Kąt między prostą a płaszczyzną - zadania

Gdyby ktoś Cię kiedyś zapytał czy kajak może być graniastosłupem to odpowiedź brzmi tak. Dwóm Belgom udało się stworzyć dwuosobowy kajak który składa się w mały graniastosłup a ten później mieści się do plecaka. Brzmi świetnie, prawda? W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym, krawędź boczna ma długość b, a krawędź podstawy ma długość a. Zaznacz na rysunku i oblicz miarę kąta nachylenia dłuższej przekątnej bryły do płaszczyzny podstawy jeśli a równa się 2 a b równa się 4 oraz krótszej przekątnej bryły do płaszczyzny podstawy gdy a równa się 3 a b równa się 6. Na naszym graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym zaznaczmy krawędź podstawy a i krawędź boczną b. Mamy znaleźć kąt nachylenia dłuższej przekątnej do podstawy. Jak już wiesz z wcześniejszych lekcji dłuższa przekątna graniastosłupa będzie się znajdowała nad dłuższą przekątną podstawy. Aby znaleźć jej kąt nachylenia wystarczy zrzutować jeden punkt tej przekątnej na podstawę graniastosłupa. Jeżeli tego nie pamiętasz to zachęcam Cię do obejrzenia odpowiedniego filmu z tej playlisty. Najłatwiej będzie zrzutować jakiś punkt charakterystyczny. W naszym przypadku wierzchołek w którym przekątna przecina drugą podstawę graniastosłupa. Rzutem tego punktu będzie wierzchołek podstawy leżący pod nim a więc rzutem przekątnej, odcinek c. Jak widzisz, dobrze wyznaczyliśmy rzut. Po przekręceniu pokrywa się on z przekątną bryły. Zapiszmy, co z treści zadania wiemy. Mamy krawędź podstawy a równą dwóm i krawędź boczną b równą czterem. Aby obliczyć kąt nachylenia możemy wykorzystać trygonometrię. W naszym trójkącie prostokątnym mamy już jeden bok bo wiemy, że b równa się 4 ale potrzebujemy jeszcze drugiego. Co łatwiej wyznaczyć przekątną bryły czy podstawy? Wiemy, że podstawa tej bryły jest sześciokątem foremnym więc jest zbudowana z sześciu trójkątów równobocznych. Rzut naszej przekątnej jest przekątną podstawy czyli długość rzutu c jest równa podwójnej krawędzi podstawy a. Zapiszmy to. c równa się 2a. Wiemy, że a równa się 2. Z tego wynika, że c równa się 4. Czy wiesz jak obliczyć szukany kąt? Znamy dwie przyprostokątne więc posłużymy się tangensem. Za b i c podstawiamy 4. Tangens szukanego kąta to b przez c czyli 4 podzielić przez 4 a to po prostu 1. Czy pamiętasz dla jakiego kąta tangens wynosi 1? Oczywiście dla kąta 45 stopni. I to jest odpowiedź na pytanie z podpunktu a. W drugim przykładzie zmieniają się tylko długości krawędzi. Możemy więc zostawić sobie rysunek pomocniczy. Przyda się nam również teraz. Zaczynamy od zaznaczenia krótszej przekątnej graniastosłupa. Będzie ona leżeć nad krótszą przekątną podstawy. Krótsza przekątna podstawy jest zatem zrzutem tej przekątnej graniastosłupa na płaszczyznę podstawy. Rzut oznaczamy literą c a kąt nachylenia alfa. Wypisujemy dane. a równa się 3, b równa się 6. A c? Czym właściwie jest to c? Zaznaczę nasz rzut na płaskim rysunku podstawy. Widzimy, że będzie on równy dwóm wysokościom takiego trójkąta równobocznego. Pamiętasz, że wysokość trójkąta równobocznego to a pierwiastków z trzech przez 2? Jeśli nie obejrzyj koniecznie odpowiedni film. Zapiszmy w takim razie to, co wiemy za pomocą równania. c równa się 2 razy a pierwiastków z trzech przez 2. Dwójki skracamy a za a podstawiamy 3. W wyniku otrzymujemy że c równa się trzem pierwiastkom z trzech. Teraz liczymy tangens. Za b podstawiamy 6 a za c, 3 pierwiastki z trzech. Usuwamy niewymierność z mianownika czyli mnożymy licznik i mianownik przez pierwiastek z trzech. W liczniku mamy teraz 6 pierwiastków z trzech a w mianowniku 3 razy 3. Skracamy przez 3 i otrzymujemy że tangens alfa wynosi 2 pierwiastki z trzech przez 3. Czy wiesz, ile będzie wynosił kąt nachylenia dla takiej wartości tangensa? Nie jest to tangens żadnej charakterystycznej wartości kąta. Musimy skorzystać z tablic trygonometrycznych. Nasz tangens to w przybliżeniu 1,1547 co daje nam wartość kąta około 49 stopni. Oblicz objętość prostopadłościanu w którym przekątna EC o długości x równej 12, jest nachylona do ściany bocznej DCGH i płaszczyzny podstawy EFGH pod kątem 30 stopni. Zaczynamy od narysowania naszego prostopadłościanu i zaznaczenia na nim przekątnej EC. Z treści zadania wiemy pod jakim kątem jest ona nachylona do ściany bocznej DCGH i do podstawy. Musimy znaleźć rzuty tej przekątnej na ścianę boczną DCGH i EFGH. Czy wiesz, co to będzie za odcinek? Rzut punktu E na tę ścianę boczną to punkt H. Jeśli