Lazare Nicolas Carnot to francuski polityk matematyk i generał pochodzący ze znanej rodziny matematyków, fizyków i polityków. Jego nazwisko pojawiło się na liście siedemdziesięciu dwóch nazwisk na Wieży Eiffla. Z zawodu inżynier wojskowy. Współpracował z Napoleonem pełniąc wysokie stanowiska urzędnicze. W matematyce był jednym z twórców geometrii nowoczesnej. Znane są jego prace dotyczące geometrii rzutowej i analizy matematycznej. W tej lekcji poznasz twierdzenie, które wymyślił, mianowicie twierdzenie cosinusów. Czy kiedykolwiek było Ci żal że twierdzenia Pitagorasa można użyć tylko w trójkątach prostokątnych? Od dziś to już nie będzie problem! Poznasz twierdzenie cosinusów, które jest uogólnieniem twierdzenia Pitagorasa na wszystkie trójkąty. Weźmy trójkąt o bokach a, b i c. Kąt naprzeciwko boku a nazwijmy alfa ten naprzeciwko b — beta a ten naprzeciwko c — gamma. Twierdzenie cosinusów mówi, że kwadrat jednego boku, na przykład c trójkąta jest równy sumie kwadratów dwóch pozostałych boków czyli a kwadrat plus b kwadrat pomniejszonej o podwojony iloczyn tych dwóch boków oraz cosinusa kąta między nimi czyli 2ab cosinus gamma. W przeciwieństwie do twierdzenia Pitagorasa, tutaj żaden bok ani kąt nie jest wyróżniony, bo nie potrzebujemy kąta dziewięćdziesięciu stopni. Twierdzenie cosinusów możemy zapisać na 3 sposoby. Spróbuj teraz samodzielnie zapisać pozostałe 2 sposoby dla tego trójkąta. Powinniśmy otrzymać: a do kwadratu to b do kwadratu dodać c do kwadratu odjąć 2bc cosinus alfa oraz b do kwadratu to a do kwadratu dodać c do kwadratu odjąć 2ac cosinus beta. Sprawdźmy, czy to twierdzenie działa. Weźmy sobie trójkąt równoboczny o boku 4. Narysujmy go. Zapisz twierdzenie cosinusów dla tego trójkąta. Ponieważ wszystkie kąty i boki są takie same, wszystkie wersje twierdzenia też będą wyglądać tak samo. 4 do kwadratu równa się 4 do kwadratu dodać 4 do kwadratu odjąć 2 razy 4 razy 4 razy cosinus sześćdziesięciu stopni. Mamy zatem 16 równa się 16 dodać 16 odjąć 32 razy cosinus sześćdziesięciu stopni, czyli 1/2. Otrzymujemy 32 odjąć 16, czyli 16. To jest tyle, ile mieliśmy po lewej stronie. To twierdzenie jest prawdziwe również dla trójkąta prostokątnego. Jeżeli dobierzemy boki tak aby c było przeciwprostokątną to kąt gamma wyniesie 90 stopni. Jeżeli podstawimy to do odpowiedniej wersji twierdzenia otrzymamy, że c do kwadratu to a do kwadratu dodać b do kwadratu odjąć 2ab razy cosinus dziewięćdziesięciu stopni. Pamiętasz ile wynosi ten cosinus? To 0. Zniknie nam zatem cały ostatni wyraz. 2 razy a razy b razy cosinus gamma i otrzymamy po prostu twierdzenie Pitagorasa. Teraz czas na przykład dla Ciebie. Popatrz na ten trójkąt. Znamy w nim długości dwóch boków wynoszą 7 i 8 oraz miarę kąta pomiędzy nimi to 38 stopni. Proszą nas o podanie długości wszystkich boków i miar wszystkich kątów. Oznaczmy brakujący bok przez x a brakujące kąty przez alfa i beta. Jak myślisz, od czego lepiej zacząć? Od szukania brakujących kątów czy boków? Wypisz wszystkie 3 wersje twierdzenia cosinusów dla tego trójkąta. Zobaczmy, która okaże się najbardziej pomocna! Powinniśmy otrzymać: 7 do kwadratu równa się 8 do kwadratu dodać x do kwadratu odjąć 2 razy 8 razy x cosinus alfa. Kolejne równanie wygląda następująco: x do kwadratu równa się 8 do kwadratu dodać 7 do kwadratu odjąć 2 razy 8 razy 7 razy cosinus trzydziestu ośmiu stopni. Ostatnia wersja wygląda tak: 8 do kwadratu równa się 7 do kwadratu dodać x do kwadratu odjąć 2 razy 7 razy x razy cosinus beta. Czy któreś z równań umiemy rozwiązać? Najprostsze jest drugie. Zawiera tylko jedną niewiadomą x i występuje ona tylko w jednym miejscu. Sprawdź się i rozwiąż je samodzielnie! Otrzymujemy x do kwadratu równa się 49 dodać 64 odjąć 2 razy 56 razy cosinus trzydziestu ośmiu stopni. Wartość cosinusa znajdujemy w tablicach trygonometrycznych i otrzymujemy w przybliżeniu 113 odjąć 112 razy 788 tysięcznych. Ten ostatni iloczyn to około