Co ci się kojarzy z jedynką? Przedni ząb, program radiowy a może miejsce na listach wyborczych? Matematykom jedynka kojarzy się z trygonometrią. W tej lekcji pokażę Ci co to jest i do czego służy jedynka trygonometryczna. W tej lekcji pokażę Ci związek między funkcjami trygonometrycznymi a twierdzeniem Pitagorasa. Przyjrzyjmy się trójkątowi prostokątnemu o bokach 3, 4 i 5. Na pewno wiesz jak wygląda twierdzenie Pitagorasa dla tego trójkąta. Zapisz je samodzielnie. Suma kwadratów długości przyprostokątnych jest taka sama jak kwadrat długości przeciwprostokątnej czyli 3 do kwadratu dodać 4 do kwadratu równa się 5 do kwadratu. Teraz znajdźmy w tym trójkącie jakieś funkcje trygonometryczne. W tym celu musimy zaznaczyć kąt ostry. Na przykład ten, między bokami 5 i 4. Oznaczmy go literą alfa. Zanim zaczniemy dalej przekształcać to wyrażenie spróbuj wypisać wszystkie funkcje trygonometryczne kąta alfa. Sinus kąta alfa to 3/5. Dzielimy przyprostokątną naprzeciwko kąta alfa przez przeciwprostokątną. Cosinus tego kąta to 4/5. Dzielimy drugą przyprostokątną przez przeciwprostokątną. Tangens kąta alfa to 3/4. Dzielimy przyprostokątne leżącą naprzeciwko kąta alfa przez tę przyległą do niego. Spróbujmy znaleźć te liczby w twierdzeniu Pitagorasa. W tym celu podzielmy obie strony przez 5 do kwadratu. Otrzymamy wtedy 3 kwadrat przez 5 kwadrat dodać 4 kwadrat przez 5 kwadrat równa się 5 kwadrat przez 5 kwadrat. Z działań na potęgach wiemy że 3 kwadrat przez 5 kwadrat to to samo co 3/5 do kwadratu. Tak samo drugi ułamek możemy zapisać jako 4/5 do kwadratu. 5 kwadrat przez 5 kwadrat to 1. Czy teraz widzisz w tym wzorze wartości funkcji trygonometrycznych dla naszego kąta alfa? Tak, jak wcześniej napisaliśmy 3/5 to sinus kąta alfa natomiast 4/5 to cosinus tego kąta. Jeżeli podniesiemy sinus kąta alfa do kwadratu i dodamy do tego cosinus kąta alfa do kwadratu to otrzymamy 1. Kwadraty funkcji trygonometrycznych możemy zapisać w skrócie bez użycia znaku nawias. W tym celu potęgę piszemy nad ostatnią literą oznaczającą funkcje trygonometryczne a przed oznaczeniem kąta. Po dokonaniu zapisanych wcześniej przekształceń otrzymaliśmy wzór. Jest on prawdziwy dla przedstawionego trójkąta o bokach 3, 4 i 5 oraz obecnego w nim kąta alfa. Czy będzie on działał również dla drugiego kąta ostrego w tym trójkącie? Spróbuj to zbadać samodzielnie. Oznaczmy ten kąt literą beta. Twierdzenie Pitagorasa się nie zmieni. Zmienia się za to wartość funkcji trygonometrycznych. Sinus beta to 4/5 cosinus tego kąta to 3/5 a tangens beta wynosi 4/3. Stąd we wzorze mamy cosinus beta równy 3/5 i sinus beta równy 4/5. Ale to oczywiście ten sam wzór. Czy wzór będzie prawdziwy dla wszystkich trójkątów prostokątnych? Spróbujmy to sprawdzić dla trójkąta prostokątnego o bokach a, b i c. Mam teraz kolejne zadanie dla Ciebie. Samodzielnie wypisz funkcje trygonometryczne kąta alfa. Sinus kąta alfa to a przez c cosinus to b przez c a tangens to a przez b. Teraz zapisujemy ogólną postać twierdzenia Pitagorasa. Tak samo jak wcześniej dzielimy potem obie strony przez c kwadrat. Otrzymujemy: a kwadrat przez c kwadrat dodać b kwadrat przez c kwadrat równa się 1. Po przekształceniu dostajemy a przez c do kwadratu dodać b przez c do kwadratu, równa się 1. Czy mamy tu wzory na funkcje trygonometryczne? Tak. a przez c to przecież wzór na sinus a b przez c wzór na cosinus. Możemy więc zapisać że sinus kwadrat alfa dodać cosinus kwadrat alfa, to 1. To, co tutaj mamy to jedna z ważniejszych tożsamości trygonometrycznych. Ten wzór nazywa się jedynką trygonometryczną i jest prawdziwy dla funkcji trygonometrycznych wszystkich kątów, nie tylko ostrych. Ważne jest tylko, aby sinus i cosinus były liczone dla tego samego kąta. Jeżeli chcesz, to możesz spróbować przeprowadzić dowód dla kąta rozwartego znajdującego się na układzie współrzędnych. Teraz czas na wykorzystanie tego wzoru w zadaniu. Pytanie brzmi: czy istnieje kąt alfa dla którego sinus alfa to pierwiastek z dwóch przez 3 oraz cosinus alfa to 1/3? W tym zadaniu warto wykorzystać jedynkę trygonometryczną. Tak, jak mówiliśmy wcześniej ten wzór jest prawdziwy dla dowolnego kąta. Zapiszmy zatem. Kwadrat sinusa alfa czyli pierwiastek z dwóch przez 3 w nawiasie do kwadratu wynosi 2/9. Natomiast kwadrat cosinusa tego kąta czyli 1/3 do kwadratu to 1/9. Sinus kwadrat alfa dodać cosinus kwadrat alfa wynosi zatem 2/9 dodać 1/9 czyli 3/9, a to jest 1/3, a nie 1. Skoro jedynka trygonometryczna jest prawdziwa dla każdego kąta to kąt o podanych w zadaniu wartościach funkcji trygonometrycznych nie może istnieć. Zapiszmy odpowiedź. Nie istnieje kąt alfa dla którego sinus alfa to pierwiastek z dwóch przez 3 oraz cosinus alfa to 1/3. Teraz zadanie dla Ciebie. Samodzielnie sprawdź czy istnieje taki kąt alfa że sinus alfa to 2 przez pierwiastek z pięciu a cosinus to pierwiastek z pięciu przez 5. Postępujemy podobnie, jak poprzednio. Sprawdzamy czy sinus kwadrat alfa dodać cosinus kwadrat alfa daje 1. Kwadrat dwóch przez pierwiastek z pięciu to 4/5 A kwadrat pierwiastka z pięciu przez 5 to 5/25, czyli 1/5. Po dodaniu otrzymujemy 5/5, czyli 1. Co to oznacza? Skoro jedynka trygonometryczna zachodzi to musi istnieć kąt o takich wartościach funkcji trygonometrycznych. To tyle, jeśli chodzi o tę lekcję. Zastosowanie jedynki trygonometrycznej poznasz też w kolejnych filmach. Odpowiednikiem twierdzenia Pitagorasa dla trygonometrii jest jedynka trygonometryczna. Jest to tożsamość, czyli wzór prawdziwy dla dowolnego kąta, nie tylko ostrego. Zapraszam Cię do obejrzenia pozostałych lekcji o tożsamościach trygonometrycznych a także do zasubskrybowania naszego kanału.