Z tego filmu dowiesz się:

  • jak wyznaczyć różne pola przekrojów graniastosłupów,
  • jak obliczyć pola tych przekrojów.

Podstawa programowa

Pobieranie materiałów

wideo ekran podsumowujący napisy

Licencja: cc-by-nc-sa.svg

Poniższe materiały są udostępnione na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.pl). Możesz je wykorzystywać wyłącznie jako całość, bez rozdzielania ich na indywidualne elementy składowe. Zabronione jest wycinanie, pobieranie, modyfikowanie, edytowanie i zmienianie elementów składowych (np. grafik, tekstów, dźwięków, logotypów). Licencja CC BY-NC-SA 4.0 nie obejmuje wykorzystywania elementów składowych w utworach pochodnych. Jeśli chcesz wykorzystać ten materiał w swoim niekomercyjnym projekcie, nie zapomnij wymienić jego autorów: Pi-stacja / Katalyst Education.

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

Sztukę cięcia graniastosłupów dopracowali do perfekcji architekci. Najnowszy warszawski wieżowiec Skyliner którego budowa zostanie ukończona pod koniec 2020 roku będzie miał kształt prostopadłościanu przeciętego kilkoma skośnym płaszczyznami. W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość 6 centymetrów a krawędź boczna ma długość 5 centymetrów. Przez wierzchołek górnej podstawy i przekątną dolnej poprowadzono płaszczyznę. Oblicz pole otrzymanego przekroju. Rozpatrz wszystkie możliwości. Oto prostopadłościan. Przekrój ma przechodzić przez wierzchołek górnej podstawy. Czy ma znaczenie który wierzchołek wybierzemy? Nie. Zauważ, że rysunek jest symetryczny. Każdy wierzchołek ma takie same własności bo wszystkie krawędzie podstawy mają taką samą długość. Ja wybiorę ten wierzchołek. Dalej przekrój przechodzić ma przez przekątną dolnej podstawy. Ile przekątnych mamy do wyboru? Dwie. Oczywiście są tej samej długości bo podstawa jest kwadratem. Jednak nie jest wszystko jedno którą z nich wybierzemy. Są one położone inaczej względem wybranego przez nas wierzchołka. Wybierzmy najpierw tę przekątną. Jak będzie wyglądał przekrój? Będzie to prostokąt zawierający przekątną zarówno dolnej jak i górnej podstawy. Oblicz samodzielnie pole tego prostokąta. Jeden bok to krawędź boczna czyli 5 centymetrów. Natomiast drugi bok to przekątna podstawy czyli przekątna kwadratu o boku 6. Zgodnie ze wzorem jest to 6 pierwiastków z dwóch. Czyli pole tego prostokąta to 5 razy 6 pierwiastków z dwóch czyli 30 pierwiastków z dwóch. Zastanówmy się teraz, co by się stało gdybyśmy wybrali inną przekątną podstawy. Jaki kształt miałby wtedy przekrój? Byłby to trójkąt. Jaki rodzaj trójkąta? Przekątne ścian bocznych są identyczne natomiast przekątna podstawy ma inną długość. Jest to trójkąt równoramienny. Jak obliczyć pole tego przekroju? Potrzebna nam będzie długość wysokości tego przekroju. Jako że jest to wysokość trójkąta równoramiennego, dzieli podstawę na pół czyli ten punkt jest środkiem przekątnej. A jak wiemy przekątne kwadratu dzielą się nawzajem na połowy czyli jest również punktem przecięcia przekątnych dolnej podstawy. Narysujmy sobie przerywaną linię. Drugą przekątną dolnej podstawy. Czy wiesz, jak obliczyć długość wysokości? Przyjrzyj się temu trójkątowi. Tworzą go wysokość przekroju. Oznaczmy ją literą h. Krawędź boczna oraz połowa przekątnej podstawy. Samodzielnie oblicz teraz długość tej wysokości. