Po 10-minutowej przerwie zaczynasz lekcję matematyki. Trwa ona od 12:10 do 12:55. Kolejna przerwa też trwa 10 minut. Czy między 12:00 a 12:10 wskazówka minutowa zegara zakreśla taki sam kąt jak między 12:55 a 13:05? Z tej lekcji dowiesz się co to jest kąt środkowy i jaki jest jego związek z zegarem. W czasie tej lekcji omówimy szczególne kąty które można znaleźć w okręgu. Spójrz na takie dwa kąty. Co mają one ze sobą wspólnego? Po pierwsze oba te kąty są kątami wypukłymi. Po drugie wierzchołki obu tych kątów leżą na okręgu. A po trzecie ramiona tych kątów zawierają cięciwy naszych okręgów. Takie kąty nazywamy kątami wpisanymi. Teraz spójrzmy na taką parę kątów. Jakie tym razem znajdziemy cechy wspólne? Wierzchołki naszych kątów leżą w środkach okręgów a ramiona naszych kątów wyznaczają promienie naszych okręgów. Takie kąty nazywamy kątami środkowymi. Żeby przećwiczyć zdobytą wiedzę rozwiążmy takie zadanie: sprawdź, które z poniższych kątów możemy nazwać kątami środkowymi lub kątami wpisanymi. Wyświetlmy na ekranie definicję którą poznaliśmy aby było nam po prostu łatwiej. Spójrzmy na pierwszy przykład. Widzimy, że wierzchołek tego kąta leży na okręgu. A ramiona tego kąta zawierają cięciwy okręgu. Czy mamy tu zatem do czynienia z którymś z naszych charakterystycznych kątów? Oczywiście, masz rację. Mamy tu do czynienia z kątem wpisanym. Spójrz teraz na drugi okrąg. Czy mamy tu do czynienia z kątem wpisanym lub kątem środkowym? Kąt beta jest kątem wpisanym. Wierzchołek leży na okręgu. A ramiona zawierają cięciwy tego okręgu. Być może nieco zaskoczyła Cię ta odpowiedź. Ale spójrz, równie dobrze moglibyśmy to ramię narysować w ten sposób. Niezależnie od tego jak długie to ramię narysujem będzie to cały czas ten sam kąt. Spójrz teraz na trzeci okrąg. Tym razem wierzchołek kąta nie leży ani na okręgu ani w środku okręgu. Czy mamy tu do czynienia z kątem wpisanym lub kątem środkowym? Biorąc pod uwagę cechy o których powiedzieliśmy przed chwilą możemy stwierdzić, że nie jest to ani kąt środkowy, ani kąt wpisany. A co możemy powiedzieć o ostatnim przypadku? Zastanów się chwilę. Wierzchołek tego kąta leży w środku okręgu. A jego ramiona wyznaczają promienie naszego okręgu. Oznacza to, że mamy tu do czynienia z kątem środkowym. Zwróćmy uwagę na jeszcze jedną rzecz. Mamy tutaj dwa kąty wpisane i jeden kąt środkowy. Każdy z tych kątów ma część wspólną z okręgiem. Ta wspólna część to pewien łuk okręgu. Mówimy, że jest to łuk na którym oparty jest kąt. W pierwszym przypadku ten łuk wygląda następująco. Możemy powiedzieć, że kąt wycina pewien fragment okręgu i ten zamknięty fragment okręgu jest właśnie łukiem. W drugim przypadku nasz kąt oparty jest na takim łuku. A jak myślisz, na jakim łuku oparty jest ten trzeci kąt? Masz rację. Oparty jest on na takim łuku. Przeanalizujmy taki przypadek. Co moglibyśmy powiedzieć o zależnościach między kątem środkowym, a kątem wpisanym gdyby były one oparte na tych samych łukach tak, jak w naszych trzech okręgach. Po zmierzeniu naszych kątów otrzymano takie wartości. W pierwszym przypadku kąt środkowy ma 150 stopni a kąt wpisany 75. W kolejnym, kąt środkowy 66 stopni a kąt wpisany 33 stopnie. No i w ostatnim przypadku kąt środkowy ma 154 stopnie a kąt wpisany 77 stopni. Możemy tu zauważyć pewną zależność. Dla kątów opartych na tym samym łuku miara kąta środkowego jest zawsze 2 razy większa od miary kąta wpisanego. Tę