Przekroje graniastosłupów
Playlista:Płaszczyzny, proste i kąty w przestrzeni
Ten materiał posiada napisy w języku ukraińskim
Z tego filmu dowiesz się:
- czym jest przekrój graniastosłupa,
- jak wyznaczyć przekrój graniastosłupa,
- jakie są przykłady przekrojów.
Podstawa programowa
Autorzy i materiały
Wiedza niezbędna do zrozumienia tematu
Aby w pełni zrozumieć materiał zawarty w tej playliście, upewnij się, że masz opanowane poniższe zagadnienia.
Udostępnianie w zewnętrznych narzędziach
Korzystając z poniższych funkcjonalności możesz dodać ten zasób do swoich narzędzi.
Kliknij w ikonkę, aby udostępnić ten zasób
Kliknij w ikonkę, aby skopiować link do tego zasobu
Transkrypcja
Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.
Gdy stolarz wykonuje ramę do obrazu musi przyciąć listwę idealnie pod kątem 45 stopni. Chodzi nie tylko o to, aby po złożeniu boki ramy tworzyły kąt 90 stopni. Jeśli ten kąt nie będzie idealny powierzchnie cięcia nie będą do siebie pasować. Dzisiaj zajmiemy się przekrojami graniastosłupów. Na ekranie widzisz graniastosłup trójkątny. Na jego górnej podstawie jest zaznaczony pewien odcinek. Wyobraźmy sobie, że ten graniastosłup to kawałek tortu. Chcemy go podzielić na dwa mniejsze kawałki, tnąc prostopadle do podstawy wzdłuż zaznaczonego odcinka. W ten sposób dokonaliśmy podziału tego graniastosłupa na dwa mniejsze graniastosłupy. Aby było je lepiej widać odsuńmy je od siebie. Widzimy, że niektóre ściany zostały podzielone na dwie mniejsze ściany. Dodatkowo w każdym z graniastosłupów pojawiła się jedna zupełnie nowa ściana niewystępująca w oryginalnym graniastosłupie. Te nową ścianę nazywamy przekrojem. Przekrój powstaje w wyniku przecięcia jakiejś bryły wzdłuż pewnej wybranej płaszczyzny. W naszym wypadku była to ta płaszczyzna. W wyniku przekrojenia graniastosłupa otrzymaliśmy dwa mniejsze graniastosłupy. Ale czy można rozciąć go inaczej? Czy istnieje płaszczyzna, która rozcięłaby ten graniastosłup na inne bryły na przykład dwa ostrosłupy? Podpowiem, że płaszczyzna wzdłuż której tniemy graniastosłup wcale nie musi być prostopadła do podstawy. Możemy przekroić graniastosłup na przykład w ten sposób. W wyniku otrzymamy przekrój w kształcie trójkąta oraz dwa ostrosłupy trójkątny i czworokątny. Trójkątny ma podstawę tutaj natomiast podstawa czworokątnego to ściana boczna oryginalnego graniastosłupa. A czy dałoby radę tak podzielić graniastosłup aby otrzymać bryły nie będące ani graniastosłupami, ani ostrosłupami? Można to zrobić na przykład w ten sposób. Powstałe bryły nie są graniastosłupami mimo, że mają równoległe podstawy. Dlaczego? Bo te podstawy nie są identyczne. A jaką figurą jest przekrój tej bryły? Przekrój to nowopowstała ściana. Od razu widać, że jest to czworokąt. A czy jest on jakiś szczególny? Skoro te dwa boki są zawarte w podstawach graniastosłupa oraz leżą w jednej płaszczyźnie tej tnącej to oznacza, że są one równoległe. Stąd badany przekrój jest trapezem. Nie każdy podział będzie odpowiedni pod względem matematycznym. Aby otrzymać przekrój, czyli figurę płaską musimy bryły kroić wzdłuż jednej płaszczyzny. Na przykład ten podział nie dał nam w wyniku przekroju bo w połowie krojenia zmienia się kąt. Gdy rozsuniemy te bryły, zauważymy że każda z nich zyskała dwie zupełnie nowe ściany a nie jedną. Teraz zajmiemy się przekrojami sześcianu. Zaczniemy od przekrojów które są czworokątami. Jak