Udowadnianie tożsamości nie jest tak łatwe jak mogłoby się wydawać. Dowód można podrobić, rachunki sfałszować a nawet sąsiedzi mogą powiedzieć że Ty to ktoś zupełnie inny. W tej lekcji pokażę Ci że przynajmniej w matematyce udowadnianie tożsamości jest proste. Tych trygonometrycznych. Znasz już dwie zależności między funkcjami trygonometrycznymi. Sinus kwadrat alfa dodać cosinus kwadrat alfa równa się 1. Tę zależność nazywa się jedynką trygonometryczną. Wiesz także, że tangens alfa to sinus alfa podzielić przez cosinus alfa. Związki między funkcjami trygonometrycznymi nazywają się tożsamościami trygonometrycznymi. Są to takie wyrażenia zawierające funkcje trygonometryczne które są prawdziwe dla dowolnego kąta alfa. W tej lekcji naszym zadaniem będzie udowadnianie zależności takich jak te. W gruncie rzeczy będziemy je wykorzystywali w tych dowodach. Spójrz na taką tożsamość: cosinus alfa razy tangens alfa podzielić przez sinus alfa równa się 1. Naszym zadaniem jest udowodnienie tej tożsamości. Jak podejść do tego zadania? Mamy wykazać, że lewa strona równa się prawej. Warto przekształcać bardziej skomplikowaną stronę i ją uproszczać. W tym przypadku zaczniemy od strony lewej. W liczniku tego ułamka mamy tangens alfa. Wiemy, że tangens alfa to inaczej sinus alfa podzielić przez cosinus alfa. Wstawmy ten ułamek w miejsce tangensa. Otrzymamy ułamek, który ma w liczniku cosinus alfa razy sinus alfa przez cosinus alfa, a w mianowniku sinus alfa. Przepisujemy cosinus alfa. Sinus alfa podzielić przez cosinus alfa mnożymy przez odwrotność mianownika czyli przez 1 przez sinus alfa. Zauważ, że sinus alfa i sinus alfa się skrócą. Skrócą się też cosinus alfa i cosinus alfa. Otrzymamy 1 razy 1, czyli 1. Udowodniliśmy, że lewa strona tej tożsamości równa się prawej. Na końcu zapisujemy skrót c. n. d. co oznacza „co należało dowieść”. Przejdźmy do kolejnego przykładu. Cosinus kwadrat alfa odjąć sinus kwadrat alfa równa się 2 cosinus kwadrat alfa odjąć 1. W tym przykładzie obie strony są dość rozbudowane. Spróbujmy przekształcić lewą tak aby otrzymać to, co jest po prawej. Mamy tutaj cosinus kwadrat alfa odjąć sinus kwadrat alfa. Zauważ, że po prawej stronie nie mamy funkcji sinus. Musimy zatem się jej jakoś pozbyć przekształcające lewą stronę. Jakie znasz narzędzie wiążące sinusa i cosinusa tego samego kąta? Wiemy, że sinus kwadrat alfa dodać cosinus kwadrat alfa równa się 1. Przerzućmy cosinus kwadrat alfa na drugą stronę. Otrzymujemy sinus kwadrat alfa równa się 1 odjąć cosinus kwadrat alfa. Wstawiając 1 odjąć cosinus kwadrat alfa w miejsce sinus kwadrat alfa w tym wyrażeniu, otrzymamy: cosinus kwadrat alfa odjąć, w nawiasie 1 odjąć cosinus kwadrat alfa. Opuszczamy nawias, zmieniając znaki. Mamy cosinus kwadrat alfa odjąć 1 dodać cosinus kwadrat alfa a to daje nam –1 dodać 2 cosinus kwadrat alfa. Oczywiście to jest to samo co 2 cosinus kwadrat alfa odjąć 1. Otrzymaliśmy prawą stronę tożsamości którą chcieliśmy udowodnić. Koniec dowodu. Na końcu rysujemy kwadrat lub zapisujemy skrót c. n. d. Przejdźmy do kolejnego zadania. 1 podzielić przez cosinus alfa odjąć cosinus alfa równa się sinus alfa razy tangens alfa. Lewa strona jest bardziej skomplikowana więc ją przekształcamy. Mamy tutaj odejmowanie. Żeby je wykonać, musimy sprawić żeby odjemnik miał taki sam mianownik jak odjemna. Zatrzymaj lekcję i zrób to samodzielnie. Przepisujemy 1 podzielić przez cosinus alfa oraz znak odejmowania. Cosinus alfa to to samo, co cosinus alfa podzielić przez 1. Teraz wystarczy oba ułamki sprowadzić do wspólnego mianownika. Skoro w mianowniku chcemy mieć cosinus alfa, to mnożymy licznik i mianownik tego ułamka przez cosinus alfa. I mamy cosinus kwadrat alfa podzielić przez cosinus alfa. Zapiszmy to jako jeden ułamek. W liczniku mamy 1 odjąć cosinus kwadrat alfa a w mianowniku cosinus alfa. 1 odjąć cosinus kwadrat alfa to inaczej sinus kwadrat