Z tego filmu dowiesz się:

  • jak wykorzystywać twierdzenie o pierwiastkach całkowitych do zapisywania wielomianów jako iloczyn czynników,
  • jak używać schematu Hornera,
  • jak zapisywać wielomiany w postaci iloczynowej wyciągając wspólny czynnik przed nawias,
  • jak wykorzystywać wzory skróconego mnożenia do rozkładania wielomianów na iloczyn czynników.

Podstawa programowa

Pobieranie materiałów

wideo ekran podsumowujący napisy

Licencja: cc-by-nc-sa.svg

Poniższe materiały są udostępnione na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.pl). Możesz je wykorzystywać wyłącznie jako całość, bez rozdzielania ich na indywidualne elementy składowe. Zabronione jest wycinanie, pobieranie, modyfikowanie, edytowanie i zmienianie elementów składowych (np. grafik, tekstów, dźwięków, logotypów). Licencja CC BY-NC-SA 4.0 nie obejmuje wykorzystywania elementów składowych w utworach pochodnych. Jeśli chcesz wykorzystać ten materiał w swoim niekomercyjnym projekcie, nie zapomnij wymienić jego autorów: Pi-stacja / Katalyst Education.

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

Każdy wielomian możemy rozłożyć na czynniki stopnia pierwszego. Na przykład wielomian x kwadrat dodać 1 możemy zapisać jako, w nawiasie x dodać i razy w nawiasie x odjąć i. i jest tak zwaną liczbą urojoną i równa jest pierwiastkowi z minus jedynki. Możesz pomyśleć, że taka liczba nie istnieje, ale jest ona skutecznie wykorzystywana przez fizyków do opisów prądu przemiennego oraz przy badaniu cząstek materii. W pierwszym przykładzie należy rozłożyć wielomian na iloczyn czynników o jak najniższym stopniu. Czy masz jakiś pomysł? Nie możemy zgrupować żadnych wyrazów bo mamy trzy składniki. Delty też nie policzymy bo x występuje w trzeciej potędze. Okazuje się, że do rozkładania wielomianów na czynniki można użyć również twierdzenia o pierwiastkach całkowitych wielomianów. Przypomnę Ci, że pierwiastki całkowite wielomianu o współczynnikach całkowitych muszą być dzielnikami wyrazu wolnego. W naszym przypadku p jest dzielnikiem jedynki, zatem należy do zbioru plus minus 1. Sprawdźmy, czy jedynka jest pierwiastkiem W od x, korzystając ze schematu Hornera. Rysujemy tabelę, wypełniamy ją współczynnikami wielomianu W od x a w pierwszej kolumnie wpisujemy jedynkę. Dwójkę przepisujemy do wiersza niżej. 2 razy 1 dodać 0 to 2 2 razy 1 odjąć 3 daje –1 i w końcu –1 razy 1 dodać 1 to 0 czyli jedynka jest pierwiastkiem naszego wielomianu. Zwróć uwagę, że wykonaliśmy jednocześnie dzielenie W od x przez dwumian x odjąć 1. Wynikiem tego dzielenia jest 2x kwadrat dodać 2x odjąć 1. Jeśli pomnożymy obie strony przez x odjąć 1 to otrzymamy, że W od x równa się w nawiasie x odjąć 1 razy w nawiasie 2x kwadrat dodać 2x odjąć 1. Co dalej? Policzmy deltę. 