Kąt między prostą a płaszczyzną

Jednym z najbardziej rozpoznawalnych włoskich zabytków jest Krzywa Wieża w Pizie. Przed 1990 rokiem kąt nachylenia wieży do podłoża wynosił 10 stopni co wpłynęło na decyzję o zamknięciu tego zabytku dla zwiedzających. Obecnie po pracach konserwacyjnych i zabezpieczających wynosi on około 4 stopni a wieżę znowu można zwiedzać. Do tej pory mówiliśmy że w graniastosłupie prostym krawędzie boczne są prostopadłe do podstawy. Ale co to tak naprawdę oznacza? Jak prosta i płaszczyzna mogą być prostopadłe? Narysujmy sobie płaszczyznę. Zaznaczmy na tej płaszczyźnie kilka prostych. Niech przecinają się w jednym punkcie. Nasza prosta będzie prostopadła do płaszczyzny wtedy, gdy będzie przebijać tę płaszczyznę i będzie prostopadła do każdej prostej leżącej na tej płaszczyźnie. Zobacz. Pomiędzy każdą z tych niebieskich prostych a czerwoną prostą możemy zaznaczyć kąt 90 stopni. W takim razie ile wystarczy narysować prostych na płaszczyźnie żebyśmy mieli pewność że prosta, którą przebijamy tę płaszczyznę jest do niej prostopadła? Narysujmy jedną niebieską prostą leżącą na płaszczyźnie. Z tej perspektywy wydaje nam się że czerwona prosta jest prostopadła zarówno do niebieskiej prostej jak i do płaszczyzny. Ale tak wcale nie musi być. Dorysujmy na tej płaszczyźnie drugą prostą i spójrzmy na nasz rysunek z innej strony. Jak widzisz, czerwona prosta absolutnie nie jest prostopadła do płaszczyzny bo nie jest prostopadła do nowej prostej. Oznacza to, że do określenia czy prosta jest prostopadła do płaszczyzny nie wystarczy nam że jest prostopadła do jednej prostej na płaszczyźnie. A co gdyby nasza prosta była prostopadła do dwóch niebieskich prostych leżących na płaszczyźnie i przecinających się z czerwoną prostą w jednym punkcie. Widzisz, że niezależnie od tego jak obrócimy rysunek czerwona prosta pozostanie prostopadła. Zapamiętaj! Jeżeli jakaś prosta jest prostopadła do dwóch nierównoległych prostych leżących na płaszczyźnie to jest prostopadła do tej płaszczyzny. W dalszej części filmu przybliżymy sobie pojęcie nachylenia prostej do płaszczyzny. A co, jeśli prosta przecina płaszczyznę ale nie jest do niej prostopadła? Narysujmy płaszczyznę i prostą przebijającą ją ale już nie pod kątem prostym. Jak ustalić kąt nachylenia tej prostej do płaszczyzny? Żeby to zrobić rzutujemy prostą prostopadle na płaszczyznę. Możemy powiedzieć, że rzut to cień rzucany przez prostą w samo południe. Gdy popatrzymy na płaszczyznę od góry rzut pokryje się z prostą której nachylenie badamy. Czy potrafisz wskazać kąt nachylenia tej prostej do płaszczyzny? Ten kąt znajduje się w tym miejscu. Oznaczymy go grecką literą alfa. Umawiamy się, że chodzi nam o kąt ostry. A teraz czas na zadania dla Ciebie. Wskaż, gdzie są kąty nachylenia zaznaczonych przekątnych do podstawy sześcianu. Zatrzymaj film i spróbuj rozwiązać to zadanie samodzielnie. Mamy zaznaczone dwie przekątne. Niebieską i żółtą. Zajmijmy się najpierw niebieską. Aby narysować rzut prostej potrzebny nam będzie punkt na tej prostej nie leżący na podstawie sześcianu. Wybierzmy taki punkt który łatwo nam określić. Na przykład wierzchołek sześcianu. Czy domyślasz się co będzie jego rzutem na podstawę? Będzie to wierzchołek na tej samej krawędzi ale leżący w podstawie. Dlaczego? Bo w sześcianie krawędzie zawsze są do podstawy prostopadłe. W ten sposób uzyskujemy jeden z punktów rzutu. A drugi? Najprościej będzie to po prostu punkt wspólny prostej i płaszczyzny czyli punkt przebicia. To znaczy, że rzut naszej prostej zawiera