Za ojca trygonometrii uważa się Hipparcha z Nikei, który w drugim wieku przed naszą erą ułożył pierwsze tablice trygonometryczne choć wcale nie opierał ich na stosunkach boków i kątów w trójkącie. Przyjrzyjmy się takiemu przykładowi: oblicz sinus stu dziesięciu stopni. Ta umiejętność przydaje się na przykład jeżeli chcielibyśmy obliczyć pole trójkąta korzystając ze wzoru: 1/2 razy a razy b razy sinus kąta między nimi. Ten wzór jest prawdziwy dla trójkątów rozwartokątnych takich jak ten. Wiesz już, że do obliczenia sinusa tego kąta potrzeba współrzędnych punktu na ramieniu. Często, tak jak tutaj ramię nie będzie przechodziło przez żaden punkt kratowy i odczytanie współrzędnych będzie obarczone błędem, więc nie dostaniemy dokładnego wyniku. W tej lekcji pokażę Ci, jak obliczać wartości funkcji trygonometrycznych kąta rozwartego bez użycia układu współrzędnych. Zanim jednak się tego nauczymy wytłumaczę Ci na podstawie układu współrzędnych dlaczego tak można i pokażę skąd się biorą odpowiednie wzory. Zacznijmy od obliczenia wartości funkcji trygonometrycznych kątów przedstawionych na tym układzie. Aby to zrobić, wybieramy na ramieniu kąta dowolny punkt. Najlepiej taki, którego współrzędne można łatwo odczytać i liczymy r, czyli jego odległość od początku układu współrzędnych. Zacznijmy od kąta alfa. Wybieramy punkt A o współrzędnych 2 i 1. Jego odległość od początku układu współrzędnych liczymy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa. r do kwadratu to 1 do kwadratu dodać 2 do kwadratu, czyli 1 dodać 4 a to jest 5. W takim razie r to pierwiastek z pięciu. Teraz możemy obliczyć. Sinus alfa to y przez r czyli 1 przez pierwiastek z pięciu. Cosinus alfa to x przez r czyli 2 przez pierwiastek z pięciu. Tangens alfa to y przez x czyli 1 przez 2. Korzystając z tej wiedzy, samodzielnie oblicz wartości funkcji kąta beta. Wybieram punkt na ramieniu o współrzędnych –2 i 1. Jego r, czyli odległość od początku układu współrzędnych, to znowu pierwiastek z pięciu. Wykonując obliczenia, otrzymamy: sinus beta to 1 przez pierwiastek z pięciu. Cosinus beta to –2 przez pierwiastek z pięciu a tangens beta to 1 przez –2. Widzisz coś ciekawego? Sinusy obu kątów są takie są same natomiast wartości tangensów oraz cosinusów są przeciwne. Czy to przypadek? Nie sądzę. Jeżeli przyjrzysz się rysunkowi to zauważysz, że ramiona tych kątów nieleżące na osi x są symetryczne względem osi y. Czy zależności między wartościami sinusów cosinusów i tangensów zawsze będą takie same, jeżeli ramiona będą symetryczne? Zastanówmy się i zbadajmy to. Rozważmy taką sytuację. Wybierzmy dowolny punkt na ramieniu kąta położony w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych. Oznaczmy jego współrzędne literami a i b. Czy wiesz, jakie współrzędne będzie miał punkt symetryczny do tego punktu A leżący na drugim ramieniu? Ponieważ te punkty leżą na tej samej wysokości, druga współrzędna nie ulegnie zmianie i wciąż będzie to b. Natomiast pierwsza współrzędna zmieni znak na przeciwny. Otrzymamy –a. Czy odległości tych punktów od początku układu współrzędnych będą takie same? Tak. To wynika z symetrii. Można to również sprawdzić korzystając z twierdzenia Pitagorasa. Jakie będą wartości funkcji trygonometrycznych dla tych kątów? Sinus alfa to y przez r, czyli b przez r. Cosinus alfa to x przez r czyli a przez r. Tangens alfa to y przez x czyli b przez a. Oblicz samodzielnie te wartości dla kąta beta. Sinus beta to b przez r. Cosinus beta to –a przez r. A tangens beta to b przez –a. Zauważ, że zależności między wartościami tych funkcji są takie same jak w poprzednim przykładzie. Sinusy tych kątów są takie same natomiast cosinusy i tangensy, przeciwne. Jaka jest zależność między tymi kątami? Skoro te ramiona są symetryczne to miara tej części jest taka sama jak miara kąta alfa. Czyli alfa plus beta daje razem 180 stopni. To