2 do kwadratu odjąć 4 razy 2 razy –1 równa się 12. Pierwiastek z delty, czyli pierwiastek z dwunastu możemy uprościć do postaci 2 razy pierwiastek z trzech. Podstawiamy tę wartość do wzoru na pierwiastki funkcji kwadratowej. x równa się –2 odjąć 2 pierwiastki z trzech, podzielić przez 2 razy 2 a to równe jest –1/2 odjąć pierwiastek z trzech przez 2. Drugi wzór różni się jedynie znakiem przy pierwiastku z delty, więc x równa się –1/2 dodać pierwiastek z trzech przez 2. Zapisujemy: W od x równa się w nawiasie x odjąć 1 razy 2 w nawiasie x dodać 1/2 dodać pierwiastek z trzech przez 2 razy w nawiasie x dodać 1/2 odjąć pierwiastek z trzech przez 2. W każdym z nawiasów uzyskaliśmy wyrażenie stopnia pierwszego dlatego jest to rozwiązanie naszego zadania. Kolejny przykład również polega na rozłożeniu wielomianu W od x na czynniki. Zatrzymaj film, skorzystaj z twierdzenia o pierwiastkach całkowitych i samodzielnie rozwiąż to zadanie. Jeśli p jest całkowitym pierwiastkiem W od x, to musi być dzielnikiem wyrazu wolnego, czyli osiemnastki. Zatem p należy do zbioru plus minus 1, plus minus 2 plus minus 3, plus minus 6 plus minus 9 i plus minus 18. Sprawdźmy, czy któraś z tych liczb jest rzeczywiście pierwiastkiem naszego wielomianu. Zróbmy to wykorzystując schemat Hornera. Rysujemy tabelę wypełniamy ją współczynnikami W od x a w pierwszej kolumnie wpisujemy minus jedynkę. Jedynkę przepisujemy do wiersza poniżej. 1 razy –1 dodać 8 to 7 7 razy –1 dodać 21 daje 14 i 14 razy –1 dodać 18 to 4. –1 nie jest pierwiastkiem naszego wielomianu. Sprawdźmy teraz jedynkę. Jedynkę przepisujemy. 1 razy 1 dodać 8 daje 9 9 razy 1 dodać 21 to 30 i 30 razy 1 dodać 18 daje 48. Jedynka też nie jest poszukiwanym pierwiastkiem. Sprawdźmy minus dwójkę. Jedynkę przepisujemy. 1 razy –2 dodać 8 to 6 6 razy –2 dodać 21 daje 9 i 9 razy –2 dodać 18 to 0. Stąd wynika, że –2 jest pierwiastkiem tego wielomianu. Jednocześnie wykonaliśmy dzielenie W od x przez dwumian x dodać 2. W wyniku tego dzielenia otrzymaliśmy wielomian x kwadrat dodać 6x dodać 9. Jeśli obie strony pomnożymy przez x dodać 2 to otrzymamy, że W od x równa się, w nawiasie x dodać 2 razy w nawiasie x kwadrat dodać 6x dodać 9. Jesteśmy już coraz bliżej rozwiązania. Co dalej z naszym wielomianem? Zauważ, że w drugim nawiasie ukryty jest wzór skróconego mnożenia. 6 to 2 razy 3 a 9 to 3 do kwadratu. Zapiszmy więc odpowiedź: W od x równa się, w nawiasie x dodać 2 razy w nawiasie x dodać 3 podniesiono do kwadratu. Przejdźmy do ostatniego przykładu. Kontynuujemy rozkładanie wielomianów na czynniki. W jaki sposób ugryźć ten przykład? Zatrzymaj film i zapisz W od x w postaci iloczynowej. Zacznijmy od wyciągnięcia 2x kwadrat przed nawias. W nawiasie pozostanie nam wtedy x do czwartej dodać x do trzeciej dodać x kwadrat odjąć 9x odjąć 10. Tak jak poprzednio, skorzystamy z twierdzenia o pierwiastkach całkowitych wielomianu. p jest dzielnikiem dziesiątki czyli p należy do zbioru plus minus 1, plus minus 2, plus minus 5 i plus minus 10. Sprawdźmy, czy minus jedynka jest miejscem zerowym wyrażenia w nawiasie korzystając ze schematu Hornera. Narysujmy tabelę. Wypełnijmy ją współczynnikami i po lewej stronie wpiszmy minus jedynkę. Jedynkę przepisujemy. 