Na ciągi liczbowe możemy natknąć się oglądając popularne filmy. W „Kodzie da Vinci” w którym główną rolę gra Tom Hanks wyrazy ciągu Fibonacciego są hasłem odblokowującym dostęp do komputera. Film ten jest obowiązkową pozycją dla tych którzy uwielbiają zagadki i łamigłówki. Tę lekcję zaczniemy od takiego zadania: ciąg an jest opisany ułamkiem w liczniku n plus 1, a w mianowniku n. Czy ten ciąg jest monotoniczny? Aby to sprawdzić, należy zbadać różnicę między kolejnymi wyrazami ciągu. Potrzebujemy do tego wzoru na n plus 1. W miejsce litery n w tym wzorze należy zatem wstawić wyrażenie n plus 1. W tym przypadku nie potrzebujemy nawiasów. Otrzymamy w liczniku n plus 2 a w mianowniku n plus 1. Teraz zbadamy różnicę między an plus 1, a an. Od ułamka n plus 2 przez n plus 1 odejmujemy n plus 1 przez n. Aby odjąć te ułamki, należy sprowadzić je do wspólnego mianownika. Spróbuj wykonać to samodzielnie. Wynik zapisz w jak najprostszej postaci. Wspólnym mianownikiem będzie iloczyn mianowników obu ułamków czyli n razy, w nawiasie n plus 1. W liczniku otrzymamy n plus 2 w nawiasie razy n odjąć n plus 1 razy n plus 1 czyli n plus 1 do kwadratu. Upraszczamy licznik. n razy n to n do kwadratu. 2 razy n to 2n i od tego odejmujemy w nawiasie n do kwadratu dodać 2n dodać 1. Mianownik pozostaje bez zmian. Dalej przekształcamy licznik. Opuszczamy nawias, zmieniając znaki każdego elementu w nawiasie bo przed nawiasem mamy minus. Dostaniemy n do kwadratu dodać 2n odjąć n do kwadratu odjąć 2n odjąć 1. Mianownik przepisujemy. Upraszczając licznik otrzymamy –1. Mianownik pozostaje bez zmian. Mamy zatem –1 przez n razy w nawiasie n plus 1. Różnica między kolejnymi wyrazami ciągu jest wyrażeniem zależnym od zmiennej n. Oznacza to, że ta różnica za każdym razem będzie inna. Nam zależy na tym, aby sprawdzić czy będzie ona dodatnia, ujemna równa zeru, a może raz dodatnia a raz ujemna. Wstawmy w to równanie kilka początkowych dodatnich liczb naturalnych. Po wstawieniu jedynki otrzymamy a2 odjąć a1 równa się –1/2. Po wstawieniu dwójki otrzymamy a3 odjąć a2 równa się –1/6. Po wstawieniu trójki otrzymamy a4 odjąć a3 równa się –1/12. Za każdym razem otrzymujemy liczbę ujemną. Gdy przeanalizujemy dokładniej wzór na różnicę między kolejnymi wyrazami zauważamy, że licznik będzie zawsze ujemny bo mamy tutaj –1. Wartość mianownika za każdym razem będzie dodatnia. Iloraz liczby ujemnej i dodatniej zawsze będzie ujemny. Ten ciąg jest zatem malejący. Gotowe! Przejdźmy do kolejnego zadania. Tym razem mamy do czynienia ze wzorem n minus 2 w nawiasie, do kwadratu. Czy ten ciąg jest monotoniczny? Zbadajmy różnicę między kolejnymi wyrazami tego ciągu. Spróbuj samodzielnie znaleźć wzór na n plus pierwszy wyraz ciągu. Aby wyznaczyć wzór na an plus 1 wystarczy w tym wzorze podmienić n na n plus 1. Otrzymamy w nawiasie n plus 1 minus 2 i ten nawias podnosimy do kwadratu a po uproszczeniu w nawiasie n minus 1 do kwadratu. Teraz spróbuj samodzielnie obliczyć różnicę między an plus 1, a an. an plus 1 odjąć an to w nawiasie n minus 1 i ten nawias podnosimy do kwadratu odjąć, w nawiasie n minus 2 i ten nawias też podnosimy do kwadratu. Skorzystajmy dwukrotnie ze wzoru skróconego mnożenia. Otrzymamy: n do kwadratu odjąć 2n dodać 1 odjąć, w nawiasie n do kwadratu odjąć 4n dodać 4. Opuszczamy nawias, zmieniamy znaki i dostajemy n do kwadratu odjąć 2n plus 1 odjąć n do kwadratu dodać 4n odjąć 4. Upraszczamy wyrażenie i otrzymujemy 2n odjąć 3. Różnica między kolejnymi wyrazami jest wyrażeniem zależnym od zmiennej n. Wstawmy w to równanie kilka kolejnych dodatnich liczb naturalnych. Po wstawieniu jedynki otrzymamy a2 odjąć a1, czyli 2 razy 1 odjąć 3, a to daje nam –1. Oznacza to, że drugi wyraz jest mniejszy od pierwszego o 1. Po wstawieniu dwójki otrzymamy a3 odjąć a2 równa się 2 razy 2 odjąć 3 czyli 1. Znaczy to tyle, że trzeci wyraz jest większy od drugiego. Możesz sprawdzić samodzielnie co będzie dalej. Do wyciągnięcia wniosków wystarczają nam jednak dwie pierwsze różnice. Skoro a2 jest mniejsze niż a1 a a3 jest większe niż a2 to ciąg nie jest ani rosnący ani stały, ani malejący ani nawet nierosnący czy niemalejący. Ten ciąg jest niemonotoniczny. Wykonaliśmy nasze zadanie! Gratulacje! Jeśli różnica wyrazów an plus 1 minus an jest wyrażeniem algebraicznym które przyjmuje zarówno wartości dodatnie jak i ujemne, to ciąg nie jest monotoniczny. Wartości większe bądź równe 0 to ciąg jest niemalejący. Wartości mniejsze bądź równe 0 to ciąg jest nierosnący. Tylko dodatnie, to ciąg jest rosnący tylko ujemne, to ciąg jest malejący. Zapraszam Cię do obejrzenia pozostałych lekcji z tego działu oraz do odwiedzenia naszej strony internetowej pistacja.tv. Tam znajdziesz wszystkie lekcje.