać z tej tabelki. Ile wynosi sinus 30 stopni? 1/2 Tę część wyrażenia zastępujemy 1/2. Zapiszę ten ułamek tutaj. 1/2 mnożymy przez tangens 60 stopni. Ile wynosi tangens tego kąta? Pierwiastek z trzech. 1/2 mnożymy przez pierwiastek z trzech. Do tego dodajemy cosinus 45 stopni. Z tabelki odczytujemy że cosinus 45 stopni to pierwiastek z dwóch przez 2. Tę wartość zapisuję w tym miejscu. Pierwiastek z dwóch przez 2. To jeszcze mnożymy przez tangens 45 stopni. Tangens 45 stopni, to 1. Pierwiastek z dwóch przez 2 mnożymy zatem przez 1. Teraz możemy przejść do obliczeń. Zapiszę je pod spodem bo tam już nie mamy miejsca. Zwróć uwagę, że w tym wyrażeniu występują dwa rodzaje działań mnożenie i dodawanie. Co najpierw wykonujemy? Mnożenie. 1/2 razy pierwiastek z trzech to pierwiastek z trzech przez 2. A ile to jest pierwiastek z dwóch przez 2 razy 1? Pierwiastek z dwóch przez 2. Zapisuję ten ułamek w tym miejscu. Co zatem robimy? Dodajemy do siebie liczniki a mianownik przepiszemy. Otrzymujemy pierwiastek z trzech dodać pierwiastek z dwóch przez 2. Wykonaliśmy nasze zadanie. To jest odpowiedź. Tyle wynosi wartość tego wyrażenia. Zabierzmy się teraz za ostatnie zadanie. W trójkącie prostokątnym pokazanym na rysunku sinus alfa wynosi 2/7. Oblicz pole tego trójkąta. Skoro w zadaniu mowa o rysunku to spójrzmy na ten rysunek. Tutaj znajduje się kąt alfa. Długość boku który jest naprzeciw tego kąta wynosi 4. Z treści zadania wiemy że sinus kąta alfa to 2/7. Mam teraz pytanie dla Ciebie. Długości których boków w tym trójkącie należy podzielić aby wyznaczyć sinus tego kąta? Sinus tego kąta to iloraz długości tego boku i przeciwprostokątnej. Nie znamy długości przeciwprostokątnej. Oznaczę ją zatem literą c. Możemy zatem zapisać że sinus alfa to 4 przez c. Mamy tutaj ułamek którego mianownika nie znamy. Ale spójrz na treść zadania. Wiemy, że sinus alfa trójkąta na rysunku wynosi 2/7. Co to oznacza? Oznacza to, że 4 przez c to jest to samo co 2/7. Zapisujemy więc 4 przez c równa się 2/7. Zobacz. Otrzymaliśmy równanie. Zatrzymaj lekcję i spróbuj je rozwiązać samodzielnie. Takie równanie rozwiązujemy mnożąc liczby na krzyż. Otrzymamy 2 razy c równa się 4 razy 7. Zapisujemy zatem 2c równa się 4 razy 7. 4 razy 7 to 28 Otrzymujemy 2c równa się 28. To ile wynosi c? Dzielimy obie strony równania przez 2. c równa się 14. Długość przeciwprostokątnej tego trójkąta to 14. Wykorzystując dane które mieliśmy do dyspozycji obliczyliśmy długość przeciwprostokątnej. Chcemy jednak obliczyć pole tego trójkąta. Pamiętaj, że my mamy do czynienia z trójkątem prostokątnym. Znamy długość jednego z prostopadłych boków. Aby obliczyć pole tego trójkąta wystarczy, że dowiemy się jaką długość ma ten bok. Czy pamiętasz z jakiego twierdzenia należy skorzystać? Należy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa. Oznaczmy długość tego boku literą a. Spróbuj teraz samodzielnie obliczyć długość tego boku. Oczywiście korzystając z twierdzenia Pitagorasa. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy, że długość boku a wynosi 6 pierwiastków z pięciu. Pominąłem obliczenia bo twierdzenie Pitagorasa już znasz. Jeśli go nie pamiętasz to obejrzyj lekcję o tym temacie. Zapiszmy jeszcze na rysunku długość tego boku. Wynosi 6 pierwiastków z pięciu. Czy mamy już wszystkie potrzebne informacje do obliczenia pola tego trójkąta? Znamy długość boku i znamy długość prostopadłej do niego podstawy. W miejsce litery a wstawimy zatem 6 pierwiastków z pięciu a w miejsce litery h liczbę 4. Spróbuj zatem samodzielnie obliczyć pole tego trójkąta. Pole tego trójkąta to 1/2 razy 6 pierwiastków z pięciu razy 4. Liczby 2 i 6 możemy skrócić dzieląc je przez 2. 1 razy 3 to 3 a 3 razy 4 to 12 Otrzymujemy 12 pierwiastków z pięciu. Wykonaliśmy nasze zadanie. Obliczyliśmy pole tego trójkąta. Gratulacje! Jeśli rozwiązując zadanie z geometrii znajdziesz w nim trójkąt prostokątny i będziesz znać miarę jednego z kątów ostrych oraz długość jednego z boków to korzystając z sinusa cosinusa albo tangensa będziesz w stanie obliczyć również inne wymiary. Ta playlista dotyczy trygonometrii. Wszystkie playlisty znajdziesz na naszej stronie internetowej pi-stacja.tv