Z tego filmu dowiesz się:

  • czym jest twierdzenie o odcinku łączącym środki boków w trójkącie,
  • jak zastosować w zadaniach twierdzenie o odcinku łączącym środki boków w trójkącie.

Podstawa programowa

Pobieranie materiałów

wideo ekran podsumowujący napisy

Licencja: cc-by-nc-sa.svg

Poniższe materiały są udostępnione na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.pl). Możesz je wykorzystywać wyłącznie jako całość, bez rozdzielania ich na indywidualne elementy składowe. Zabronione jest wycinanie, pobieranie, modyfikowanie, edytowanie i zmienianie elementów składowych (np. grafik, tekstów, dźwięków, logotypów). Licencja CC BY-NC-SA 4.0 nie obejmuje wykorzystywania elementów składowych w utworach pochodnych. Jeśli chcesz wykorzystać ten materiał w swoim niekomercyjnym projekcie, nie zapomnij wymienić jego autorów: Pi-stacja / Katalyst Education.

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

Tak wygląda piramida żywieniowa diety śródziemnomorskiej. Czy pokazuje ona, że mięso i słodycze powinny być spożywane 2 razy rzadziej niż produkty mleczne? Spróbujmy rozwiązać takie zadanie. Oblicz długość odcinka DE wiedząc, że punkt D zaznaczono na środku odcinka AC punkt E zaznaczono na środku odcinka BC a długość odcinka AB to 4 centymetry. Jeśli długość odcinka AC oznaczymy sobie jako a możemy zapisać, że długość odcinka AD to 1/2a i długość odcinka DC to 1/2a bo wiemy, że punkt D leży na środku odcinka AC. W analogiczny sposób możemy opisać drugie ramię trójkąta BC. No tak, że mamy 1/2b i 1/2b bo przecież z treści zadania nie wiemy czy ten trójkąt jest równoramienny. Spróbujmy udowodnić, że trójkąt DEC jest podobny do trójkąta ABC bo wtedy w prosty sposób obliczymy długość odcinka DE. Mamy tu żółty kąt alfa który jest wspólny dla obu trójkątów. Zatem, ma on taką samą miarę w obu trójkątach. Zobacz. Mamy tu kąt wspólny a po obu stronach ramię małego trójkąta stanowi połowę długości ramienia dużego trójkąta co pozwala nam stwierdzić, że trójkąt DEC jest podobny do trójkąta ABC na podstawie cechy bok-kąt-bok. W takim razie także odpowiednie kąty w tych trójkątach są równe. To znaczy, kąt w tym miejscu i w tym miejscu ma taką samą miarę oraz kąt w tym miejscu i w tym miejscu ma taką samą miarę. Z równości tych kątów wynika także że odcinek DE jest równoległy względem odcinka AB, prawda? Skoro wiemy, że nasze trójkąty są podobne to możemy zapisać proporcje odpowiednich boków. To znaczy ramię małego trójkąta do ramienia dużego trójkąta będzie w takim samym stosunku jak podstawa małego trójkąta do podstawy dużego trójkąta. Co da nam 1/2a do A równa się x do 4. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie obliczyć wartość x. Widzimy, że a nam się tutaj skróci a 1/2 przez 1 to 1/2. Zatem otrzymamy 1/2 równa się x przez 4. A taki zapis, gdzie po lewej stronie równania w liczniku liczba jest 2 razy mniejsza od liczby z mianownika możemy interpretować w ten sposób że x jest 2 razy mniejszy od czwórki. Czyli widzimy, że nasz x wynosi 2 centymetry. Alternatywną metodą rozwiązania tego zadania byłoby skorzystanie z twierdzenia o odcinku łączącym środki boków w trójkącie. Mówi ono, że odcinek łączący środki dwóch boków w trójkącie jest równoległy do trzeciego boku tego trójkąta a jego długość jest połową długości trzeciego boku. W naszym przypadku odcinkiem łączącym środki boków trójkąta jest odcinek DE. A widzimy, że jest on równoległy do odcinka AB ponieważ w obu trójkątach jedno ramię nachylone jest pod kątem beta a drugie ramię pod kątem gamma. Pozwala nam to stwierdzić, że odcinek DE jest 2 razy krótszy od odcinka AB co zgadza się z naszymi poprzednimi obliczeniami. Przećwiczmy teraz korzystanie z twierdzenia o którym przed chwilą Ci opowiadałem. Mamy tu zadanie. Oblicz długość odcinka AB jeśli wiadomo że długość odcinka DE będącego linią środkową trójkąta wynosi 3 metry. Możemy zapisać proporcję że 1/2 równa się 3 przez długość odcinka AB. Czyli ile wynosi długość poszukiwanego przez nas odcinka? Wiemy, że długość odcinka AB to 6 metrów bo musi on być dwa razy dłuższy od odcinka DE. