Z tego filmu dowiesz się:

  • jak badać podobieństwo trójkątów wpisanych w okrąg,
  • jak określać długości boków w takich trójkątach w oparciu o skalę podobieństwa,
  • co to jest kąt wpisany,
  • co to jest kąt oparty na cięciwie,
  • co to jest kąt dopisany do okręgu,
  • że kąty oparte na tym samym łuku okręgu są równe.

Podstawa programowa

Pobieranie materiałów

wideo ekran podsumowujący napisy

Licencja: cc-by-nc-sa.svg

Poniższe materiały są udostępnione na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.pl). Możesz je wykorzystywać wyłącznie jako całość, bez rozdzielania ich na indywidualne elementy składowe. Zabronione jest wycinanie, pobieranie, modyfikowanie, edytowanie i zmienianie elementów składowych (np. grafik, tekstów, dźwięków, logotypów). Licencja CC BY-NC-SA 4.0 nie obejmuje wykorzystywania elementów składowych w utworach pochodnych. Jeśli chcesz wykorzystać ten materiał w swoim niekomercyjnym projekcie, nie zapomnij wymienić jego autorów: Pi-stacja / Katalyst Education.

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

Główną zaletą cyrkla proporcjonalnego było to, że przeliczając wartości korzystano z proporcji bez stosowania żmudnych działań arytmetycznych. Naszym pierwszym zadaniem jest obliczyć długość odcinka BE, jeżeli wiadomo że długość odcinka AE to 6 centymetrów odcinka CE to 3 centymetry i odcinka DE to 2 centymetry. Aby to zrobić, posłużymy się podobieństwem trójkątów. Jednak w tym momencie na ekranie nie ma choćby jednego trójkąta. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie dorysować jeszcze dwa odcinki łączące zaznaczone punkty w taki sposób, aby powstały nam dwa trójkąty. Ja połączyłem punkty A i B więc powstał mi tu trójkąt ABE a tu połączyłem punkty C i D co utworzyło trójkąt CDE. Oczywiście alternatywnym również poprawnym rozwiązaniem byłoby połączenie odcinka AC oraz odcinka DB. Jednak w tym filmie będziemy bazować na tej pierwszej wersji. Wspominałem Ci wcześniej, że skorzystamy z podobieństwa trójkątów. Jednak aby to zrobić, musimy sprawdzić czy aby na pewno trójkąt ABE jest podobny do trójkąta CDE. Na początku porównajmy te dwa kąty zaznaczone na niebiesko. Widzimy, że dwa odcinki BC oraz AD przecinają się w jednym punkcie. Zatem, nasze niebieskie kąty stanowią parę kątów wierzchołkowych czyli mają takie same miary. Sprawdźmy teraz czy kąty zaznaczone na różowo także mają takie same miary. Zobacz, nasz kąt ADC jest oparty na łuku AC, prawda? Podobnie kąt ABC. On także oparty jest na łuku AC. A jeżeli kąty oparte są na tym samym łuku to wiemy, że ich miary są identyczne. Skoro udowodniliśmy, że nasze trójkąty mają już dwa kąty o takich samych miarach to z sumy miar kątów w trójkącie wiemy, że trzecia para kątów także musi mieć takie same miary. Świetnie. Udowodniliśmy zatem, że trójkąt ABE jest podobny do trójkąta CDE na podstawie cechy kąt-kąt-kąt. Skoro nasze trójkąty są podobne to znaczy, że długości odpowiadających sobie boków pozostają w stałej proporcji co pozwala nam zapisać że stosunek długości boku przy kącie gamma oraz kącie alfa do długości boku przy kącie gamma i kącie alfa w drugim trójkącie będzie równy stosunkowi długości boku przy kącie alfa i kącie beta w trójkącie ABE do długości boku przy kącie alfa i kącie beta w trójkącie CDE. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie wyznaczyć z zapisanej proporcji wartość x. Po wymnożeniu na krzyż elementów naszego równania otrzymamy, że 3x równa się 12. Dzielimy stronami przez 3 co da nam ostatecznie że nasz x jest równy 4 centymetrom. I na sam koniec sformułujmy jeszcze odpowiedź do naszego zadania. Może ona brzmieć na przykład w ten sposób: długość odcinka BE wynosi 4 centymetry. Treść drugiego zadania brzmi: z punktu A poprowadzono dwie proste. Sieczną okręgu przecinającą okrąg kolejno w punktach B i C oraz styczną do okręgu w punkcie K. Wykaż, że jeśli długość odcinka AB jest równa długości odcinka KB to długość odcinka KA będzie równa długości odcinka KC. Aby sprawdzić czy wymienione odcinki mają taką samą długość skorzystamy ponownie z podobieństwa trójkątów. Skoro wiemy, że długość odcinka AB jest równa długości odcinka KB to możemy stwierdzić, że nasz trójkąt AKB jest równoramienny, prawda? Skoro trójkąt AKB jest równoramienny to co możemy powiedzieć o kątach między podstawą a ramionami? Oczywiście, masz rację. Kąty te mają takie same miary. Naszym zadaniem jest udowodnić że długość odcinka KA jest równa długości odcinka KC. Zobacz. Te długości mogą być jednocześnie ramionami trójkąta AKC. A skoro te długości mają być równe to znaczy, że gdybyśmy udowodnili że ten trójkąt AKC jest równoramienny to zakończyłoby nasz dowód. Posłużymy się w tym celu twierdzeniem o kącie między styczną, a cięciwą. Mówi ono, że kąt między styczną do okręgu a cięciwą będzie miał taką samą miarę jak kąt wpisany oparty na tej cięciwie. Tyle mówi nam twierdzenie. Spróbujmy to teraz zastosować w naszym zadaniu. Mamy kąt między styczną do okręgu a cięciwą. Czyli w naszym przypadku jest to ten kąt alfa. Zatem kąt wpisany oparty na naszej cięciwie będzie miał taką samą miarę jak kąt, który wskazaliśmy wcześniej prawda? Świetnie. Korzystając z tego schematu udało nam się udowodnić, że w tym miejscu także znajduje się kąt o mierze alfa. A skoro tutaj znajduje się kąt o mierze alfa i tutaj znajduje się kąt o mierze alfa to trójkąt AKC jest równoramienny co pozwala nam ostatecznie stwierdzić że długość odcinka KA musi być równa długości odcinka KC. Co kończy nasz dowód. W ramach ciekawostki mogę pokazać Ci że niezależnie od tego jak punkt B będzie ustawiony jeżeli tylko spełnimy warunek że długość odcinka AB będzie równa długości odcinka KB to ten trójkąt tutaj będzie zawsze równoramienny. Trójkąty wyznaczone przez dwie cięciwy w okręgu są podobne na podstawie cechy kąt-kąt-kąt. Wynika to z równości kątów wpisanych opartych na tym samym łuku. To już ostatni film z playlisty dotyczącej podobieństwa trójkątów. Zachęcam Cię do odwiedzenia naszej strony pi-stacja.tv gdzie znajdziesz wszystkie nasze pozostałe materiały.

Lista wszystkich autorów

Lektor: Arkadiusz Sas

Konsultacja: Maria Mędrzycka

Grafika podsumowania: Valeriia Malyk

Materiały: Valeriia Malyk

Kontrola jakości: Małgorzata Załoga

Napisy: Klaudia Abdeltawab, Раїса Скорик

Produkcja:

Katalyst Education

Lista materiałów wykorzystanych w filmie:

Daderot (Pubic Domain)
Daderot (Pubic Domain)

Licencja:

Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej

cc-by-nc-sa.svg