oznacza, że beta to inaczej 180 stopni odjąć alfa. Jak możemy to wykorzystać? Skoro sinus kąta beta jest taki sam, jak sinus alfa to sinus stu osiemdziesięciu stopni odjąć alfa to sinus alfa. Dlaczego? Sinus alfa to b przez r i sinus beta to b przez r. Podstawiając za beta 180 stopni odjąć alfa otrzymamy, że sinus stu osiemdziesięciu stopni odjąć alfa to sinus alfa. Podobnie, skoro cosinus beta jest równy minus cosinus alfa bo jeden wynosi –a przez r a drugi a przez r to cosinus stu osiemdziesięciu stopni odjąć alfa to jest to samo co minus cosinus alfa. Spróbuj samodzielnie sformułować taki wniosek dla tangensa. Skoro tangens beta jest równy minus tangens alfa to tangens stu osiemdziesięciu stopni odjąć alfa to minus tangens alfa. Jak zaraz zobaczysz, ta wiedza bardzo przydaje się w obliczeniach. Przedstawione tutaj wzory nazywają się wzorami redukcyjnymi. Znajomość tych wzorów czasami jest sprawdzana na maturze, ale nie martw się. Znajdziesz je w tablicach maturalnych. Wróćmy do przykładu z początku filmu. Obliczmy pole trójkąta którego boki mają długości 4 i 5 a kąt między nimi ma 110 stopni. Czego potrzebujemy? Sinusa tego kąta. Do jego obliczenia możemy skorzystać ze wzoru redukcyjnego. Zauważ, że 110 stopni to jest to samo co 180 stopni odjąć 70 stopni. Ten rachunek może wydawać się dziwaczny ale będzie bardzo pomocny. Żeby skorzystać z pokazanych chwilę temu wzorów, należy otrzymać wyrażenie postaci 180 stopni odjąć miara jakiegoś kąta. 110 stopni to właśnie 180 stopni odjąć 70 stopni. Czyli sinus stu dziesięciu stopni możemy zamienić na sinus stu osiemdziesięciu stopni odjąć 70 stopni, a to jest nic innego jak sinus siedemdziesięciu stopni. Tę wartość możemy zaś znaleźć w odpowiednich tablicach. Jeżeli nie pamiętasz, jak odczytuje się wartości funkcji trygonometrycznych to obejrzyj lekcję o odczytywaniu wartości funkcji trygonometrycznych z tablic trygonometrycznych. Właśnie po to korzysta się ze wzorów redukcyjnych. Abyśmy mogli odczytać wartości funkcji z tablic. Wartość sinusa siedemdziesięciu stopni to około 0,9397. Pole takiego trójkąta to zatem około 1/2 razy 4 razy 5 razy 0,9397, czyli 9,397. Spróbuj teraz samodzielnie obliczyć ile wynosi cosinus stu siedemdziesięciu stopni. 170 stopni to to samo co 180 stopni odjąć 10 stopni. Wiemy także, ze cosinus stu osiemdziesięciu stopni odjąć alfa to minus cosinus alfa. Mamy zatem: cosinus stu siedemdziesięciu stopni równa się cosinus stu osiemdziesięciu stopni odjąć 10 stopni a to z kolei równa się minus cosinus dziesięciu stopni. Cosinus dziesięciu stopni możesz znaleźć w tablicach. Cosinus dziesięciu stopni wynosi około 0,9848 więc naszym wynikiem jest –0,9848. Ostatnie przykłady są dla Ciebie. Samodzielnie oblicz tangens stu dwudziestu stopni. 120 stopni to 180 stopni odjąć 60 stopni. Tangens stu dwudziestu stopni równa się zatem tangensowi stu osiemdziesięciu stopni odjąć 60 stopni, czyli minus tangensowi sześćdziesięciu stopni. Tangens sześćdziesięciu stopni znamy to dokładnie pierwiastek z trzech. Tangens stu dwudziestu stopni to minus pierwiastek z trzech. Gotowe! Teraz samodzielnie oblicz sinus stu pięćdziesięciu stopni. Sinus stu pięćdziesięciu stopni to oczywiście to samo co sinus stu osiemdziesięciu stopni odjąć 30 stopni czyli sinus trzydziestu stopni. Sinus trzydziestu stopni znamy to dokładnie 1/2. Sinus stu pięćdziesięciu stopni to także 1/2. Wykonaliśmy wszystkie zadania w tej lekcji! Gratulacje! Do obliczenia wartości funkcji trygonometrycznych kątów rozwartych przydatne są wzory redukcyjne. Sinus stu osiemdziesięciu stopni odjąć alfa to sinus alfa. Cosinus stu osiemdziesięciu stopni odjąć alfa to minus cosinus alfa. I tangens stu osiemdziesięciu odjąć alfa to minus tangens alfa. Ten dział dotyczy funkcji trygonometrycznych kąta rozwartego. Zasubskrybuj nasz kanał aby być na bieżąco z nowymi działami.