1 razy –1 dodać 1 to 0 0 razy –1 dodać 1 daje 1 1 razy –1 odjąć 9 to –10 i w końcu –10 razy –1 odjąć 10 daje 0 czyli –1 jest miejscem zerowym wyrażenia w nawiasie. Policzyliśmy jednocześnie wynik dzielenia wyrażenia x do czwartej dodać x do trzeciej dodać x kwadrat odjąć 9x odjąć 10 przez dwumian x dodać 1 którym jest wielomian x do trzeciej dodać x odjąć 10. Po pomnożeniu obu stron przez x dodać 1 otrzymamy takie wyrażenie. Jesteśmy coraz bliżej rozwiązania ponieważ W od x równa się 2x do kwadratu razy w nawiasie x dodać 1 razy w nawiasie x do trzeciej dodać x odjąć 10. Co dalej? Należy rozbić ten nawias na czynniki. Masz jakiś pomysł? Grupowanie wyrazów nie zadziała wzorów skróconego mnożenia też nie widać. Ponownie skorzystajmy z twierdzenia o pierwiastkach całkowitych. p jest dzielnikiem dziesiątki zatem p należy do zbioru plus minus 1, plus minus 2 plus minus 5 i plus minus 10. Znowu użyjemy schematu Hornera. Rysujemy tabelę, wypełniamy ją współczynnikami, a po lewej stronie wpiszmy minus jedynkę. Jedynkę przepisujemy. 1 razy –1 dodać 0 to –1. –1 razy –1 dodać 1 daje 2 i 2 razy –1 odjąć 10 to –12. Nie otrzymaliśmy zera,więc szukamy dalej. Sprawdźmy, czy jedynka jest pierwiastkiem tego wyrażenia. Jedynkę przepisujemy. 1 razy 1 dodać 0 to 1 1 razy 1 dodać 1 daje 2 2 razy 1 odjąć 10 to –8. Też nie otrzymaliśmy zera więc szukamy dalej. Sprawdźmy minus dwójkę. Jedynkę przepisujemy. 1 razy –2 dodać 0 daje –2 –2 razy –2 dodać 1 to 5 i 5 razy –2 odjąć 10 to –20 czyli to nie minus dwójki szukamy. Sprawdźmy zatem dwójkę. Jedynkę przepisujemy. 1 razy 2 dodać 0 to 2 2 razy 2 dodać 1 to 5 i 5 razy 2 odjąć 10 daje 0. Oznacza to, że dwójka jest pierwiastkiem tego wyrażenia. Obliczyliśmy jednocześnie wynik dzielenia wielomianu x do trzeciej dodać x odjąć 10 przez dwumian x odjąć 2 i otrzymaliśmy wielomian x kwadrat dodać 2x dodać 5. Jeśli pomnożymy obie strony przez x odjąć 2 to otrzymamy takie wyrażenie. Możemy więc zapisać, że W od x równa się 2x do kwadratu razy w nawiasie x dodać 1 razy w nawiasie x odjąć 2 razy w nawiasie x kwadrat dodać 2x dodać 5. Czy możemy rozbić wyrażenie w tym nawiasie na czynniki stopnia pierwszego? Sprawdźmy to licząc deltę. 2 do kwadratu odjąć 4 razy 1 razy 5. Jest ona mniejsza od zera, dlatego nie możemy już bardziej uprościć tego zapisu. Jest to zatem odpowiedź do naszego zadania. Jeśli nie masz pomysłu, jak przekształcić wielomian do postaci iloczynowej to twierdzenie o pierwiastkach całkowitych może okazać się bardzo pomocne. Przy rozkładaniu wielomianów na czynniki może się przydać twierdzenie o pierwiastkach całkowitych wielomianu. Przy tej metodzie wygodniej jest używać schematu Hornera. Wielomiany to jedynie mały wycinek materiału, który przerabiany jest w szkołach. Jeśli chcesz poznać inne odnogi królowej nauk to zapraszam Cię do obejrzenia naszych innych filmów z kanału pistacja.tv

Lista wszystkich autorów

Lektor: Patryk Bojarski

Konsultacja: Zofia Wiśniewska

Grafika podsumowania: Valeriia Malyk

Materiały: Patryk Bojarski

Kontrola jakości: Małgorzata Załoga

Napisy: Grzegorz Jakubiec, Татьяна Кравец

Produkcja:

Katalyst Education

Lista materiałów wykorzystanych w filmie:

Clker-Free-Vector-Images (CC0)
Pexels (CC0)

Licencja:

Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej

cc-by-nc-sa.svg