Trójkąt Sierpińskiego to jeden z najprostszych fraktali. Znany był na długo przed powstaniem tego pojęcia. Konstrukcję tego obiektu wymyślił polski matematyk Wacław Sierpiński w 1915 roku. Mam teraz dla Ciebie takie zadanie. Oblicz pole trójkąta znajdującego się na poniższej ilustracji. Zatrzymaj lekcję i spróbuj zrobić to samodzielnie. Myślę, że jesteś w stanie to zrobić. Najpierw przeanalizujmy sobie to co widzimy na tej ilustracji. Znamy długości wszystkich trzech boków tego trójkąta. Na tej ilustracji znajduje się jednakże tylko jedna wysokość. Jej długość to 3. A do którego boku jest prostopadła ta wysokość? Do tego boku. Spójrz teraz na wzór który pozwala obliczyć pole trójkąta. Pole trójkąta obliczamy mnożąc 1/2 przez długość boku i długość prostopadłej do niego wysokości. Znamy długość tej wysokości więc w miejsce litery h wstawimy liczbę 3. A jaką liczbę wstawimy w miejsce litery a? 6 Długość tego boku oznaczymy zatem małą literą a. Pamiętaj, że do obliczenia pola trójkąta wykorzystujemy długość boku i długość prostopadłej do niego wysokości. Skoro ten bok i ta wysokość są do siebie prostopadłe to do obliczenia pola trójkąta wykorzystamy długość tego boku a nie długość tego boku czy też tego boku. Możemy przejść zatem do obliczeń. Pole tego trójkąta to 1/2 razy 6 razy 3. Ile to jest 1/2 razy 6? 3. A ile to jest 3 razy 3? 9. Pole trójkąta, które znajduje się na ilustracji to 9. Jeśli twoje obliczenia dały taki sam wynik, to gratuluję. Jeśli nie to sprawdź, gdzie masz błąd. Pamiętaj, że do obliczenia pola trójkąta możemy skorzystać z innej postaci tego wzoru, która wygląda w taki oto sposób. Możemy pomnożyć długość boku i długość prostopadłej do niego wysokości a następnie wynik tego mnożenia podzielić przez 2. 6 razy 3 to 18 a 18 podzielić przez 2 to 9. Korzystając z tej postaci wzoru otrzymamy taki sam wynik. Oblicz pole trójkąta którego jeden z boków ma długość dwóch metrów, a wysokość prostopadła do tego boku ma 12 decymetrów. Przypomnijmy sobie jak wygląda wzór na pole trójkąta. Pole trójkąta obliczymy mnożąc 1/2 przez długość boku i długość prostopadłej do niego wysokości. Jak już wiesz, ten wzór możemy zapisać również w takiej postaci. Sprawdźmy czy w treści zadania mamy wszystkie niezbędne informacje które pozwolą nam na obliczenie pola trójkąta. Wiemy, że jeden z boków ma długość dwóch metrów. Z treści zadania wiemy również że długość wysokości prostopadłej do tego boku to 12 decymetrów. Czy zauważasz coś dziwnego? Ja tak. Tutaj mamy metry, a tutaj decymetry. Aby obliczyć pole tej figury musimy mieć takie same jednostki. Możemy zatem decymetry zamienić na metry ale możemy też metry zamienić na decymetry. Zamienimy najpierw 2 metry na decymetry. Czy pamiętasz ile to jest? Zatrzymaj lekcję i spróbuj odpowiedzieć samodzielnie. 1 metr ma 10 decymetrów więc 2 metry to 20 decymetrów. Zamieniając metry na decymetry liczbę metrów, czyli w tym przypadku 2 mnożymy przez 10. Otrzymaliśmy tutaj 20 decymetrów. Zobacz jeszcze, co się stanie gdybyśmy chcieli 12 decymetrów zamienić na metry. To małe ćwiczenie spróbuj również wykonać samodzielnie. Zamieniając decymetry na metry liczbę decymetrów dzielimy przez 10. 12 podzielić przez 10 to 1,2. Otrzymujemy 1,2 metra. Jeszcze raz powtórzę że do obliczenia pola trójkąta wykorzystujemy te same jednostki. Ja wybiorę decymetry ponieważ łatwiej wykonuje mi się obliczenia na liczbach naturalnych. W miejsce litery a wstawię zatem 20 decymetrów a w miejsce litery h wstawię 12 decymetrów. Przejdźmy zatem do obliczeń. Pole tego trójkąta to 1/2 razy 20 decymetrów razy 12 decymetrów. 1/2 to inaczej połowa. Połowa z dwudziestu decymetrów to 10 decymetrów. 10 decymetrów razy 12 decymetrów to 120 decymetrów kwadratowych. Tyle wynosi pole tego trójkąta. Wykonaliśmy nasze zadanie. Jeśli masz taki sam wynik, to gratuluję. Na koniec obliczę pole tego trójkąta korzystając z długości wyrażonych w metrach. Mnożymy zatem 1/2 przez 2 metry i to jeszcze mnożymy przez 1,2 metra. 1/2 to połowa, a połowa z dwóch metrów to 1 metr. 1 metr razy 1,2 metra to 1,2 metra kwadratowego. 