alfa. W mianowniku zapisujemy cosinus alfa. Teraz warto popatrzeć na prawą stronę równości i zobaczyć, do czego dążymy. Skoro po prawej stronie jest sinus w pierwszej potędze, to sinus kwadrat alfa rozbijemy na iloczyn. Pierwszy sinus zostawiamy, bo jest nam potrzebny, a z drugim będziemy kombinować. Sinus kwadrat alfa to inaczej sinus alfa razy sinus alfa. To dzielimy przez cosinus alfa. Rozbijmy to na iloczyn dwóch czynników. Pierwszym będzie sinus alfa a drugim sinus alfa podzielić przez cosinus alfa. Wiesz, że sinus alfa przez cosinus alfa to tangens alfa. Otrzymujemy sinus alfa razy tangens alfa czyli to, co po prawej stronie tej tożsamości. Udowodniliśmy, że to wyrażenie równa się temu. Koniec dowodu. Zapisujemy skrót c. n. d. czyli co należało dowieść. Przejdźmy do kolejnego przykładu. Sinus alfa razy, w nawiasie 1 przez sinus alfa odjąć sinus alfa zamykamy nawias, równa się cosinus kwadrat alfa. Spróbuj udowodnić tę tożsamość samodzielnie. Zaczynamy od bardziej skomplikowanej strony, czyli od lewej. Pomnóżmy najpierw sinus alfa przez każdy element tego nawiasu. Otrzymujemy: sinus alfa razy 1 przez sinus alfa odjąć sinus kwadrat alfa. W tym mnożeniu skrócimy sinus alfa otrzymując 1. Od tego odejmujemy sinus kwadrat alfa. Wiesz, że 1 minus sinus kwadrat alfa to cosinus kwadrat alfa czyli to, co mamy po prawej stronie tej tożsamości. Koniec dowodu. Rysujemy tym razem kwadracik. Przejdźmy do ostatniego przykładu. 2 podzielić przez cosinus kwadrat alfa odjąć 2 równa się 2 tangens kwadrat alfa. Tutaj obie strony są podobnie rozbudowane. Nie mamy pewności, od której strony należy zacząć przekształcenia. Udowadniając tożsamości trygonometryczne nie zawsze musimy przekształcać jedną ze stron tak, aby otrzymać drugą. Można także przekształcać obie strony tożsamości jednocześnie. Pokażę Ci teraz, jak to robić. Jeśli wpadniesz na inny pomysł to bardzo dobrze! Podziel się nim w komentarzu. Zabierzmy się za udowadnianie. Najpierw przepisujemy naszą tożsamość czyli całe równanie. Przerzucę teraz –2 z lewej strony na prawą ze zmienionym znakiem. Otrzymujemy 2 przez cosinus kwadrat alfa równa się 2 dodać 2 tangens kwadrat alfa. Teraz podzielę obie strony równania przez 2. Z lewej strony zostanie 1 przez cosinus kwadrat alfa a z prawej 1 dodać 1 tangens kwadrat alfa. Teraz jedynkę w liczniku po lewej stronie zamienię na sinus kwadrat alfa dodać cosinus kwadrat alfa. Zaraz dowiesz się dlaczego. Rozbijemy ten ułamek po lewej stronie na sumę dwóch ułamków. Otrzymamy sinus kwadrat alfa przez cosinus kwadrat alfa dodać cosinus kwadrat alfa podzielić przez cosinus kwadrat alfa. Sinus kwadrat alfa podzielić przez cosinus kwadrat alfa to inaczej sinus alfa podzielić przez cosinus alfa w nawiasie, do kwadratu czyli tangens alfa do kwadratu co możemy zapisać oczywiście jako tangens kwadrat alfa. Natomiast cosinus kwadrat alfa przez cosinus kwadrat alfa to 1. Po obu stronach równości otrzymaliśmy to samo. Widzisz, że po zamianie tej jedynki na sinus kwadrat alfa dodać cosinus kwadrat alfa otrzymaliśmy sumę dwóch ułamków, gdzie jeden z nich równa się tangens kwadrat alfa a ten element występuje po prawej stronie tożsamości. W tej metodzie właśnie do tego dążymy aby po obu stronach równości mieć to samo wyrażenie. Często trudniejsze przykłady jest tak prościej robić. Ten sposób nazywa się metodą przekształceń równoważnych. Kończąc dowód rysujemy kwadracik albo zapisujemy c. n. d. czyli co należało dowieść. Gotowe! Wykonaliśmy wszystkie zadania w tej lekcji! Gratulacje! Dowodząc tożsamości trygonometrycznych często przekształcamy je korzystając z dwóch elementarnych tożsamości. Sinus kwadrat alfa dodać cosinus kwadrat alfa równa się 1 i tangens alfa równa się sinus alfa podzielić przez cosinus alfa. W tym dziale znajdziesz lekcje dotyczące tożsamości trygonometrycznych. Jeśli lubisz nasze lekcje to polub naszą stronę na Facebooku!