Z tego filmu dowiesz się:

  • jaką częścią obwodu całego koła jest długość łuku,
  • jak policzyć długość łuku.

Podstawa programowa

Pobieranie materiałów

wideo ekran podsumowujący napisy

Licencja: cc-by-nc-sa.svg

Poniższe materiały są udostępnione na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.pl). Możesz je wykorzystywać wyłącznie jako całość, bez rozdzielania ich na indywidualne elementy składowe. Zabronione jest wycinanie, pobieranie, modyfikowanie, edytowanie i zmienianie elementów składowych (np. grafik, tekstów, dźwięków, logotypów). Licencja CC BY-NC-SA 4.0 nie obejmuje wykorzystywania elementów składowych w utworach pochodnych. Jeśli chcesz wykorzystać ten materiał w swoim niekomercyjnym projekcie, nie zapomnij wymienić jego autorów: Pi-stacja / Katalyst Education.

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

Tor biegu na 200 metrów stanowi fragment bieżni. Łuki, które pokonują zawodnicy mają różne promienie więc żeby każdy przebiegł dokładnie tę samą drogę musi mieć nieco inny punkt startu. Wyobraź sobie, że jest to działka w kształcie koła. To koło ma promień równy 12 metrom. Jaki obwód ma ta działka? Jak pamiętasz, wzór na obwód koła to 2pi r. Obwód obliczymy zatem w ten sposób: 2 razy pi razy 12, co da nam 24pi metrów. Przetnijmy tę działkę na pół. Teraz nie będziemy już mówić o obwodzie ale o długości łuku dla takiego półokręgu. Jak na pewno się domyślasz długość tego łuku będzie równa połowie obwodu koła. Zapiszmy jeszcze obliczenia. Długość łuku bardzo często oznaczamy literką L. Otrzymamy 2pi r przez 2 co po podstawieniu za r liczby 12 da nam ostatecznie 12pi metrów. Dokonajmy kolejnego podziału. Ile wynosi długość łuku takiej ćwiartki? 2pi r przez 4. Da nam to ostatecznie 6pi metrów. A ile wynosi długość łuku dla 1/8 całej działki? Oczywiście 2pi r przez 8 co da nam w ostatecznym rozrachunku 3pi metrów. Przyjrzyjmy się takiemu wycinkowi. Zobacz, możemy wyróżnić tu kąt środkowy. Oznaczmy ten kąt, jako alfa. Jeżeli mówimy na przykład o 1/4 koła czy 1/8 koła to nie potrzebujemy żadnych specjalnych wzorów. Dla takich przypadków długość łuku możemy obliczać w sposób jaki pokazaliśmy sobie przed chwilą. Problem powstaje kiedy kąt jest mniej oczywisty. Ma na przykład 216 stopni. Pokażę Ci teraz, jak można sobie poradzić w takim przypadku. Pierwsza metoda polega na ułożeniu odpowiedniej proporcji. Obliczyliśmy wcześniej że obwód naszego koła wynosi 24pi. Był to obwód całego koła czyli ta wartość odpowiada kątowi pełnemu. Natomiast nas interesuje długość łuku. A kąt środkowy związany z tym łukiem ma 216 stopni. Po wymnożeniu elementów na krzyż otrzymamy 24pi razy 216 stopni równa się L razy 360 stopni. Po rozwiązaniu takiego równania powinniśmy otrzymać 14,4pi metrów. To tyle, jeżeli chodzi o pierwszą metodę. Druga metoda polega na zastosowaniu takiego wzoru. Długość łuku równa się 2pi r razy alfa, przez 360 stopni. Sprawdźmy teraz czy za pomocą wzoru dla ćwiartki działki także wyjdzie nam 6pi. Wiemy, że promień działki to 12 metrów a ten kąt środkowy ma 90 stopni. Podstawmy te dane do wzoru. Otrzymamy: Długość łuku równa się 2pi razy 12 razy 90 stopni przez 360 stopni. Po wykonaniu odpowiednich obliczeń powinniśmy otrzymać 6pi metrów. Jak widzisz, zgadza się to z wynikiem otrzymanym wcześniej. Spójrzmy teraz na takie zadanie. Oblicz obwody zaznaczonych wycinków. Zacznijmy od niebieskiego wycinka. Jak widzisz, te dwa odcinki to tak naprawdę promienie naszego okręgu. A ten odcinek jest łukiem okręgu. Wyświetlmy sobie na ekranie wzór z którego będziemy korzystali. Co będzie nam potrzebne do obliczenia łuku? Oczywiście promień oraz miara kąta środkowego. Średnica okręgu to 16 centymetrów. Zatem promień musi mieć 8 centymetrów. Natomiast kąt środkowy oparty na tym łuku ma 45 stopni. Świetnie, teraz bez problemu obliczymy długość tego łuku. Po podstawieniu do wzoru odpowiednich wartości powinniśmy otrzymać: L1 równa się 2pi razy 8 razy 45 stopni przez 360 stopni. Po wykonaniu wszystkich obliczeń powinniśmy otrzymać że długość tego łuku to 2pi centymetrów. Jednak to jeszcze nie koniec. Musimy obliczyć obwód całego zaznaczonego wycinka. Mamy 2pi dodać 8 dodać 8. Bo jak ustaliliśmy wcześniej te dwa odcinki to tak naprawdę promienie naszego okręgu. Da nam to ostatecznie 16 plus 2pi centymetrów. