Narysujmy żółty okrąg i wyjmijmy jego część. Co otrzymaliśmy? Jedną z najsłynniejszych postaci w historii gier wideo, Pacmana. Inspiracją do stworzenia tej postaci była ponoć pizza z brakującymi dwoma kawałkami. Inspiracje kryją się na każdym kroku. Zacznijmy od krótkiej powtórki. Jak pamiętasz, wierzchołek kąta wpisanego leży na okręgu. Natomiast wierzchołek kąta środkowego jak sama nazwa wskazuje, w środku okręgu. Sformułowaliśmy również i wykorzystywaliśmy twierdzenie o kątach wpisanym i środkowym opartych na tym samym łuku. Łuk to ten fragment okręgu który kąt wycina z okręgu. Przypomnijmy sobie treść tego twierdzenia. Miara kąta wpisanego jest 2 razy mniejsza od miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku. W tym filmie, pokażę Ci dowód tego twierdzenia. Będziemy to chcieli udowodnić dla każdych możliwych położeń i wielkości kątów. Zobaczmy jak położenie wierzchołka kąta wpisanego może mieć wpływ na sytuację. Zauważ, że wierzchołek kąta środkowego może leżeć wewnątrz lub na zewnątrz wpisanego. Ponadto mamy sytuację graniczną kiedy wierzchołek kąta środkowego leży na ramieniu kąta wpisanego. I te trzy sytuacje, to trzy przypadki którymi będziemy się zajmowali. Zacznijmy nasze rozważania od tego przypadku. Zacznijmy od udowodnienia twierdzenia przy parametrach takich jak na tym rysunku. Musimy uzasadnić, że kąt beta jest 2 razy mniejszy od kąta alfa. Tak, jak większość zadań na dowodzenie tak i to możemy potraktować jako zwykłe zadanie w którym znając kąt beta należy obliczyć alfę. Nie podano nam jednak konkretnych wartości liczbowych ale ogólne oznaczenia. To nic dziwnego. W końcu chcemy to wykazać w ogólności aby móc potem stosować to twierdzenie dla różnych liczb a nie tylko w jednym przypadku dla którego przeprowadziliśmy dowód. Ze względu na to, że rozumowanie w ogólnym przypadku trudniej jest przeprowadzić rozważmy najpierw jeden konkretny przykład. Jak widzisz, zajmiemy się wersją zadania w której beta ma 20 stopni. Naszym zadaniem będzie wyznaczenie miary kąta alfa. Zatrzymaj teraz firm i zastanów się miary których kątów możemy obliczyć korzystając z już poznanych twierdzeń. Zauważ, że odcinki CO i OB są promieniami okręgu. Oznacza to, że trójkąt CBO jest równoramienny. Co z tego wynika? Kąt CBO bo również ma miarę 20 stopni. Aby potem pamiętać co robiliśmy przy tym kącie napiszmy cyfrę 1 w takim kółku. Niech ta jedynka przypomina nam krok w którym zauważyliśmy że trójkąt BCO jest równoramienny. A co za tym idzie te dwa kąty muszą mieć taką samą miarę. Zauważ, że w trójkącie CBO brakuje nam już tylko miary jednego kąta. Możemy ją obliczyć, korzystając z sumy miar kątów w trójkącie. Czy wiesz ile będzie wynosić miara tego brakującego kąta? Oczywiście, po odjęciu od 180 2 razy po 20 otrzymujemy 140 stopni. Zanim przejdziemy dalej przy rysunku zapiszmy dwójkę w kółku. I zapiszmy, że korzystaliśmy tutaj z sumy miar kątów w trójkącie. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie obliczyć miarę kąta alfa. Zwróć uwagę, że kąt alfa i kąt COB który przed chwilą obliczyliśmy są kątami przyległymi. Oznacza to, że ich suma wynosi 180 stopni. Odejmując od 180 stopni 140 stopni otrzymujemy 40 stopni. Wstawmy w miejsce alfa obliczoną wartość. Dodatkowo zapiszmy jeszcze tutaj trójkę w kółku. Tym razem będzie nam ona przypominać że korzystaliśmy z własności kątów przyległych. Brawo, udało nam się obliczyć miarę kąta alfa. Teraz zróbmy to samo tylko na literkach. Mamy naszą jedynkę. Obliczyliśmy tam miarę kąta CBO. Z zapisków widzimy, że korzystaliśmy z własności trójkąta równoramiennego. Zapiszmy to. Miara kąta CBO to... No właśnie, ile? Tyle, co kąta BCO czyli beta. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie obliczyć miarę kąta COB. Jak pamiętamy, suma miar kątów wewnętrznych w każdym trójkącie to 180 stopni. Czyli miara kąta COB to 180 stopni minus 2 beta. Zostało nam już tylko obliczyć miarę kąta alfa. Skoro to kąty przyległe to dają w sumie 180 stopni. Otrzymujemy, że kąt alfa jest równy 180 stopni minus 180 stopni minus 2 razy beta. Po uproszczeniu otrzymujemy że jest to 2 razy beta. Na końcu, ponieważ jest to dowód stawiamy jeszcze znak końca dowodu. W ten sposób otrzymaliśmy dowód twierdzenia w jednym z trzech przypadków. Zajmijmy się teraz sytuacją w której środek okręgu leży wewnątrz kąta wpisanego. Moglibyśmy analogicznie do tego co było poprzednio przeprowadzić rachunek kątów. Spróbujmy jednak nieco innej metody. W tym celu narysujmy średnicę okręgu wychodzącą z punktu C. Pojawił się nowy punkt na przecięciu okręgu i średnicy. Nazwijmy ten punkt D. Średnica podzieliła zarówno kąt środkowy jak i kąt wpisany na dwa kąty. Na razie narysujmy tylko te kąty wpisane. I nazwijmy je na przykład gamma i omega. Zauważ, że kąty po jednej stronie średnicy tworzą taki sam przypadek jak ten który udowodniliśmy przed chwilą. Przyjrzyjmy się kątowi DOB oraz kątowi DCB. Są to, kąt środkowy oraz kąt wpisany oparty na jednym łuku a środek okręgu leży na ramieniu kąta wpisanego. A jak już doskonale wiemy w takim przypadku kąt środkowy jest 2 razy większy od kąta wpisanego. Czyli ten kąt to 2 gamma. Zapiszmy to. W nawiasie zapiszmy że korzystaliśmy tutaj z dowodu na miarę kąta wpisanego i środkowego opartych na tym samym łuku który pokazaliśmy sobie w przypadku pierwszym. W zadaniach na dowodzeni trzeba bardzo starannie uzasadniać wszystkie stwierdzenia. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie wyznaczyć miarę kąta AOD. Kąt AOD ma miarę 2 omega. Nie możemy zapomnieć o uzasadnieniu. Teraz wystarczy połączyć te dwie informacje. Zauważ, że kąt alfa składa się z dwóch części 2 gamma i 2 omega. Jeżeli wyłączymy wspólny czynnik przed nawias to w nawiasie zostanie gamma plus omega. A jak widzisz, to wyrażenie z nawiasu równe jest kątowi beta. Udało nam się uzasadnić że alfa równa się 2 beta. Jeszcze tylko uzasadnienie i znak końca dowodu. I pozostał nam już tylko trzeci przypadek. Znowu dorysujmy średnicę okręgu wychodzącą z punktu C. Czy masz pomysł, co dalej będziemy mogli zrobić? Zatrzymaj film i zastanów się chwilę. Zauważ, że ten kąt gamma oraz kąt DOB tworzą taką samą konfigurację jak w przypadku pierwszym. Właśnie dlatego kąt DOB będzie 2 razy większy niż gamma. Zapiszmy jeszcze oczywiście odpowiednie uzasadnienie. Teraz przyjrzyj się różowej części rysunku. Czy tutaj dostrzegasz jakąś zależność? Masz rację kąt DOA będzie 2 razy większy od omegi. Umieśćmy jeszcze odpowiedni opis. Czy jesteśmy w stanie wyrazić kąt alfa w zależności od gammy i omegi? Będzie to 2 gamma odjąć 2 omega. Spróbuj samodzielnie skończyć przekształcenia. Wyciągamy dwójkę przed nawias. Okazuje się, że to wyrażenie w nawiasie opisuje kąt beta. Ale skoro mamy dwójkę przed nawiasem to mamy to, co było nam potrzebne. Alfa równa się 2 beta. Oznacza to, że możemy skończyć dowód tego przypadku. Jeżeli chcesz się nauczyć stosować twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym zachęcam Cię do obejrzenia odpowiedniego filmu. Dowód twierdzenia o kątach wpisanym i środkowym opartych na tym samym łuku przeprowadzamy w trzech przypadkach. Gdy wierzchołek kąta środkowego leży na zewnątrz lub wewnątrz kąta wpisanego lub też gdy wierzchołek kąta środkowego leży na ramieniu kąta wpisanego. Jeżeli chcesz się nauczyć stosować twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym zachęcam Cię do obejrzenia odpowiedniego filmu. Jeśli film Ci się spodobał i chcesz zobaczyć więcej naszych materiałów zachęcam Cię do zasubskrybowania naszego kanału oraz odwiedzenia strony pi-stacja.tv