masz z tym problem to spróbuj sobie wyobrazić że przekręcasz bryłę tak aby leżała na ścianie DCGH. Wtedy wierzchołek E znajdzie się dokładnie nad wierzchołkiem H. Łączymy punkt H z punktem C. I mamy już nasz rzut. Odcinek CH. Kąt nachylenia alfa znajduje się w tym miejscu. Z treści zadania wiemy również że zaznaczona przekątna jest nachylona do podstawy pod takim samym kątem równym 30 stopniom. Rzut tej przekątnej na podstawę to odcinek EG. Tutaj również zaznaczmy kąt nachylenia alfa. Poszukujemy objętości prostopadłościanu. Musimy zatem dowiedzieć się jaka jest długość krawędzi podstawy i krawędzi bocznych. Ponieważ krawędź boczna prostopadłościanu zawsze jest prostopadła do podstawy to trójkąt CEG jest prostokątny. Żeby wyznaczyć odcinek CG czyli krawędź boczną posłużmy się sinusem kąta. Dlaczego? Bo mamy podaną długość przeciwprostokątnej x. Zapisujemy: sinus alfa równa się GC podzielić przez x. Wiemy, że alfa wynosi 30 stopni a x równa się 12. Podstawiamy. Mamy sinus 30 stopni równa się GC przez 12. Żeby otrzymać długość GC której szukamy mnożymy obie strony przez 12. GC równa się zatem sinus 30 stopni razy 12. Czy wiesz, ile wynosi ten sinus? To oczywiście 1/2. Czyli GC równa się 1/2 razy 12 a to równa się 6. Czego nam jeszcze brakuje do obliczenia objętości? Krawędzi podstawy. W tym celu wykorzystamy drugi z kątów nachylenia podanych w zadaniu. Pora zatem przyjrzeć się trójkątowi ECH. Czy tutaj również możemy skorzystać z funkcji trygonometrycznych? Czy jest to trójkąt prostokątny? Tak. Może na pierwszy rzut oka tego nie widać ale nie wszystko na płaskim obrazku jest takie jak w rzeczywistości. My wiemy, że krawędź EH musi być prostopadła do ściany HGCD bo nasza bryła to prostopadłościan. Długość EH najprościej obliczyć korzystając z funkcji sinus. Sinus alfa równa się EH podzielić przez x. Podstawiamy to co już wiemy z treści zadania i otrzymujemy sinus 30 stopni równa się EH podzielić przez 12. Po przeniesieniu liczb na jedną stronę otrzymamy: EH równa się sinus 30 stopni razy 12. Sinus 30 stopni to oczywiście 1/2. Więc mamy 1/2 razy 12 a to równa się 6. Zaznaczmy to na obrazku. Odcinek GC równa się 6 i odcinek EH również równa się 6. To jeszcze nie koniec tego zadania ale nie mam już miejsca gdzie pisać więc zmażmy nasze obliczenia bo wszystko to, czego potrzebujemy mamy na rysunku. Teraz musimy się dobrać do długości drugiej krawędzi podstawy. Zacznijmy od obliczenia przekątnej podstawy. Do tego wykorzystamy trójkąt EGC. Wiemy, że przeciwprostokątna jest równa 12 ta przyprostokątna jest równa 6 i kąt, pod jakim są nachylone wynosi 30 stopni. Nieznaną przyprostokątną oznaczmy literą c. Teraz skorzystamy z trygonometrii. Zapisujemy, że cosinus 30 stopni równa się c podzielić przez 12. Wyznaczamy c, czyli mamy: c równa się 12 razy cosinus 30 stopni. Wiemy, że cosinus 30 stopni to pierwiastek z trzech przez 2. Podstawmy więc: c równa się 12 razy pierwiastek z trzech przez 2 a to równa się 6 pierwiastków z trzech. Udało nam się wyznaczyć przyprostokątną tego trójkąta czyli przekątną podstawy bryły. Skorzystajmy zatem z tego że trójkąt EHG również jest trójkątem prostokątnym. Zaznaczamy, że znamy już długość tego rzutu i wynosi ona 6 pierwiastków z trzech oraz jedną z krawędzi podstawy. To 6. Niewiadomą oznaczmy jako d. Korzystamy teraz z twierdzenia Pitagorasa. Piszemy: d kwadrat plus 6 do kwadratu równa się 6 pierwiastków z trzech do kwadratu. Niewiadomą d zostawiamy po lewej stronie a liczby przenosimy na prawą. Otrzymujemy: d kwadrat równa się 6 pierwiastków z trzech do kwadratu. To 36 razy 3. Gdy od tego odejmiemy 36 dostaniemy 36 razy 2 czyli d kwadrat równa się 72. Zatem d równa się pierwiastek z siedemdziesięciu dwóch. Oczywiście pomijamy tutaj rozwiązanie że d równa się minus pierwiastek z siedemdziesięciu dwóch ponieważ długość nie może być ujemna. Ile w takim razie wynosi ten pierwiastek? Dostajemy d równa się 2 razy 3 pierwiastki z dwóch a to 6 pierwiastków z dwóch. Zaznaczmy na naszym prostopadłościanie tę drugą krawędź podstawy. Teraz mamy już wszystko żeby wyznaczyć objętość tej bryły. Piszemy: V równa się 6 razy 6 pierwiastków z dwóch razy 6 a to wynosi 216 pierwiastków z dwóch. W dzisiejszej lekcji utrwaliliśmy zdobytą wcześniej wiedzę wykorzystując ją w zadaniach. Mam nadzieję, że teraz potrafisz już rozwiązywać najróżniejsze zadania z graniastosłupami. Obejrzyj pozostałe filmy o graniastosłupach, a po więcej materiałów zajrzyj na naszą stronę pistacja.tv