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie rozwiązać drugi przypadek. Tym razem promień okręgu ma 9 centymetrów. Jednak nie znamy miary kąta środkowego opartego na tym łuku. Ale bez problemu obliczymy ją sami. Widzimy, że ten kąt ma 252 stopnie. To ile brakuje do kąta pełnego? Masz rację, brakuje 108 stopni. Zatem, miara kąta środkowego opartego na tym łuku ma 108 stopni. Podstawmy te wartości do wzoru. Powinniśmy otrzymać 2pi razy 9 razy 108 stopni przez 360 stopni. Powinno nam to dać 5,4pi centymetrów. Świetnie, znamy już długość łuku. Teraz obliczmy obwód całego wycinka. Zrobimy to analogicznie do poprzedniego przypadku. Mamy 5,4pi dodać 9 dodać 9 co da nam 18 plus 5,4pi centymetrów. I na koniec rozwiążmy jeszcze takie zadanie. Na okręgu wybrano 3 punkty w taki sposób, że dzielą okrąg na łuki których stosunek wynosi trzy do czterech do pięciu. Oblicz miary kątów trójkąta wyznaczonego przez te punkty. Zanim zaczniemy cokolwiek liczyć musimy wykonać rysunek. Co tak naprawdę znaczy że łuki są w stosunku trzy do czterech do pięciu? Na ile części należy podzielić okrąg? Na 3 plus 4 plus 5, czyli 12. Które punkty są szukanymi? Pierwszy punkt wybieramy dowolnie. Następny musi znaleźć się w odległości trzech łuków. I ostatni punkt, cztery łuki dalej. Połączmy te punkty. Świetnie, otrzymaliśmy trójkąt o którym wspomniano nam w treści zadania. Będziemy musieli obliczyć miary tych trzech kątów. Zanim jednak do tego dojdziemy obliczmy miary odpowiadających im kątów środkowych. Najpierw łuk KL. Cały okrąg podzieliliśmy na 12 równych łuków. Zatem liczbie 12 będzie odpowiadać wartość 360 stopni. Analizowany przez nas łuk KL składa się z trzech łuków. Na łuku KL, oparty jest taki kąt środkowy. Jego miarę wyznaczymy obliczając alfę z proporcji którą przygotowaliśmy wcześniej. Powinniśmy otrzymać, że alfa to 90 stopni. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie obliczyć miarę kąta opartego na łuku LM oraz miarę kąta opartego na łuku MK. Powinniśmy otrzymać następujące wartości. Dla niebieskiego kąta powinno wyjść 120 stopni a dla różowego kąta powinno wyjść 150 stopni. Czy wiesz, jak korzystając z miar kątów środkowych obliczyć miary kątów trójkąta KML? Przyjrzyjmy się kątowi KML. Na którym łuku jest on oparty? Masz rację, jest on oparty na łuku KL. Zwróć uwagę, że ten żółty kąt także oparty jest na łuku KL. Zatem, korzystając z twierdzenia o kątach wpisanym i środkowym opartych na tym samym łuku możemy obliczyć miarę kąta KML. Wiemy, że kąt środkowy jest zawsze 2 razy większy. Zatem miara kąta KML będzie równa 45 stopniom. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie wykonać analogiczne działania dla kąta LKM. Jest on oparty na łuku LM. Także ten niebieski kąt oparty jest na łuku LM. W związku z tym na podstawie twierdzenia o którym mówiliśmy przed chwilą możemy stwierdzić, że miara kąta LKM to 60 stopni. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie obliczyć miarę kąta KLM. Kąt KLM oparty jest na tym samym łuku co ten różowy kąt. A skoro kąt środkowy ma 150 stopni to kąt wpisany KLM musi mieć 75 stopni. Świetnie, udało nam się wyznaczyć miary kątów trójkąta KLM. Zapiszmy jeszcze odpowiedź. Miary kątów tego trójkąta mają 45 stopni, 60 stopni i 75 stopni. Długość łuku okręgu możemy obliczyć korzystając ze wzoru alfa przez 360 stopni razy 2pi r gdzie alfa oznacza miarę kąta środkowego opartego na tym łuku a r to długość promienia danego okręgu. Jeśli lekcja Ci pomogła zachęcam Cię do zasubskrybowania naszego kanału na YouTubie PistacjaMatematyka.

Lista wszystkich autorów

Lektor: Arkadiusz Sas

Konsultacja: Zofia Wiśniewska

Grafika podsumowania: Agnieszka Opalińska

Materiały: Arkadiusz Sas

Kontrola jakości: Małgorzata Załoga

Napisy: Klaudia Abdeltawab, Раїса Скорик

Produkcja:

Katalyst Education

Lista materiałów wykorzystanych w filmie:

macrovector-official (Licencja Freepik)
Rudolphous (Domena publiczna)
Eija (CC BY)
KeithJJ (CC0)

Licencja:

Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej

cc-by-nc-sa.svg