Sinus, cosinus i tangens często pomagają w pracy geodetom i kartografom. Za chwilę pokażę Ci jak obliczać pole w sytuacji gdy znamy długość dwóch boków trójkąta i wartość sinusa kąta znajdującego się między nimi. Wyobraź sobie, że te dwa odcinki to chodniki. Łączą się one w tym miejscu. Razem tworzą kąt ostry który ma 40 stopni. Wyobraź sobie teraz że jesteś ogrodnikiem. Masz przy sobie jedynie długopis, kartkę i telefon z dostępem do internetu. Wiesz, że niedługo powstanie w tym miejscu taki chodnik. Te 3 chodniki łączą się razem tworząc trójkąt. Masz tylko te trzy dane. Twoim zadaniem jest obliczenie pola tego trójkąta. Umożliwi Ci to stworzenie planu ogrodu znajdującego się w jego wnętrzu. Przyjrzyjmy się bliżej dostępnym informacjom. Znamy długość podstawy. Ten odcinek ma 10 metrów. Znamy również długość tego boku. Ma on 5 metrów. Te dwa boki trójkąta tworzą kąt który ma 40 stopni Naszym zadaniem jest obliczenie pola trójkąta. Jak liczymy pole trójkąta? Aby obliczyć pole trójkąta wystarczy pomnożyć 1/2 przez długość boku trójkąta oraz przez długość padającej na niego wysokości. Tutaj zaczyna się cała zabawa. Czy znamy długość wysokości tego trójkąta? Nie znamy długości ani jednej z trzech wysokości tej figury. Zobacz. Znamy długość tego boku. Gdybyśmy znali długość tej wysokości to moglibyśmy od razu obliczyć pole tego trójkąta. Musimy znaleźć inny sposób. Mamy do dyspozycji długości tych dwóch boków oraz ten kąt. Długość tej wysokości oznaczę literą h. Zauważ, że po narysowaniu tej wysokości otrzymaliśmy tutaj trójkąt prostokątny. Znamy ten kąt ostry. Teraz skorzystamy z pomocy trygonometrii. Skoro znamy miarę kąta ostrego w trójkącie prostokątnym i długość przeciwprostokątnej to będziemy w stanie obliczyć długość przyprostokątnej naprzeciw kąta ostrego. W tym przypadku ta przyprostokątna naprzeciw kąta ostrego jest wysokością tego trójkąta która pada na ten bok. Skoro chcemy obliczyć długość przyprostokątnej naprzeciw kąta ostrego a znamy długość przeciwprostokątnej to możemy skorzystać z sinusa. Sinusa jakiego kąta? Sinusa 40 stopni. Zapiszę to w tym miejscu. Sinus 40 stopni. Sinus tego kąta to iloraz długości przyprostokątnej znajdującej się naprzeciw tego kąta oraz długości przeciwprostokątnej. Zapisujemy zatem h podzielić przez 5 metrów. Jeżeli długość wysokości podzielimy przez 5 metrów otrzymamy sinus 40 stopni. No to jak znaleźć długość wysokości? Wystarczy 5 metrów pomnożyć przez sinus 40 stopni. Zapiszę ten iloczyn tutaj. Co jeszcze trzeba zrobić? Pamiętaj, że masz telefon z dostępem do internetu. Możesz sprawdzić ile wynosi sinus 40 stopni. Tę wartość można jeszcze odczytać z tablic trygonometrycznych lub obliczyć na zaawansowanym kalkulatorze. Sprawdźmy zatem ile to jest sinus 40 stopni. Sinus 40 stopni to 0,6428. Zapiszę tę wartość tutaj. Aby obliczyć długość wysokości, czyli h wystarczy pomnożyć 5 metrów przez sinus 40 stopni czyli przez tę liczbę. Zapiszę to tutaj. h równa się 5 metrów razy 0,6428 Telefon ma kalkulator więc możemy z niego skorzystać do obliczenia tego iloczynu. Co otrzymamy? 