Uczniowie często przed zajęciami z matematyki wypowiadają pewne zaklęcie które ma im przynieść pomyślność. Brzmi ono tak: sinus, cosinus... Nauczycielu wystaw 3 minus! Tangens w papiery... Może dostanę 4! Wiesz już jak obliczać wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego. A co, jeśli mamy do czynienia z kątem rozwartym? Przyjrzyjmy się takiemu zadaniu: oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta rozwartego alfa wiedząc, że sinus alfa wynosi 1/3. Zaczniemy od metody wykorzystującej tożsamości trygonometryczne. Czy pamiętasz od czego w tej metodzie wychodziliśmy? Od jedynki trygonometrycznej. Sinus kwadrat alfa dodać cosinus kwadrat alfa to 1. Jest to prawdziwe dla dowolnego kąta więc także dla rozwartego. Podstawiając, otrzymujemy: 1/3 do kwadratu dodać cosinus kwadrat alfa równa się 1. Spróbuj samodzielnie obliczyć cosinus alfa z tego wzoru. 1/3 do kwadratu to 1/9, więc mamy 1/9 dodać cosinus kwadrat alfa równa się 1. Cosinus kwadrat alfa to 8/9, czyli cosinus alfa to pierwiastek z ośmiu dziewiątych lub minus pierwiastek z ośmiu dziewiątych. Uwaga! Skoro kąt alfa jest rozwarty to cosinus alfa musi być ujemny. Pamiętaj o tym! Naszym rozwiązaniem będzie więc minus pierwiastek z ośmiu dziewiątych czyli minus 2 pierwiastki z dwóch przez 3. Spróbuj teraz samodzielnie obliczyć tangens kąta alfa. Tangens alfa to inaczej sinus alfa przez cosinus alfa czyli w tym przypadku 1/3 podzielić przez minus 2 pierwiastki z dwóch przez 3. Po wykonaniu obliczeń i usunięciu niewymierności z mianownika otrzymujemy minus pierwiastek z dwóch przez 4. Gotowe! A czy możemy wykorzystać w tym zadaniu metodę rysunkową? Oczywiście! Tyle że nie będziemy mogli wykorzystać trójkąta, bo nie istnieje rozwartokątny trójkąt prostokątny. Musimy skorzystać z definicji wykorzystującej układ współrzędnych. Rysujemy zatem układ współrzędnych i zaznaczamy w nim kąt alfa taki że jedno jego ramię jest na dodatniej półosi x, a drugie w drugiej ćwiartce układu współrzędnych, bo chcemy uzyskać kąt rozwarty. Wybieramy dowolny punkt P na ramieniu w drugiej ćwiartce i oznaczamy jego współrzędne jako x i y a jego odległość od punktu o współrzędnych 0 i 0 jako r. Spróbuj samodzielnie wypisać definicje funkcji trygonometrycznych kąta alfa. Sinus alfa to y przez r. Cosinus alfa to x przez r a tangens alfa to y przez x. Co wiemy z treści zadania? Wiemy, że sinus alfa to 1/3. Oczywiście jest nieskończenie wiele liczb których iloraz da nam 1/3 na przykład 1 i 3, 2 i 6 3 i 9, 4 i 12 i tak dalej. Możesz jednak sprawdzić, że wszystkie te punkty będą się znajdowały na tym samym ramieniu. My wybierzemy liczby małe a więc wygodne do rachunków, czyli 1 i 3. Przyjmijmy, że y to 1, a r to 3. Aby obliczyć cosinus i tangens musimy znać x. Wiesz jak go obliczyć? r to odległość tego punktu od początku układu współrzędnych ale zarazem spełnia ona zależność r do kwadratu to x do kwadratu dodać y do kwadratu. Podstawiając znane wartości otrzymamy: 3 do kwadratu to 1 do kwadratu dodać x do kwadratu czyli x kwadrat to 9 odjąć 1 co daje nam 8. Stąd x to pierwiastek z ośmiu lub minus pierwiastek z ośmiu. Który z tych dwóch wyników nas interesuje? Popatrzmy na rysunek. Pierwsza współrzędna punktu P czyli współrzędna x jest dodatnia czy ujemna? Punkt leży w drugiej ćwiartce