należy przeciąć sześcian aby jego przekrój był kwadratem? Wystarczy, aby przekrój był równoległy do którejkolwiek ściany. Wtedy będzie on miał kształt tej właśnie ściany do której był równoległy. Ale czy to jedyny przekrój sześcianu który jest czworokątem? Czy przekrój sześcianu może być czworokątem niebędącym kwadratem? Zastanów się w jaki sposób przeciąć sześcian aby powstały przekrój był prostokątem ale nie kwadratem. Wystarczy przekroić sześcian pod kątem. Na przykład tak. Nie jest to oczywiście jedyna możliwość. Teraz przejdźmy do trójkątów. Czy masz pomysł, jak przeciąć sześcian aby powstały przekrój był trójkątem równobocznym? Trzeba odciąć róg sześcianu, dbając o to aby krawędzie boczne były przecięte w równej odległości od wierzchołka. No dobrze. Ale czy dałoby się otrzymać trójkąt który nie jest równoboczny tylko na przykład równoramienny? Wystarczy, że jeden punkt na krawędzi przesuniemy trochę dalej bądź bliżej wierzchołka. Te ściany przecięliśmy w identyczny sposób, więc te boki będą miały tę samą długość. A jak otrzymać trójkąt różnoboczny? Trzeba poruszyć jeszcze jednym wierzchołkiem przekroju. Czy przekrój sześcianu może być sześciokątem? Okazuje się, że i owszem. Popatrz. Ten przekrój jest sześciokątem foremnym. Czy masz pomysł jak uzyskać przekrój który jest sześciokątem, ale nieforemnym? Okazuje się, że wystarczy trochę popsuć ten sześciokąt podobnie jak w przypadku trójkąta obracając płaszczyznę tnącą. Na przykład tak. Czy masz pomysł jak otrzymać przekrój który jest pięciokątem? Płaszczyzna powinna przebiegać bardzo podobnie jak w przypadku sześciokąta, tylko w jednym miejscu trafić w wierzchołek graniastosłupa zamiast w ścianę. A czy przekrój sześcianu może być wielokątem o liczbie wierzchołków większej niż 6? Zastanówmy się. Co mają wspólnego liczba 6 i sześcian. 6 jest liczbą ścian sześcianu. Więc pytanie powinno brzmieć czy liczba krawędzi przekroju może przekraczać liczbę ścian sześcianu? Zauważ, że każda krawędź przekroju jest zawarta w jakiejś ścianie. Nawet jeśli jest zawarta w krawędzi to też jest częścią ściany a nawet dwóch jednocześnie. Skoro każdy bok przekroju musi leżeć w obrębie którejś ściany to gdyby było ich więcej niż 6 to któreś dwa musiałyby należeć do tej samej ściany. A czy jest możliwe takie przekrojenie sześcianu żeby dwa boki przekroju leżały w obrębie tej samej ściany? Nie. Nie jest to możliwe. Zauważ, że dwa boki mają w sumie 3 lub 4 wierzchołki czyli co najmniej 3 wierzchołki naszego przekroju musiałyby leżeć na jednej ścianie sześcianu. Przekrój jest figurą płaską więc jeżeli trzy punkty z tego przekroju leżą w jakiejś płaszczyźnie to przekrój również musi leżeć w tej płaszczyźnie ponieważ płaszczyznę w sposób jednoznaczny wyznaczają 3 punkty. W takim przypadku przekrój byłby po prostu ścianą tego sześcianu czyli kwadratem. Jeśli trudno Ci to zrozumieć poeksperymentuj. Ulep sześcian z plasteliny i tnij i go na różne sposoby obserwując, co powstaje. W dzisiejszej lekcji poznałeś różne przykłady przekrojów graniastosłupów. Zapamiętaj! Przekrój powstaje w wyniku przecięcia jakiejś bryły wzdłuż pewnej wybranej płaszczyzny. Sprawdź nasze pozostałe filmy o graniastosłupach a po więcej materiałów zajrzyj na naszą stronę pistacja.tv
Ćwiczenia
Interaktywne ćwiczenia związane z tą wideolekcją.
Materiały dodatkowe
Inne zasoby do wykorzystania podczas zajęć z tego tematu.