3,214 metra. To jest długość wysokości. Zapiszmy to jeszcze na ilustracji. Ta wysokość ma długość 3,214 metra. Długość boku, na którą pada ta wysokość to 10 metrów. Teraz możemy obliczyć pole tego trójkąta. Tutaj mamy gotowy wzór. Najpierw przepiszę 1/2. 1/2 mnożymy przez długość boku. W tym przypadku to 10 metrów. To jeszcze mnożymy przez długość wysokości która jest prostopadła do tego boku. Obliczyliśmy, że wynosi ona 3,214 metra. Przejdźmy do obliczeń. Te dwie liczby możemy skrócić. Obie dzielą się przez 2. 2 podzielić przez 2 to 1 A 10 metrów podzielić przez 2 to 5 metrów. Teraz należy obliczyć ile to jest 5 metrów razy 3,214 metra. Znowu skorzystam z kalkulatora. Otrzymaliśmy 16,07. To jest pole tego trójkąta 16,07 metra kwadratowego. Teraz uogólnimy sobie nasze rozważania. Spójrz na taki trójkąt. W tym miejscu znajduje się kąt ostry alfa. Podstawa tego trójkąta ma długość oznaczoną literą a. Długość wysokości która pada na podstawę a została oznaczona literą h. Długość tego boku z kolei oznaczono literą b. Pole trójkąta obliczamy mnożąc 1/2 przez długość boku i długość wysokości padającej na ten bok. Zwróć uwagę, że wysokość ten bok trójkąta oraz ten fragment podstawy tworzą trójkąt prostokątny. W tym miejscu znajduje się kąt ostry alfa. Sinus tego kąta ostrego to h przez b. Zapiszmy to. Sinus alfa równa się h przez b. Pomnóżmy teraz obie strony tego równania przez b. Po prawej stronie tego równania te długości się skrócą. Otrzymujemy, że h równa się b razy sinus alfa. Możemy zatem w tym wzorze w miejsce litery h wstawić iloczyny b razy sinus alfa. Otrzymamy taki wzór. 1/2 razy a razy b razy sinus alfa Nie zawsze zatem musimy znać długość wysokości trójkąta aby obliczyć jego pole. Pole trójkąta możemy też obliczyć znając długości dwóch boków oraz sinus kąta między nimi. Jeżeli będziemy znali sam kąt ostry to sinus tego kąta możemy zawsze odczytać z tablic trygonometrycznych lub sprawdzić to w internecie. Mam teraz zadanie dla Ciebie. Zatrzymaj lekcję i spróbuj samodzielnie obliczyć pole trójkąta przedstawionego na rysunku wiedząc, że sinus alfa równa się 2/5. Pole trójkąta możemy obliczyć mnożąc 1/2 przez długości dwóch boków i sinus kąta ostrego który jest między tymi dwoma bokami. Czy mamy wszystkie potrzebne informacje aby skorzystać z tego wzoru? Tutaj jest kąt alfa. Wiemy, że sinus tego kąta to 2/5. Znamy również długości boków między którymi znajduje się kąt alfa. Możemy zatem skorzystać z tego wzoru. Litery a i b oznaczają długości boków między którymi jest kąt alfa. Nie ma znaczenia czy długość tego boku oznaczymy a, czy b. Mnożymy po prostu 1/2 przez długości boków między którymi jest kąt alfa czyli przez 7 i 5 oraz przez sinusa kąta alfa czyli przez 2/5. Mamy tutaj iloczyn czterech liczb. Są też tutaj ułamki. Te dwie liczby możemy skrócić. 2 podzielić przez 2 to 1 Te dwie liczby również możemy skrócić. 5 podzielić przez 5 to 1 Zostaje nam 1 razy 7 razy 1 razy 1. Iloczyn liczby 7 i samych jedynek to 7. Pole tego trójkąta wynosi 7. To jest to nasza odpowiedź. Znając długości dwóch boków oraz miarę kąta między nimi zawsze możesz obliczyć pole takiego trójką. Wystarczy, że 1/2 pomnożysz przez długości tych boków i sinus znanego Ci kąta. Zapraszam Cię do obejrzenia pozostałych lekcji o trygonometrii. Odwiedź również naszą stronę na Facebook 'u.