układu współrzędnych, więc musi być ujemna. Stąd x to minus pierwiastek z ośmiu czyli minus 2 pierwiastki z dwóch. Podaj samodzielnie wartości cosinusa i tangensa kąta alfa. Cosinus alfa to minus 2 pierwiastki z dwóch przez 3. A tangens? Zgodnie z definicją to y przez x czyli 1 przez minus 2 pierwiastki z dwóch co daje minus pierwiastek z dwóch przez 4. Spójrz, tą metodą też doszliśmy do rozwiązania. Za chwilę pokażę Ci jak wyznaczać wartości funkcji trygonometrycznych kąta rozwartego alfa, znając wartość jego tangensa. Przyjrzyjmy się takiemu zadaniu. Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta rozwartego alfa wiedząc, że tangens alfa wynosi –2. Zaczynamy od związku między tangensem a sinusem i cosinusem tego samego kąta. Tangens alfa to sinus alfa przez cosinus alfa. Stąd jeśli nasz tangens wynosi –2 to sinus alfa równa się –2 razy cosinus alfa. Podstawmy to do jedynki trygonometrycznej. Skoro sinus kwadrat alfa dodać cosinus kwadrat alfa to 1 a sinus alfa równa się –2 razy cosinus alfa, to –2 razy cosinus alfa w nawiasie, do kwadratu dodać cosinus kwadrat alfa równa się 1. Stąd: 4 cosinus kwadrat alfa znak znika, bo podnieśliśmy –2 do drugiej potęgi dodać cosinus kwadrat alfa czyli 5 cosinus kwadrat alfa to 1. Ile wynosi cosinus alfa? Zastanów się. Kwadrat tego cosinusa to 1/5 czyli cosinus alfa to pierwiastek z 1/5 lub minus pierwiastek z 1/5. Ponieważ kąt jest rozwarty to cosinus jest ujemny. Stąd cosinus alfa to –1 przez pierwiastek z pięciu, czyli minus pierwiastek z pięciu przez 5. Ile wynosi sinus? Musimy cosinus pomnożyć przez –2 czyli to 2 pierwiastki z pięciu przez 5. A co z metodą rysunkową? Spróbuj samodzielnie wykonać odpowiedni rysunek i wypisać definicje funkcji trygonometrycznych dla zaznaczonego kąta. Podobnie jak poprzednio, rysujemy kąt alfa z drugim ramieniem w drugiej ćwiartce układu i zaznaczamy na tym ramieniu punkt P o współrzędnych x i y. Jego odległość od punktu o współrzędnych 0 i 0 to r. Sinus alfa to y przez r cosinus alfa to x przez r a tangens alfa to y przez x. Wiemy, że tangens to –2 czyli y przez x to –2. Któraś ze współrzędnych musi być zatem ujemna. Która? Skoro jesteśmy w drugiej ćwiartce to ujemny jest x. Wiemy też, że gdy y podzielimy przez x to otrzymamy –2. Jakie wartości możemy tu podstawić? Najłatwiej przyjąć, że y to 2, a x to –1. Brakuje nam jeszcze r. Spróbuj je samodzielnie obliczyć. Wykorzystajmy twierdzenie Pitagorasa. x do kwadratu dodać y do kwadratu to r do kwadratu czyli r kwadrat to 4 dodać 1. r kwadrat to 5, stąd r to pierwiastek z pięciu lub minus pierwiastek z pięciu. Ponieważ r jest odległością a nie współrzędną to nie może być ujemne. Stąd r to pierwiastek z pięciu. Teraz możemy obliczyć sinus alfa. y przez r to 2 przez pierwiastek z pięciu czyli 2 pierwiastki z pięciu przez 5. Natomiast cosinus alfa to x przez r czyli –1 przez pierwiastek z pięciu czyli minus pierwiastek z pięciu przez 5. Jeśli samodzielnie doszedłeś czy też doszłaś do takich samych wyników to serdecznie gratuluję! Dobra robota! Znając wartość jednej funkcji trygonometrycznej jakiegoś kąta możemy obliczyć wartości pozostałych. W tym dziale znajdziesz wszystkie niezbędne informacje dotyczące tożsamości trygonometrycznych. Jeśli chcesz być na bieżąco z nowymi działami, zasubskrybuj nasz kanał!