1,2 metra kwadratowego to jest to samo co 120 decymetrów kwadratowych. Jeśli nie pamiętasz jak zamienia się jednostki pola to obejrzyj lekcję o tym temacie. Rozwiążmy teraz takie zadanie. Bok trójkąta jest 2 razy krótszy od wysokości opuszczonej na ten bok. Suma długości wysokości i boków wynosi 9 centymetrów. Oblicz pole tego trójkąta. Z treści zadania wiemy, że bok trójkąta jest 2 razy krótszy od wysokości opuszczonej na ten bok. Spójrz na taki rysunek. Ten odcinek jest wysokością prostopadłą do tego boku. Długość tego boku oznaczmy małą literą a a długość wysokości oznaczmy małą literą h. Co to znaczy, że ten bok trójkąta jest 2 razy krótszy od wysokości opuszczonej na ten bok? Oznacza to, że z dwóch odcinków gdzie każdy z nich ma długość a możesz zbudować 1 odcinek o długości h. Co jeszcze wiemy z treści zadania? Wiemy, że suma długości wysokości i boku wynosi 9 centymetrów. Oznacza to, że z odcinka o długości h i z odcinka o długości a możemy zbudować 1 odcinek którego długość to 9 centymetrów. Zobacz. Wiemy, że ten odcinek ma taką samą długość jak 2 takie odcinki. Zobacz zatem, co się stanie gdy ten odcinek zastąpimy dwoma odcinkami gdzie każdy z nich ma długość równą a. Jaką długość ma ten odcinek zbudowany z trzech jednakowych mniejszych odcinków? Jego długość to 9 centymetrów. Jaką długość ma zatem jedna część tego odcinka? Aby odpowiedzieć na to pytanie wystarczy zastanowić się jaką długość należy dodać do siebie trzykrotnie aby otrzymać 9 centymetrów. Czy wiesz jaka to długość? 3 centymetry dodać 3 centymetry dodać 3 centymetry to właśnie 9 centymetrów. Wiemy zatem, że długość boku tego trójkąta którą oznaczyliśmy małą literą a wynosi 3 centymetry. Aby obliczyć pole tego trójkąta musimy dowiedzieć się jeszcze jaką długość ma wysokość tego trójkąta. Skorzystamy z informacji że bok trójkąta jest 2 razy krótszy od wysokości opuszczonej na ten bok. Skoro długość jednego takiego odcinka to 3 centymetry a ten odcinek składa się z dwóch takich odcinków to długość tego odcinka wynosi 6 centymetrów. Znaleźliśmy zatem długość wysokości tego trójkąta opuszczonej na bok którego długość ma 3 centymetry. Został nam ostatni krok do wykonania czyli obliczenie pola tego trójkąta. Pole tego trójkąta obliczymy mnożąc 1/2 przez długość boku tego trójkąta oraz przez długość wysokości prostopadłej do tego boku. Liczby 2 oraz 6 możemy skrócić. Otrzymujemy 1 razy 3 centymetry czyli 3 centymetry i 3 centymetry mnożymy przez 3 centymetry otrzymując 9 centymetrów kwadratowych. Tyle wynosi pole tego trójkąta. Teraz pokażę Ci jak rozwiązać pewne zadanie które występuje w wielu podręcznikach oczywiście z innymi liczbami. Pole trójkąta wynosi 40 centymetrów kwadratowych. Długość podstawy wynosi 10 centymetrów. Ile wynosi wysokość trójkąta opuszczona na tę podstawę? Z treści zadania wiemy, że pole trójkąta wynosi 40 centymetrów kwadratowych. Zapiszmy to. P równa się 40 centymetrów kwadratowych. Pole trójkąta obliczamy, mnożąc długość podstawy przez długość wysokości do niej prostopadłej i dzieląc ten wynik przez 2. Mała litera a oznacza długość podstawy a mała litera h oznacza długość wysokości do niej prostoapadłej. Wiemy, ile wynosi pole tego trójkąta. Znamy również długość podstawy. Długość podstawy wynosi 10 centymetrów. Nie znamy jednak długości wysokości. Oznaczono ją małą literą h. Skorzystajmy ze wszystkich znanych informacji. Wiemy, że pole tego trójkąta wynosi 40 centymetrów kwadratowych. Tę liczbę wstawiłem w miejsce wielkiej litery P w tym wzorze. W miejsce litery a wstawimy 10 centymetrów ponieważ tyle wynosi długość podstawy. Długość podstawy mnożymy przez długość wysokości której nie znamy. Zapisujemy jeszcze kreskę ułamkową i pod spodem liczbę 2. Wiesz już, że ułamek oznacza dzielenie. Jaką liczbę należy zatem podzielić przez 2 aby otrzymać 40? 80 podzielić przez 2 to 40. Licznik musi się więc równać liczbie 80. 10 razy ile da nam 80? 10 razy 8. Zapiszmy to. W liczniku otrzymamy 10 centymetrów razy 8 centymetrów. Narysuję jeszcze kreskę ułamkową i dopiszę w mianowniku 2. Znaleźliśmy to, czego szukaliśmy. Długość wysokości wynosi 8 centymetrów. To jest nasza odpowiedź. Pole trójkąta obliczysz korzystając ze wzoru 1/2 razy a razy h gdzie a jest bokiem trójkąta a h jest wysokością prostopadłą do tego boku. Zanim zastosujesz wzór, sprawdź czy odpowiednie długości wyrażone są w tych samych jednostkach. Jeśli nie, dokonaj stosownej zamiany. W tym dziale znajdziesz mnóstwo informacji o trójkątach. Wszystkie działy znajdziesz na naszej stronie internetowej pistacja.tv.