Twierdzenia dotyczące stosunków boków trójkątów podobnych znano już w starożytnym Egipcie i Babilonie. Jednak społeczeństwa te nie znały idei miary kąta i badały tylko własności boków. Dopiero w starożytnej Grecji powstały twierdzenia będące podwalinami dzisiejszej trygonometrii. Tym razem na tablicy widzisz kwadrat. Kwadrat to taka figura która ma wszystkie boki tej samej długości. Długość boku tego kwadratu wynosi 5. Wszystkie kąty wewnętrzne kwadratu są kątami prostymi czyli takimi, które mają 90 stopni. Narysuję teraz tę przekątną tego kwadratu. Pamiętaj, że kwadrat ma dwie przekątne. Przekątna kwadratu dzieli go na dwa identyczne trójkąty prostokątne. To jest pierwszy trójkąt a to jest drugi trójkąt. Boki kwadratu są takie same jak przyprostokątne obu trójkątów. Przekątna kwadratu jest jednocześnie przeciwprostokątną obu trójkątów. Przekątna kwadratu dzieli kąty proste na dwa jednakowe kąty. Można też zauważyć, że ten trójkąt jest trójkątem równoramiennym. Połową kąta prostego jest ten kąt który ma 45 stopni. Ten kąt jest też połową kąta prostego i ma 45 stopni. Skupimy się teraz na jednym trójkącie ponieważ drugi był identyczny. Jest to trójkąt prostokątny o kątach 45 stopni, 45 stopni i 90 stopni. Przyprostokątne tego trójkąta mają taką samą długość. Oznaczmy ją literą a. Aby obliczyć długość przeciwprostokątnej w trójkącie o takich kątach wystarczy długość przyprostokątnej pomnożyć przez pierwiastek z dwóch. Jeśli nie pamiętasz dlaczego przeciwprostokątna ma długość a razy pierwiastek z dwóch obejrzyj film o twierdzeniu Pitagorasa. Długość przyprostokątnej oznaczyliśmy literą a więc ten zapis możemy przedstawić jako a razy pierwiastek z dwóch. Od teraz skupimy się na znanych Ci zależnościach między długościami boków w takim trójkącie. Zatrzymaj teraz lekcję i spróbuj samodzielnie obliczyć sinus 45 stopni cosinus 45 stopni i tangens 45 stopni. Zacznę od obliczenia sinusa 45 stopni. Ustawiam się w tym wierzchołku. Sinus tego kąta to iloraz długości przyprostokątnej która jest naprzeciw tego kąta i długości przeciwprostokątnej. Sinus 45 stopni w tym trójkącie równa się a podzielić przez a razy pierwiastek z dwóch. Skracamy a. Otrzymujemy 1 przez pierwiastek z dwóch. Po usunięciu niewymierności z mianownika otrzymujemy pierwiastek z dwóch przez 2. Teraz obliczę cosinus 45 stopni. Znowu ustawiam się tutaj. Cosinus tego kąta to iloraz długości przyprostokątnej przy tym kącie i długości przeciwprostokątnej. Cosinus 45 stopni równa się a podzielić przez a razy pierwiastek z dwóch. Znowu skracamy a. Dostajemy 1 przez pierwiastek z dwóch a to jest to samo co pierwiastek z dwóch przez 2. Cosinus 45 stopni jest taki sam jak sinus 45 stopni. Teraz tangens. Znowu ustawiam się w tym wierzchołku. Tangens tego kąta to iloraz długości przyprostokątnej naprzeciw tego kąta i drugiej przyprostokątnej. W tym przypadku otrzymujemy a przez a. a możemy skrócić. Dzielimy te same liczby. Otrzymujemy 1 podzielić przez 1, czyli 1. Dopiszmy jeszcze do naszej tabeli wartości sinusa, cosinusa i tangensa 45 stopni. W poprzedniej lekcji wpisaliśmy już wartości dla kątów 30 stopni i 60 stopni. Ile wynosi sinus 45 stopni? Pierwiastek z dwóch przez 2. W tym miejscu możemy zapisać pierwiastek z dwóch przez 2. Sprawdźmy, ile wynosi cosinus 45 stopni. Cosinus 45 stopni to też pierwiastek z dwóch przez 2. W tym miejscu będzie taka sama liczba jak w polu wyżej. Sprawdźmy jeszcze ile wynosi tangens 45 stopni. Tangens tego kąta to 1. W tym polu znajdzie się jedynka. Wiesz już, jak powstaje tabela z wartościami sinusa, cosinusa i tangensa dla kątów które wynoszą 30 stopni 60 stopni i 45 stopni. Będziemy wykorzystywać te wartości w różnych zadaniach geometrycznych. Zaufaj mi. Sinus, cosinus i tangens 45 stopni możesz łatwo obliczyć korzystając z zależności między bokami w trójkącie prostokątnym będącym połową kwadratu. Zapraszam Cię do obejrzenia pozostałych lekcji o trygonometrii oraz do odwiedzenia naszej strony na Facebook 'u.