Z tego filmu dowiesz się:

  • Ile punktów wspólnych mogą mieć dwa okręgi,
  • Jak określić wzajemne położenie okręgów.

Podstawa programowa

Pobieranie materiałów

wideo ekran podsumowujący napisy

Licencja: cc-by-nc-sa.svg

Poniższe materiały są udostępnione na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.pl). Możesz je wykorzystywać wyłącznie jako całość, bez rozdzielania ich na indywidualne elementy składowe. Zabronione jest wycinanie, pobieranie, modyfikowanie, edytowanie i zmienianie elementów składowych (np. grafik, tekstów, dźwięków, logotypów). Licencja CC BY-NC-SA 4.0 nie obejmuje wykorzystywania elementów składowych w utworach pochodnych. Jeśli chcesz wykorzystać ten materiał w swoim niekomercyjnym projekcie, nie zapomnij wymienić jego autorów: Pi-stacja / Katalyst Education.

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

Wiesz dobrze, że mieszając barwy podstawowe możemy uzyskać różne kolory. W sztuce przyjęło się że barwami podstawowymi jest czerwony, żółty i niebieski. Są jednak różne zestawy tych barw podstawowych na przykład w monitorach i innych wyświetlaczach kolor żółty został zastąpiony kolorem zielonym. Natomiast drukarki wykorzystują zestaw cyjan, magenta, żółty i czarny. Na początku zastanówmy się ile punktów wspólnych mogą mieć dwa okręgi. W odpowiedzi na to pytanie pomogą nam dwa okręgi. Niebieski okrąg o promieniu równym 3 i środku w punkcie S oraz żółty okrąg o promieniu równym 2 i środku w punkcie O. W tym momencie mamy sytuację w której środki okręgów są oddalone od siebie o 7 jednostek. Jak widzisz, nie mamy żadnych punktów wspólnych tych okręgów. Okręgi będące w takim wzajemnym położeniu nazywamy okręgami rozłącznym zewnętrznie. Przesuńmy teraz nasz żółty okrąg w taki sposób, aby odległość między środkami okręgów wynosiła dokładnie 5 jednostek. Zobacz. Teraz mamy dokładnie jeden punkt wspólny naszych okręgów. Pamiętasz jak nazywaliśmy prostą która miała dokładnie jeden punkt wspólny z okręgiem? Nazwaliśmy ją styczną do okręgu. Bardzo podobnie nazwiemy teraz nasze okręgi. Są to okręgi styczne zewnętrznie. Kontynuujmy nasz eksperyment. Przesuńmy teraz żółty okrąg w taki sposób aby odległość między środkami naszych okręgów wynosiła 4 jednostki. Teraz otrzymaliśmy takie dwa punkty wspólne. Okręgi, które mają dokładnie dwa punkty wspólne nazywamy okręgami przecinającymi się. A co by było, gdyby odległość między środkami naszych okręgów wynosiła jedną jednostkę? Ponownie mamy dokładnie jeden punkt wspólny. Jednak tym razem, żółty okrąg znajduje się wewnątrz niebieskiego okręgu. Okręgi będące w takim wzajemnym położeniu nazywamy okręgami stycznymi wewnętrznie. Sprawdźmy jeszcze jeden scenariusz. Ustawmy żółty okrąg w taki sposób aby odległość między środkami naszych okręgów wynosiła na przykład pół jednostki. Cały czas żółty okrąg znajduje się wewnątrz niebieskiego. Jednak tym razem nie mamy żadnych punktów wspólnych. Tak wzajemnie położone okręgi nazywamy okręgami rozłącznym wewnętrznie. Spróbujmy teraz określić ogólne reguły w jaki sposób wzajemne położenie dwóch okręgów zależy od długości ich promieni oraz odległości między ich środkami. Ponownie wykorzystamy okręgi z poprzedniej planszy. Zapiszmy sumę oraz różnicę promieni naszych okręgów. Suma naszych promieni to oczywiście 5 natomiast różnica naszych promieni wynosi 1. W pierwszym przypadku mieliśmy odległość między środkami okręgów wynoszącą 7 jednostek. Zwróć uwagę, że odległość między środkami naszych okręgów jest większa od sumy naszych promieni. Mamy 7, jest większe od pięciu. Gdy suma promieni jest mniejsza od odległości między środkami to mamy okręgi rozłączne zewnętrznie. Ustawmy teraz te okręgi w odległości pięciu jednostek. W tym przypadku odległość między środkami okręgów oraz suma promieni mają taką samą wartość. Gdy suma promieni jest równa odległości między środkami okręgów to mamy okręgi styczne zewnętrznie. Dzieje się tak, ponieważ środki okręgów oraz punkt styczności są współliniowe. Czyli leżą na jednej prostej. Przeanalizujmy kolejny przypadek w którym odległość między środkami okręgów będzie wynosić cztery jednostki. Tym razem odległość między środkami okręgów jest mniejsza niż suma promieni. Jednak wciąż większa niż różnica promieni. W takim przypadku, gdy odległość między środkami okręgów jest większa od różnicy promieni, ale mniejsza niż suma promieni mamy do czynienia z okręgami przecinającymi się. W kolejnym przypadku odległość między środkami okręgów wynosiła jedną jednostkę. Widzimy, że odległość między środkami okręgów jest mniejsza od sumy promieni ale jednocześnie równa różnicy promieni. Gdy różnica promieni jest równa odległości między środkami okręgów to mamy do czynienia z okręgami stycznymi wewnętrznie. Dzieje się tak, ponieważ środki okręgów oraz punkt styczności są