osiemdziesięciu ośmiu. Po podstawieniu otrzymujemy że x do kwadratu to w przybliżeniu 25 czyli x to około 5. W ten sposób obliczyliśmy pierwszą z brakujących wielkości. Co dalej? Wykorzystajmy pozostałe równania! Możemy na przykład do pierwszego podstawić to, co już obliczyliśmy czyli wartość x. Zrób to samodzielnie. Otrzymujemy 7 do kwadratu równa się 8 do kwadratu dodać 5 do kwadratu odjąć 2 razy 8 razy 5 razy cosinus alfa. Mamy zatem 49 równa się 64 dodać 25 odjąć 80 razy cosinus alfa. Stąd wynika, że 80 razy cosinus alfa to 89 odjąć 49, czyli 40. Otrzymujemy, że cosinus alfa to 40 podzielić przez 80, czyli 1/2. Ile w takim razie wynosi miara kąta alfa? To 60 stopni. No to jak obliczyć ostatni brakujący kąt? Moglibyśmy skorzystać z trzeciego równania ale istnieje prostsza metoda. Znamy przecież już 2 kąty tego trójkąta. Trzeci możemy obliczyć korzystając z sumy miar kątów w trójkącie. Beta to będzie 180 stopni odjąć 38 stopni odjąć 60 stopni czyli 82 stopnie. Wykonaliśmy nasze zadanie! Możemy przejść do kolejnego. Wykaż, że trójkąt o bokach 10, 8 i 5 jest rozwartokątny. Zacznijmy od rysunku pomocniczego. Skoro ten trójkąt ma być rozwartokątny to 2 kąty muszą być ostre, a 1 rozwarty. Rysujemy zatem trójkąt rozwartokątny. Oznaczmy kąty alfa, beta i gamma. Czy musimy znać miary wszystkich kątów tego trójkąta? A może jesteśmy w stanie przed obliczeniami stwierdzić który kąt w tym trójkącie może być rozwarty? Pomoże nam zasada, że w każdym trójkącie największy kąt leży naprzeciwko najdłuższego boku, a naprzeciwko najkrótszego - najmniejszy. Kąt, który powinniśmy sprawdzić to ten naprzeciwko boku 10. Ułóż teraz odpowiednie równanie. 10 do kwadratu to 8 do kwadratu dodać 5 do kwadratu odjąć 2 razy 5 razy 8 razy cosinus alfa. Otrzymaliśmy proste równanie z jedną niewiadomą. Samodzielnie wyznacz z niego cosinus alfa. 100 równa się 64 dodać 25 odjąć 80 razy cosinus alfa. 80 cosinus alfa równa się 64 dodać 25 odjąć 100, co daje nam –11. Dlatego cosinus alfa to -11/80. Skoro cosinus alfa jest ujemny to alfa jest kątem większym niż 90 stopni. To właśnie mieliśmy wykazać. Zapisujemy wniosek i stawiamy znak końca dowodu. Przejdźmy do kolejnego wyzwania. Oblicz długość boku x w pokazanym trójkącie. Już na samym początku mam zadanie dla Ciebie. Spróbuj samodzielnie ułożyć odpowiednie równanie. Ponieważ w tym trójkącie znamy miarę tylko jednego kąta wybieramy taką postać twierdzenia która zawiera właśnie ten kąt czyli 14 do kwadratu równa się 10 do kwadratu dodać x do kwadratu odjąć 2 razy 10 razy x razy cosinus stu dwudziestu stopni. Zanim rozwiążemy to równanie musimy obliczyć cosinus stu dwudziestu stopni. Nie znajdziemy tej wartości w tablicach maturalnych. Musimy posłużyć się wzorem redukcyjnym. Cosinus stu osiemdziesięciu stopni odjąć alfa to minus cosinus alfa. Skąd wynika, że cosinus stu dwudziestu stopni to cosinus stu osiemdziesięciu stopni odjąć 60 stopni, czyli minus cosinus sześćdziesięciu stopni. To będzie po prostu –1/2. Wracamy do naszego równania. Mamy: 196 równa się 100 dodać x do kwadratu odjąć 20x razy –1/2. Po wymnożeniu końcówki otrzymujemy +10x. To równanie jest kwadratowe więc wszystko przerzucamy na jedną stronę i porządkujemy. x do kwadratu dodać 10x odjąć 96. Rozwiąż to równanie samodzielnie. Liczymy deltę, czyli b kwadrat minus 4ac. Otrzymujemy 100 odjąć 4 razy 1 razy –96 co daje nam 100 dodać 384, czyli 484. Pierwiastek z tego to 22. Otrzymujemy 2 rozwiązania: x1 równe –10 odjąć 22 podzielić przez 2, czyli –16 oraz drugie x2 równa się –10 dodać 22 podzielić przez 2, czyli 6. Czy to zadanie ma 2 rozwiązania? Nie, bo bok nie może mieć ujemnej długości. Stąd wiemy, że brakujący odcinek ma długość 6. Twierdzenie cosinusów to ulepszona wersja twierdzenia Pitagorasa działająca dla wszystkich trójkątów niekoniecznie prostokątnych. Ten dział dotyczy funkcji trygonometrycznych kąta rozwartego. Zasubskrybuj nasz kanał aby być na bieżąco z nowymi działami!