krawędź podstawy a kąt, który chcemy znaleźć będzie pomiędzy krawędzią podstawy a ścianą graniastosłupa. Teraz zajmijmy się żółtą przekątną. Tak jak poprzednio szukamy punktu na tej prostej nieleżącego w podstawie sześcianu. Ja wybieram ten sam punkt co w poprzednim przykładzie bo w ten sposób wiem już co będzie jego rzutem na podstawę. Teraz szukamy punktu wspólnego z płaszczyzną. Będzie to oczywiście ten punkt. Łączymy teraz je ze sobą i gotowe. Mamy rzut prostej na podstawę a kąt nachylenia przekątnej sześcianu znajduje się w tym miejscu. Zmieńmy trochę warunki zadania. Polecenie brzmi: Gdzie są kąty nachylenia podanych przekątnych do zaznaczonej ściany bocznej? Zacznijmy od niebieskiej przekątnej. Jej punkt wspólny z naszą ścianą boczną to punkt F. A jak znaleźć drugi punkt do zrzutowania? Będzie to punkt A a jego rzutem na ścianę sześcianu jest oczywiście punkt B. Łączymy ze sobą oba punkty i mamy już rzut naszej prostej na zaznaczoną ścianę boczną. Szukany kąt będzie w tym miejscu. Teraz żółta przekątna. Punkt wspólny tej przekątnej ze ścianą boczną to punkt G a rzut punktu A na tę ścianę to punkt B. Łączymy ze sobą oba punkty i wyznaczamy szukany kąt. Mamy graniastosłup prawidłowy czworokątny gdzie wierzchołki AEG połączono odcinkami. Na rysunku wskaż kąt między odcinkiem OA w trójkącie AEG i płaszczyzną podstawy tego graniastosłupa. Spróbuj to zrobić samodzielnie. W rozwiązywaniu tego zadania możemy jak poprzednio wykorzystać rzut prostokątny. Szukamy punktu odcinka OA który nie leży w płaszczyźnie podstawy. Najprościej stwierdzić że jest to punkt A. Teraz rzutujemy go na podstawę. Rzutem punktu A na podstawe graniastosłupa jest punkt H. Wiemy, że odcinek OA jest wysokością trójkąta AEG a punkt O jest punktem wspólnym tej wysokości z płaszczyzną podstawy. Pozostało nam już tylko połączyć oba te punkty. Widzimy, że naszym poszukiwanym kątem jest kąt HOA. Obrócę teraz dla Ciebie graniastosłup żebyś wszystko sobie obejrzał. Zrobiliśmy dzisiaj wiele fajnych zadań ale to jeszcze nie koniec. Przed nami taki problem. Znajdź kąt pomiędzy przekątną ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego a sąsiednią ścianą. Możesz rozwiązać to zadanie samodzielnie. Później koniecznie porównaj swój wynik z moim. Przyjmijmy, że chcemy znaleźć kąt pomiędzy różową przekątną a tą ścianą boczną. Jeżeli wybrałeś kąt między nią a drugą ścianą to nic nie szkodzi. Rozwiązanie jest analogiczne a kąt taki sam. Punktem wspólnym przekątnej i sąsiedniej ściany bocznej jest punkt B. Zaznaczmy go. Teraz korzystamy z rzutu prostokątnego. Żeby było nam łatwiej sobie wszystko wyobrazić obróćmy naszą bryłę tak aby leżała na ścianie na którą będziemy rzutowali punkt D. Rzutując punkt D na czerwoną ścianę otrzymujemy punkt O który jest spodkiem wysokości trójkąta DEF opuszczonej z punktu D. Ponieważ graniastosłup był prawidłowy to jego podstawa jest trójkątem równobocznym czyli to po prostu środek krawędzi EF. Pozostało nam już tylko połączyć punkty B i O. To jest rzut naszej prostej na ścianę boczną. W związku z tym szukany kąt będzie się znajdował w tym miejscu. Aby znaleźć kąt między prostą, a płaszczyzną należy zrzutować tę prostą prostopadle na płaszczyźnie. W tym celu wystarczy wybrać dowolny punkt z tej prostej, rozłączny z płaszczyzną i opuścić z niego wysokość na płaszczyznę. W dzisiejszym filmie omówiliśmy sobie czym jest pojęcie prostopadłości prostej do płaszczyzny w przestrzeni oraz powiedzieliśmy trochę o kącie nachylenia prostej lub odcinka do takiej płaszczyzny i jak go znaleźć.