zależność nazywamy twierdzeniem o kątach wpisanym i środkowym opartych na tym samym łuku. Zachęcam Cię do obejrzenia naszej lekcji w której udowadniamy prawdziwość tego twierdzenia. Przejdźmy do kolejnego zadania. Treść tego zadania brzmi następująco: dany jest okrąg o środku S. Zaznaczono w nim kąty alfa i beta które spełniają warunek alfa plus beta równa się 132 stopnie. Znajdź miary kątów alfa i beta. Przepiszmy dane z treści zadania. Jak widzisz, kąt alfa jest kątem środkowym. A co możesz powiedzieć o kącie beta? Beta jest kątem wpisanym. I co łatwo zauważyć opartym na tym samym łuku, co kąt alfa. Znamy już twierdzenie które mówi, że dla kątów wpisanego i środkowego opartych na tym samym łuku miara kąta środkowego jest dwa razy większa od miary kąta wpisanego. Możemy zatem zapisać że alfa równa się 2 beta. Podstawmy zatem 2 beta w miejsce alfy do równania zapisanego powyżej. Otrzymamy: 2 beta plus beta równa się 132 stopnie. Mamy zatem 3 beta równa się 132 stopnie i po podzieleniu stronami przez 3 otrzymamy, że beta równa się 44 stopniom. A jak wiemy, alfa równa się 2 beta. Zatem alfa równa się 2 razy 44 stopnie co da nam 88 stopni. Zapiszmy jeszcze odpowiedź. Miara kąta alfa to 88 stopni a miara kąta beta to 44 stopnie. Zmierzmy się teraz z takim zadaniem. Punkt S jest środkiem okręgu. Oblicz miarę kąta alfa. Wiemy na pewno, że kąt alfa jest kątem wpisanym. A na jakim łuku oparty jest ten kąt? Dokładnie tak, jest on oparty na tym łuku. Teraz potrzebujemy kąta środkowego. Mamy podaną miarę jednego takiego kąta. Ma on 150 stopni. Niestety, jest on oparty na innym łuku. Nas interesuje kąt środkowy oparty na tym samym łuku, co alfa. Zatem nas będzie interesował ten kąt bo jest on oparty na tym samym łuku co kąt alfa. Wiemy też, że będzie on miał miarę 2 alfa. Zobacz, kąt 2 alfa oraz kąt 150 stopni tworzą razem kąt pełny. Oznacza to, że możemy zapisać takie równanie: 2 alfa plus 150 stopni równa się 360 stopni. Po przerzuceniu 150 stopni na prawą stronę, otrzymamy 2 alfa równa się 360 stopni minus 150 stopni. Wykonajmy odejmowanie. Da nam to 2 alfa równa się 210 stopni. Po podzieleniu stronami przez 2 otrzymamy, że alfa równa się 105 stopni. Świetnie, znaleźliśmy odpowiedź do naszego zadania. Pokażę Ci jeszcze jeden ciekawy przypadek. Narysujmy średnicę tego okręgu. A teraz narysujmy kąt wpisany który będzie oparty na tej średnicy. Spróbujmy ustalić miarę tego kąta. Czy wiesz, gdzie na rysunku jest kąt środkowy oparty na tym samym łuku? Spróbuj go znaleźć. Ten kąt wpisany jest oparty na tym łuku. To w takim razie naszym kątem środkowym musi być taki kąt półpełny. Teraz możemy skorzystać z twierdzenia o kątach wpisanym i środkowym opartych na tym samym łuku. Jak już doskonale wiesz kąt wpisany będzie 2 razy mniejszy. Czyli będzie on miał 90 stopni. Kąt wpisany oparty na średnicy zawsze ma 90 stopni. Warto to zapamiętać. Charakterystyczne kąty które możemy wyróżnić w okręgu to między innymi kąt środkowy i kąt wpisany. Kąt środkowy to taki, którego wierzchołek leży w środku okręgu. Natomiast kąt wpisany to taki którego wierzchołek leży na okręgu a oba ramiona przecinają okrąg. Bardzo przydatne jest także twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym. Mówi ono, że kąt wpisany ma miarę 2 razy mniejszą od kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Zachęcam Cię do polubienia naszej strony na Facebook' u PistacjaMatematyka.