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy h kwadrat równa się 5 do kwadratu plus 3 pierwiastki z dwóch do kwadratu czyli h kwadrat to 25 dodać 18, czyli h to pierwiastek z czterdziestu trzech. Stąd pole otrzymanego przekroju to 1/2 razy 6 pierwiastków z dwóch razy pierwiastek z czterdziestu trzech. Daje to 3 pierwiastki z osiemdziesięciu sześciu. Długość tej wysokości można było policzyć również inną metodą. Najpierw z tego trójkąta obliczyć długość przekątnej ściany czyli ramienia trójkąta a potem długość wysokości stosując twierdzenie Pitagorasa dla tego trójkąta. Graniastosłup prawidłowy sześciokątny przecięto płaszczyzną zawierającą krawędź górnej podstawy oraz dłuższą przekątną dolnej podstawy. Oblicz pole tego przekroju wiedząc, że krawędź podstawy graniastosłupa ma długość 6 natomiast jego wysokość wynosi 9. Zaczynamy od wykonania rysunku graniastosłupa i zaznaczenia na nim szukanego przekroju. Spróbuj to zrobić samodzielnie. Zaczynamy od wybrania krawędzi w górnej podstawie. Teraz zauważ, że mamy trzy dłuższe przekątne podstawy. Którą z nich wybrać? Tę, która leży w tej samej płaszczyźnie co wybrana przez nas krawędź. Jest tylko jedna taka przekątna. Teraz wystarczy dorysować dwa brakujące odcinki aby otrzymać przekrój. Jaki ma on kształt? Jest to oczywiście czworokąt. Te dwa boki są zawarte w równoległych płaszczyznach, więc też będą równoległe czyli to jest trapez. Czego potrzebujemy aby obliczyć pole trapezu? Wzór wygląda następująco: a dodać b w nawiasie, razy h podzielić przez 2. Czyli musimy znać długości obu podstaw oraz wysokość tego trapezu. Jakie długości mają podstawy? Skoro górna jest krawędzią podstawy graniastosłupa to ma taką samą długość, czyli 6. A co z dolną? To dłuższa przekątna sześciokąta. Jak zapewne pamiętasz, sześciokąt foremny można podzielić na 6 trójkątów równobocznych. Przekątna składa się z dwóch boków takich trójkątów czyli ma długość 12. Brakuje nam już tylko długości wysokości. Zastanów się, jak można to obliczyć. Można to zrobić na kilka sposobów. Najszybciej będzie skorzystać z tego trójkąta. Tworzą go krawędź boczna wysokość przekroju i pewien odcinek z podstawy. Ponieważ krawędź boczna jest prostopadła do płaszczyzny podstawy jest to trójkąt prostokątny. Potrzebujemy jeszcze długości odcinka z podstawy. Narysujmy w tym celu płaski rysunek podstawy. Zaznaczmy na nim szukany odcinek. W tym celu najpierw zaznaczamy przekątną podstawy która jest krawędzią przekroju i z wierzchołka prowadzimy do niej nasz szukany odcinek. Aby było łatwiej nanieśmy jeszcze podział sześciokąta na trójkąty równoboczne. Czy teraz już widzisz czym jest szukany odcinek z podstawy? To wysokość jednego z tych trójkącików. Czyli ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego otrzymujemy że jest to 6 pierwiastków z trzech przez 2 co daje 3 pierwiastki z trzech. Teraz możemy przystąpić do obliczeń z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa. h do kwadratu to 3 pierwiastki z trzech do kwadratu dodać 9 do kwadratu, czyli 27 plus 81 co daje, że h to pierwiastek ze stu ośmiu czyli 6 pierwiastków z trzech. Na koniec liczymy pole trapezu. 6 dodać 12 przez 2 razy 6 pierwiastków z trzech to 9 pomnożyć przez 6 pierwiastków z trzech czyli 54 pierwiastki z trzech. W trakcie rozwiązywania zadań o przekrojach bryłm warto obok dobrego przestrzennego rysunku wykonać kilka płaskich rysunków. Obejrzyj pozostałe filmy o graniastosłupach a po więcej materiałów zajrzyj na naszą stronę pistacja.tv.

Lista wszystkich autorów

Lektor: Weronika Brzezińska

Konsultacja: Zofia Wiśniewska

Grafika podsumowania: Agnieszka Opalińska

Materiały: Weronika Brzezińska

Kontrola jakości: Małgorzata Załoga

Napisy: Ewelina Łasa, Татьяна Кравец

Produkcja:

Katalyst Education

Lista materiałów wykorzystanych w filmie:

vectorpocket (Licencja Freepik)
Andrew Shiva (CC BY-SA)
pxfuel (CC0)
pxfuel (CC0)
pxfuel (CC0)
Wistula (CC BY-SA)

Licencja:

Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej

cc-by-nc-sa.svg