Na początku XVII wieku holenderski matematyk Willebrord Snell, zwany też Snelliusem, stosował wymyślone przez siebie twierdzenie sinusów do obliczania odległości między punktami na kuli ziemskiej, metodą triangulacji. Wyniki te wykorzystał potem do wyliczenia promienia Ziemi. W tej lekcji poznasz dowód twierdzenia sinusów. Widzisz okrąg. Tutaj jest jego środek. Wpisuję w niego trójkąt. Długość tego boku oznaczę literą a długość tego literą b a długość tego literą c. Kąt znajdujący się naprzeciw boku a oznaczonę literą alfa. Skoro ten trójkąt jest wpisany w okrąg to jego wierzchołki znajdują się na tym okręgu. Odcinki łączące środek okręgu z tymi wierzchołkami są promieniami. Ich długości są takie same i oznaczę je wielką literą R. Spójrz na ten trójkąt. Te 2 boki mają długość R więc jest to trójkąt równoramienny. Narysujmy jego wysokość opuszczoną ze środka okręgu na bok a. Wysokość trójkąta równoramiennego dzieli ten bok na dwie jednakowe części. Długość każdej z nich to a przez 2 ale oznaczę tylko długość jednego odcinka bo to będzie nam potrzebne. Zastanówmy się teraz, jaką miarę ma kąt znajdujący się naprzeciw boku o długości a przez 2. Zauważ, że ten kąt to kąt środkowy okręgu i jest oparty na tym samym łuku co kąt alfa. Miara tego kąta jest zatem 2 razy większa niż miara kąta alfa czyli wynosi 2 alfa. Ta wysokość dzieli ten kąt na dwie jednakowe części czyli miara tego kąta to alfa. Skupmy się na tym trójkącie prostokątnym. Sinus kąta alfa to stosunek przyprostokątnej naprzeciwko tego kąta czyli a przez 2, do przeciwprostokątnej R. Po uproszczeniu otrzymujemy a podzielić przez 2R. Pomnóżmy obie strony równania przez 2R. To da nam 2R razy sinus alfa równa się a. Teraz podzielmy obie strony tego równania przez sinus alfa. Otrzymujemy 2R równa się a przez sinus alfa. Oznaczmy w tym trójkącie 2 pozostałe kąty: beta i gamma. Naszego boku i kąta leżącego naprzeciw niego nie wybraliśmy w żaden szczególny sposób. Wobec tego pozostałe ilorazy b przez sinus beta oraz c przez sinus gamma również muszą wynosić 2R. Co z tego wynika? Skoro każdy ułamek to 2R to te wszystkie ułamki są sobie równe. Możemy to zapisać jako: 2R równa się a przez sinus alfa równa się b przez sinus beta równa się c przez sinus gamma. W naszym dowodzie istotnym było to że środek okręgu leżał wewnątrz trójkąta. Dzieje się tak, gdy trójkąt jest ostrokątny. Sprawdźmy teraz, co się stanie gdy trójkąt wpisany w okrąg będzie prostokątny. Widzisz kolejny okrąg. Tutaj jest jego środek. Wpiszmy w niego trójkąt prostokątny. Długość tego boku oznaczymy literą a tego b, a tego c. Kąt naprzeciw boku a oznaczmy alfa naprzeciw boku beta a naprzeciw boku c gamma. Zauważ, że przeciwprostokątna naszego trójkąta przechodzi przez środek okręgu. Dlatego najpierw przyjrzyjmy się ilorazowi c przez sinus gamma. c to średnica okręgu, czyli 2R. Sinus gamma to sinus dziewięćdziesięciu stopni, czyli 1. Wobec tego iloraz c przez sinus gamma to 2R przez 1, czyli 2R. Zostały nam 2 kąty ale żaden nie jest już prosty. Musimy zatem postąpić podobnie jak w poprzednim przykładzie. Najpierw kąt alfa