współliniowe. Ustawmy teraz nasze okręgi w taki sposób, aby odległość między ich środkami wynosiła pół jednostki. Mamy teraz sytuację, w której odległość między środkami okręgów jest mniejsza od różnicy promieni. Gdy odległość między środkami okręgów jest mniejsza od różnicy promieni to takie okręgi zawsze stanowią parę okręgów rozłącznych wewnętrznie. Przećwiczmy teraz zdobytą wiedzę. Współliniowe punkty S, A i O są środkami odpowiednich okręgów. Niebieski okrąg jest styczny zarówno do różowego jak i do żółtego okręgu. Oblicz długość odcinka SO. Oznaczmy środek niebieskiego okręgu literką A. Wiemy, że gdy okręgi są styczne zewnętrznie to suma ich promieni jest równa odległości między środkami tych okręgów. Niebieski i różowy okrąg niewątpliwie są okręgami stycznymi zewnętrzne. Oznacza to, że długość odcinka SA wynosi 8. Żółty i niebieski okrąg także są styczne zewnętrznie. Oznacza to, że długość odcinka OA wynosi 6. Zatem jaką długość ma odcinek SO? Dokładnie tak, 8 plus 6, czyli 14. Świetnie sobie poradziliśmy z poprzednim przykładem. Spójrzmy teraz na taki przykład. Punkty S, A i O są środkami odpowiednich okręgów. Niebieski okrąg jest styczny zarówno do różowego jak i do żółtego okręgu. Oblicz długość odcinka SO. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie obliczyć długość odcinka SO. Co możemy powiedzieć o promieniu niebieskiego okręgu? Jest to średnica żółtego okręgu. Czyli promień niebieskiego okręgu ma długość 2. Czy musimy obliczyć coś jeszcze? Nie, bo długość odcinka SO jest taka sama jak promień niebieskiego okręgu. Czyli ma długość 2. Na koniec rozwiążmy jeszcze takie zadanie. Jak położone są względem siebie dwa okręgi jeśli jeden z nich ma środek w punkcie S o współrzędnych minus 2, 4 i promień długości 3 a drugi ma środek w punkcie O o współrzędnych 5, zero i promień długości 5? Jak myślisz, czego będziemy potrzebowali aby rozwiązać to zadanie? Będziemy potrzebowali długości odcinka SO sumy promieni oraz różnicy promieni. Narysujmy układ współrzędnych. Zaznaczmy punkt S, którego współrzędne wynoszą minus 2, 4 oraz punkt O, którego współrzędne wynoszą 5, zero. Narysujmy też pierwszy okrąg o środku w punkcie S i promieniu równym 3. Narysujmy też drugi okrąg o środku w punkcie O i promieniu długości 5. Z rysunku wynikałoby, że te okręgi są styczne zewnętrznie. Czy na pewno tak jest? Sprawdźmy to rachunkowo. Zacznijmy od obliczenia długości odcinka SO. Połączmy punkt S oraz punkt O a długość poszukiwanego odcinka oznaczmy literką a. Czy wiesz z czego możemy skorzystać aby obliczyć długość tego odcinka? Z twierdzenia Pitagorasa. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie obliczyć długość odcinka SO. Widzimy, że długość poziomej przyprostokątnej wynosi 7 a długość pionowej przyprostokątnej wynosi 4. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymamy 4 do kwadratu plus 7 do kwadratu równa się a kwadrat. Da nam to 16 plus 49 równa się a kwadrat. Po wykonaniu dodawania otrzymamy 65 równa się a kwadrat. Skoro a jest długością boku trójkąta to musi mieć wartość dodatnią. A jaka dodatnia liczba podniesiona do kwadratu da nam 65? Niestety, bez kalkulatora ciężko byłoby wyznaczyć tę liczbę. Ale wiemy, że pierwiastek z sześćdziesięciu czterech to 8. A 65 jest liczbą większą niż 64 zatem nasze a będzie musiało być nieco większe niż 8. Obliczmy teraz sumę oraz różnicę promieni. Suma będzie wynosić 8 natomiast różnica będzie wynosić 2. Otrzymaliśmy, że długość odcinka SO jest większa nie tylko od różnicy ale i od sumy promieni. A taka nierówność charakteryzowała okręgi rozłączne zewnętrznie. Oczywiście, jak przy każdym zadaniu tekstowym zapiszmy jeszcze odpowiedź. Może ona brzmieć na przykład tak: takie dwa okręgi są rozłączne zewnętrznie. Czyli bardzo dobrze że nie zasugerowaliśmy się wcześniej rysunkiem ale sprawdziliśmy to rachunkowo. W zależności od długości promieni oraz odległości między środkami dwóch okręgów mogą się one znajdować w różnym wzajemnym położeniu. Wyróżniamy okręgi przecinające się mające dwa punkty wspólne. Okręgi styczne zewnętrznie i wewnętrznie mające dokładnie jeden punkt wspólny oraz okręgi rozłączne zewnętrznie i wewnętrznie nie mające żadnych punktów wspólnych. Jeśli chcesz być na bieżąco z naszymi materiałami zachęcam Cię do zasubskrybowania naszego kanału na YouTube PistacjaMatematyka.

Lista wszystkich autorów

Lektor: Arkadiusz Sas

Konsultacja: Zofia Wiśniewska

Grafika podsumowania: Agnieszka Opalińska

Materiały: Arkadiusz Sas

Kontrola jakości: Małgorzata Załoga

Napisy: Klaudia Abdeltawab, Раїса Скорик

Produkcja:

Katalyst Education

Lista materiałów wykorzystanych w filmie:

OpenClipart-Vectors (CC0)
PublicDomainPictures (CC0)
Mormegil (CC BY-SA)
padrinan (CC0)

Licencja:

Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej

cc-by-nc-sa.svg