Wiele twierdzeń trygonometrycznych było znanych starożytnym Grekom jednakże w postaci odpowiedników operujących długościami cięciw i średnic a nie miarami kątów i długościami boków w trójkącie. W tej lekcji pokażę Ci, jak obliczyć tangens dowolnego kąta, korzystając z sinusa i cosinusa tego samego kąta. Widzisz trójkąt prostokątny. Przyprostokątne mają długości 3 i 4 a przeciwprostokątna 5. W tym miejscu zaznaczono kąt alfa. Samodzielnie podaj sinus alfa cosinus alfa i tangens alfa. Te wartości wykorzystamy w dalszych obliczeniach do wyprowadzenia pewnego wzoru. Sinus alfa to stosunek długości boku leżącego naprzeciw kąta alfa do długości przeciwprostokątnej. W naszym trójkącie to 3/5. Cosinus alfa to stosunek długości boku leżącego przy kącie alfa do długości przeciwprostokątnej. W naszym trójkącie to 4/5. Tangens alfa to stosunek długości przyprostokątnej naprzeciw kąta alfa do drugiej przyprostokątnej czyli 3/4. Mam teraz dla Ciebie kolejne zadanie. Oblicz samodzielnie ile wynosi iloraz sinusa i cosinusa kąta alfa. Sinus alfa podzielić przez cosinus alfa to 3/5 podzielić przez 4/5 czyli 3/5 x 5/4, a to daje nam 3/4. Zauważ, że tyle samo wynosi tangens kąta alfa. Ciekawe, czy w każdym trójkącie prostokątnym iloraz sinusa kąta ostrego przez cosinus tego samego kąta, da tangens tego kąta. Sprawdźmy to na literkach. Narysujmy drugi trójkąt prostokątny. Długości boków oznaczymy literami a, b i c gdzie a oznacza długość tej przyprostokątnej b długość tej przyprostokątnej a c długość przeciwprostokątnej. Zaznaczmy w tym miejscu kąt alfa. Sinus alfa to a/c, cosinus alfa to b/c a tangens alfa to a/b. Podzielmy teraz sinus alfa przez cosinus alfa. Otrzymamy: a/c podzielić przez b/c czyli a/c razy c/b. C się skróci i zostaje a/b a to nic innego jak tangens kąta alfa. Teraz samodzielnie oblicz ten iloraz dla drugiego kąta ostrego w tym trójkącie. Nazwijmy ten kąt beta. Sinus beta to b/c cosinus beta to a/c, a tangens beta to b/a. Sinus beta podzielić przez cosinus beta to b/c podzielić przez a/c co możemy zapisać jako b/c razy c/a c się skróci i otrzymamy b/a. Widzisz zatem, że iloraz sinusa i cosinusa dowolnego kąta ostrego w trójkącie prostokątnym jest zawsze taki sam jak tangens tego kąta. Ta równość zachodzi dla każdego kąta nie tylko ostrego. Przećwiczmy teraz wykorzystanie tej wiedzy w zadaniach. Czy istnieje taki kąt ostry alfa dla którego tangens alfa to 1/6 a sinus alfa to 1/3? Załóżmy na chwilę, że taki kąt istnieje. Zastanówmy się, co by z tego wynikało. Jeżeli podstawimy znane wartości do poznanego wzoru to możemy z niego obliczyć cosinus tego kąta. Spróbuj to zrobić samodzielnie. Tangens alfa to sinus alfa przez cosinus alfa. Podstawmy do tego wzoru wartości dane w treści zadania. Otrzymujemy: 1/6 równa się 1/3 dzielona przez cosinus alfa. Mamy równanie z jedną niewiadomą. Ponieważ ta niewiadoma jest w mianowniku ułamka, zaczynamy od pomnożenia obu stron przez cosinus alfa. Otrzymujemy: 1/6 razy cosinus alfa równa się 1/3. Teraz pozbądźmy się ułamków mnożąc obie strony przez 6. Z tego wynika, że cosinus alfa to 6/3, czyli 2. Zastanówmy się, czy istnieje trójkąt prostokątny w którym przyprostokątna przyległa do kąta alfa byłaby 2 razy dłuższa od przeciwprostokątnej. Sprawdźmy to! Zapiszmy, że przeciwprostokątna ma długość x a przyprostokątna przy kącie alfa 2x. Drugą przyprostokątną oznaczmy jako y. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy w takim przypadku y do kwadratu dodać, w nawiasie 2 x zamykamy nawias, do kwadratu równa się x kwadrat. Mamy zatem: y do kwadratu równa się x do kwadratu odjąć, w nawiasie 2 x zamykamy nawias, do kwadratu czyli x do kwadratu odjąć 4 x kwadrat a to równa się -3x kwadrat. Kiedy y do kwadratu może być równe -3 x do kwadratu? Po lewej stronie mamy liczbę nieujemną a po prawej niedodatnią czyli równość zachodzi tylko wtedy kiedy x i y są równe 0. Trójkąt nie może mieć przecież boków o zerowej długości. Stąd wynika, że taki trójkąt nie istnieje a co za tym idzie, taki kąt alfa również. Jaką zatem największą wartość może przyjąć cosinus kąta ostrego? Okazuje się, że najwyżej 1, ponieważ w trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna jest zawsze dłuższa od przyprostokątnej. Takie samo ograniczenie istnieje dla sinusa kąta ostrego. Zawsze będzie mniejszy niż 1. Ale to nie jest prawda dla tangensa. Jedna przyprostokątna może być przecież dowolnie dłuższa od drugiej więc tangens może przyjmować dowolnie duże wartości. Warto to zapamiętać. Może się przydać przy rozwiązywaniu zadania lub do sprawdzenia, czy w obliczenia nie wkradł się błąd. Jeżeli w trakcie rozwiązywania zadania wyjdzie Ci na przykład, że sinus alfa to 5 to znak, że trzeba jeszcze raz uważnie sprawdzić obliczenia. Przejdźmy do kolejnego wyzwania. Polecenie brzmi: oblicz wartość wyrażenia w liczniku 4 sinus alfa odjąć 5 cosinus alfa a w mianowniku cosinus alfa dodać 3 sinus alfa jeśli wiadomo, że tangens alfa równa się 5. Masz jakiś pomysł, jak rozwiązać to zadanie? W wyrażeniu mamy wyłącznie sinusy i cosinusy a znamy tylko wartość tangensa. Wiemy jednak, że tangens alfa to sinus alfa przez cosinus alfa i że równa się 5. Mnożąc to równanie obustronnie przez cosinus alfa otrzymamy sinus alfa równa się 5 cosinus alfa. W miejsce sinusa alfa możemy zatem wstawić 5 cosinus alfa. Otrzymamy: 20 cosinus alfa odjąć 5 cosinus alfa podzielić przez cosinus alfa dodać 15 cosinus alfa. W liczniku zostanie nam 15 razy cosinus alfa a w mianowniku 16 razy cosinus alfa. Cosinus alfa się skróci i zostanie nam 15/16. Wartość tego wyrażenia to 15/16. I już. Gotowe! Wykonaliśmy wszystkie zadania w tej lekcji. Gratulacje! Jedna z najważniejszych tożsamości trygonometrycznych wiąże ze sobą sinus cosinus i tangens jednego kąta. Tangens alfa równa się sinus alfa przez cosinus alfa. Ten wzór jest prawdziwy dla każdego kąta alfa. Zapraszam cię do obejrzenia pozostałych lekcji z tego działu oraz do polubienia naszej strony na Facebooku.