Autorem twierdzenia z dzisiejszego filmu jest Tales z Miletu który żył ponad 2,5 tysiąca lat temu. Był nie tylko wybitnym matematykiem. Przypisuje mu się między innymi opracowanie morskiej mapy gwiazd czy umiejętność przewidywania zaćmienia słońca na podstawie obserwacji. Treść pierwszego zadania brzmi: oblicz wysokość drzewa, jeśli wiadomo, że: rzuca ono cień o długości siedmiu metrów oraz wiemy, że człowiek o wzroście 1 metr 75 centymetrów rzuca cień o długości 4 metrów. Naszym zadaniem jest obliczyć tę wysokość drzewa które rzuca cień o długości siedmiu metrów jeżeli wiemy, że człowiek o takim wzroście rzuca cień o długości czterech metrów. Aby zaoszczędzić trochę miejsca na ekranie nałóżmy na siebie oba rysunki. Wiemy, że drzewo rzuca cień o długości siedmiu metrów, a człowiek rzuca cień o długości czterech metrów. Zatem jaką długość ma odcinek DB? Oczywiście będą to 3 metry skoro cały odcinek ma mieć długość siedmiu metrów. Gdyby udało nam się udowodnić że trójkąt ABC jest podobny do trójkąta ADE to bez problemu moglibyśmy obliczyć wysokość drzewa którą oznaczyliśmy sobie jako x. Zatem sprawdźmy, czy trójkąt ABC jest podobny do trójkąta ADE. Kąt, który oznaczyłem jako alfa jest wspólny dla obu trójkątów. Zatem zaznaczony na niebiesko kąt musi mieć taką samą miarę w trójkącie ABC oraz w trójkącie ADE. Aby poznać wysokość jakiegoś ciała musimy odcinek oznaczający tę wysokość ustawić prostopadle do powierzchni a między odcinkami prostopadłymi zawsze będziemy mieli kąt prosty. Zatem w tym miejscu i w tym miejscu możemy zaznaczyć kąty proste. Pozostało nam już tylko sprawdzić czy żółte kąty DEA oraz BCA także mają identyczne miary. Skoro dwa kąty w tych trójkątach są sobie równe to trzecia para także ma takie same miary. Wynika to z sumy kątów w trójkącie. Udało nam się udowodnić na podstawie cechy kąt-kąt-kąt że trójkąt ABC jest podobny do trójkąta ADE. Czyli możemy korzystać ze skali podobieństwa odpowiadających sobie boków. Na przykład stosunek długości boku ED o długości x do boku leżącego przy takich samych kątach który w naszym przypadku mierzy 1,75 będzie równy stosunkowi boku DA który jak widzimy, ma długość 7 do boku, który leży przy takich samych kątach jak bok DA czyli w tym zadaniu będzie to bok BA o długości 4. Mnożymy na krzyż, co da nam 4x równa się 12,25. Aby pozbyć się czwórki przy x musimy teraz obustronnie podzielić przez 4 co da nam ostatecznie, że długość naszego x to w przybliżeniu 3. I oczywiście na samym końcu musi znaleźć się odpowiednia jednostka. W naszym przypadku były to metry. Czyli obliczyliśmy, że wysokość naszego drzewa to w przybliżeniu 3 metry. Na poprzedniej planszy liczyliśmy wysokość drzewa. Na tej planszy pokażę Ci jak w prosty i szybki sposób liczyć długości takich odcinków. Posłużymy się w tym celu twierdzeniem Talesa. Mówi ono, że jeśli ramiona kąta utworzonego przez półproste przetniemy dwiema prostymi równoległymi to odcinki utworzone na jednym ramieniu tego kąta są proporcjonalne do odcinków utworzonych na drugim ramieniu czyli ramiona tego kąta przecięto prostymi równoległymi. Odpowiadające sobie odcinki możemy oznaczyć na dwa sposoby. Po pierwsze, gdy odcinki te leżą na dwóch ramionach mamy odcinki od wierzchołka do pierwszej prostej i odcinki od pierwszej prostej do drugiej prostej a zapis takiej proporcji wygląda następująco. Taką sytuację obrazuje następujący schemat. Rysujemy poziomo zarówno kreski ułamkowe jak i znak równości i mamy a przez b równa się c przez d. Czyli otrzymaliśmy dokładnie to samo co w zapisanej przed chwilą proporcji. Natomiast drugi sposób zapisu odpowiadających sobie odcinków to taki gdy odcinki te leżą na jednym ramieniu kąta. To znaczy mamy a przez c oraz b przez d. Możemy to zapisać w taki sposób. Tutaj także możemy narysować schemat który ułatwi nam zapamiętanie tej proporcji. Jednak tym razem kreski ułamkowe oraz znak równości ustawione są bardziej pionowo więc proporcja będzie tu wyglądała następująco. a przez c równa się b przez d. Czyli otrzymaliśmy dokładnie to samo co w zapisanej przed chwilą proporcji. Obie te metody są równoważne i tylko od Ciebie zależy, którą będziesz rozwiązywać napotykane zadania. W tej części lekcji pokażę Ci jak układać takie proporcje w praktyce. Mamy