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie ułożyć odpowiednią proporcję oraz wyznaczyć długość odcinka DE. Skoro długość dłuższego odcinka wynosi 4,5 decymetra to długość krótszego odcinka musi być 2 razy mniejsza i wynosi 2,25 decymetra. A co, jeżeli w naszych długościach pojawią się ułamki? Postępujemy identycznie. Układamy odpowiednią proporcję i wyznaczamy długość poszukiwanego przez nas boku. Zatrzymaj film i spróbuj samodzielnie wyznaczyć długość odcinka DE. Odcinek DE musi być dwa razy krótszy od odcinka AB. Zatem długość odcinka DE musi wynosić 2/3 centymetra. Na zakończenie rozwiążmy jeszcze takie zadanie. Oblicz obwód trójkąta DEC jeśli wiadomo że długość odcinka AD jest równa długości odcinka DC. Długość odcinka BE jest równa długości odcinka EC. Oraz wiemy, że obwód trójkąta ABC wynosi 18 centymetrów. W przypadku, gdy długości boków trójkąta DEC oznaczymy sobie jako a, b i c możemy zapisać, że obwód trójkąta DEC jest równy a plus b plus c. Ustalmy teraz długości boków trójkąta ABC. Wiemy, że długość odcinka EC jest równa długości odcinka BE. Zatem, skoro długość tego odcinka oznaczyliśmy sobie jako c no to długość całego takiego odcinka BC będzie równa 2c. Z tych samych powodów długość drugiego ramienia trójkąta AC możemy opisać jako 2b. Zobacz, punkty D i E zaznaczone są na środkach ramion odpowiednio AC i BC. A pamiętamy, że linia środkowa dzieli trójkąt na dwa trójkąty podobne. Dlatego możemy zapisać, że trójkąt ABC jest podobny do trójkąta DEC. Na tej podstawie możemy stwierdzić że odcinek DE jest równoległy względem odcinka AB. Podsumujmy, co już wiemy. Wiemy już, że odcinek DE jest linią środkową oraz ten sam odcinek jest równoległy względem odcinka AB. Zatem możemy skorzystać z twierdzenia o odcinku łączącym środki boków w trójkącie. Co oznacza, że długość odcinka AB wynosi 2a. Skoro znamy długości boków trójkąta ABC to zapiszmy jego obwód. Będzie on wynosił 2a plus 2b plus 2c. A z polecenia wiemy, że suma tych trzech długości wynosi 18 centymetrów. Zobacz, gdybyśmy podzielili obwód trójkąta ABC przez dwa otrzymalibyśmy a plus b pluc c. Czyli dokładnie to, co mamy tutaj w obwodzie trójkąta DEC. A gdy podzielimy 18 centymetrów przez 2 otrzymamy, że poszukiwany przez nas obwód trójkąta DEC wynosi 9 centymetrów. Jeśli połączymy środki dwóch boków trójkąta to powstały odcinek będzie równoległy do trzeciego boku tego trójkąta i będzie od niego 2 razy krótszy. Jeśli chcesz być na bieżąco z naszymi najnowszymi filmami zachęcam Cię do zasubskrybowania naszego kanału PistacjaMatematyka.

Lista wszystkich autorów

Lektor: Arkadiusz Sas

Konsultacja: Maria Mędrzycka

Grafika podsumowania: Valeriia Malyk

Materiały: Agnieszka Opalińska

Kontrola jakości: Małgorzata Załoga

Napisy: Klaudia Abdeltawab, Раїса Скорик

Produkcja:

Katalyst Education

Lista materiałów wykorzystanych w filmie:

Midora (CC 0)
mohamed_hassan (CC 0)
Krikkelina (CC 0)
OpenClipart-Vectors(CC 0)
kreatikar (CC 0)
kartynas (CC 0)
maciej326 (CC 0)
Agzam(CC)
OpenClipart-Vectors(CC 0)
OpenClipart-Vectors(CC 0)
OpenClipart-Vectors(CC 0)
aalmeidah (CC 0)
aleksandra85foto (CC 0)

Licencja:

Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej

cc-by-nc-sa.svg