takie zadanie: Oblicz długość odcinka CE jeśli wiadomo, że odcinek CB jest równoległy do odcinka ED. Spójrzmy na rysunek. Odcinek CE, którego szukamy jest tutaj. Dodatkowo widzimy, że odcinek CB jest równoległy do odcinka ED czyli ramiona tego kąta alfa przecięto dwiema prostymi równoległymi. Zatem możemy skorzystać z naszego schematu. Schemat w wersji pierwszej gdzie kreski ułamkowe oraz znak równości są poziomo czyli otrzymamy a przez b. A w naszym konkretnym przypadku będzie to 4 przez 2,5. Zapiszmy to. Następnie mamy znak równości i c przez d. Czyli w naszym przypadku x centymetrów przez 2 centymetry. Zapiszmy to. Wymnażamy na krzyż co da nam 2,5x równa się 8. Dzielimy stronami przez 2,5 i otrzymamy że x jest równy 3,2 centymetra. Zatem widzimy, że nasz wynik przy pierwszej metodzie to 3,2 centmetra. Zmażmy teraz poprzednie obliczenia aby przygotować miejsce na drugą wersję naszego schematu. Druga wersja naszego schemat wyglądała następująco. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie według tego schematu ułożyć odpowiednią proporcję. Otrzymamy tu a przez c czyli w naszym przypadku 4 przez x znak równości b przez d czyli 2,5 przez 2 centymetry. Po wymnożeniu na krzyż otrzymamy 2,5x równa się 8 czyli tak samo jak było to w pierwszej wersji. Więc wiemy, że z tego równania wyjdzie nam, że x jest równy 3,2 centymetra. Spójrz. Wyniki z wersji pierwszej naszego schematu jak i z wersji drugiej naszego schematu są identyczne. Zatem te metody są równoważne i tylko od Ciebie zależy którą sobie wybierzesz w trakcie rozwiązywania zadań związanych z twierdzeniem Talesa. Tym razem naszym zadaniem jest sprawdzić czy odcinek BC jest równoległy do odcinka DE. Mamy tutaj kąt alfa którego ramiona przecięto dwiema prostymi. Wiemy, że jeżeli długości odcinków na jednym ramieniu kąta będą w takiej samej proporcji jak odpowiadające im odcinki na drugim ramieniu kąta to te proste, które przecięły ramiona naszego kąta są względem siebie równoległe. Zatem zapiszmy te proporcje. Ja posłużę się poziomą wersją naszego schematu co da nam 3 przez 4,5 znak równości i mamy 8 przez 12 centymetrów. Po wymnożeniu wszystkiego na krzyż otrzymamy 36 równa się 36 co oczywiście jest równością prawdziwą. Co pozwala nam stwierdzić że odcinek BC jest równoległy do odcinka DE bo odpowiadające sobie odcinki pozostają w takiej samej proporcji. Zależność taką opisuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa. Mówi ono, że jeżeli ramiona kąta przetniemy dwiema prostymi i odcinki utworzone na jednym z ramion są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim ramieniu to te dwie proste są równoległe. Czyli w naszym przypadku mieliśmy dwa ramiona kąta przecięte prostymi. Powstały nam dzięki temu odcinki AC, CE, AB oraz BD. Jeżeli stosunek długości odcinka DB do odcinka EC będzie taki sam jak stosunek długości odcinka AB do odcinka AC to proste, które przecięły ramiona kąta są równoległe. Również poprawnym rozwiązaniem byłoby przyjęcie pionowej wersji naszych elementów ze schematu. Skoro w obliczeniach otrzymaliśmy równość prawdziwą 36 równa się 36 możemy sformułować wniosek że odcinki BC i DE są względem siebie równoległe. Wyczyśćmy teraz tablicę. Spójrzmy na kolejny przykład. Tutaj także mamy sprawdzić czy odcinek BC jest równoległy do odcinka DE. Zatrzymaj teraz film i spróbuj sprawdzić samodzielnie czy te odcinki są równoległe. Ja tym razem posłużę się pionowym ułożeniem elementów ze schematu. Jednak, jeśli Twój wybór padł na poziome ułożenie elementów to wyniki i tak otrzymamy takie same. Moja proporcja wygląda następująco. 2,5 metra przez 4 metry równa się 2 metry przez 5 metrów co po wymnożeniu na krzyż da nam 12,5 równa się 8. Co oczywiście nie jest równością prawdziwą zatem nasze proporcje także nie są równe. Zatem korzystając z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa możemy sformułować wniosek że odcinek BC nie jest równoległy do odcinka DE. Jeśli ramiona kąta utworzonego przez półproste przetniemy dwiema prostymi równoległymi to odcinki utworzone na jednym ramieniu tego kąta są proporcjonalne do odcinków utworzonych na drugim ramieniu. Zachęcam Cię do odwiedzenia naszej strony pistacja.tv gdzie znajdziesz wszystkie udostępnione przez nas materiały.