i bok a. Narysujmy promień ze środka okręgu do wierzchołka kąta gamma. Tutaj mamy kąt środkowy, a tutaj kąt wpisany oparty na tym samym łuku. Kąt środkowy ma zatem miarę 2 alfa. Narysujmy wysokość tego trójkąta opuszczoną ze środka okręgu na bok a. To jest promień i to jest promień. Ten trójkąt jest zatem równoramienny. Wysokość trójkąta równoramiennego dzieli ten bok na dwie jednakowe części. Długość każdej z nich to a przez 2. Oznaczmy tylko jedną długość bo ta będzie nam potrzeba. Ta wysokość dzieli ten kąt na dwie jednakowe części czyli miara tego kąta to alfa. Skupmy się na tym trójkącie prostokątnym. Sinus kąta alfa to stosunek przyprostokątnej naprzeciw tego kąta czyli a przez 2 do przeciwprostokątnej, czyli R. Po uproszczeniu mamy a podzielić przez 2R. Pomnóżmy obie strony równania przez 2R. Mamy 2 razy sinus alfa równa się a. Teraz podzielmy obie strony tego równania przez sinus alfa. Otrzymujemy 2R równa się a przez sinus alfa. Analogiczne rozumowanie można przeprowadzić dla kąta beta który również jest kątem ostrym. Oznacza to, że b przez sinus beta to 2R. Podsumujmy. Co z tego wynika? Skoro każdy ułamek to 2R to te wszystkie ułamki są sobie równe. Możemy to zapisać jako 2R równa się a przez sinus alfa równa się b przez sinus beta równa się c przez sinus gamma. Wykazaliśmy, że to kończy dowód w przypadku, gdy trójkąt jest prostokątny. Sprawdźmy, co się stanie gdy środek okręgu znajdzie się poza trójkątem czyli gdy trójkąt wpisany w ten okrąg będzie rozwartokątny. Widzisz okrąg, w który wpisano trójkąt rozwartokątny o bokach długości a, b i c. Kąt rozwarty oznaczono jako gamma. Zbadajmy, jaki jest iloraz c przez sinus gamma. Najpierw narysujmy 2 promienie wychodzące ze środka okręgu do tych dwóch wierzchołków trójkąta. Kąt gamma jest kątem wpisanym. Ten kąt jest za to kątem środkowym opartym na tym samym łuku. Jest zatem 2 razy większy niż gamma. Rysujemy wysokość ze środka okręgu na bok c w tym trójkącie. Ponieważ ten trójkąt jest równoramienny to podzieli ona bok c na 2 jednakowe odcinki. Długość każdego to c przez 2 ale oznaczę tylko długość jednego. Przyjrzyjmy się teraz jednemu z trójkątów prostokątnych utworzonych przez tę wysokość. Nie znamy miary tego kąta ale możemy ją obliczyć. Masz jakiś pomysł jak to zrobić? Zauważ, że 2 gamma oraz ten kąt w trójkącie równoramiennym dają nam kąt pełny, czyli 360 stopni. Stąd kąt przy wierzchołku w tym trójkącie to 360 stopni odjąć 2 gamma. Kąt w trójkącie prostokątnym to połowa z tego, czyli 180 stopni odjąć gamma. Obliczmy teraz sinus tego kąta czyli sinus stu osiemdziesięciu stopni odjąć gamma. Będzie to c przez 2 dzielone przez R, czyli c przez 2R. Zgodnie ze wzorem redukcyjnym sinus stu osiemdziesięciu stopni odjąć gamma to sinus gamma. Sinus gamma równa się zatem c przez 2R a to jest równoważne temu, że 2R to c przez sinus gamma. Kąt rozwarty mamy załatwiony. Uzasadnienie dla kątów ostrych jest analogiczne jak dla kątów ostrych w poprzednich przypadkach. Zapisujemy zatem, że 2R to a przez sinus alfa i 2R to b przez sinus beta. Skoro każdy ułamek to 2R to te wszystkie ułamki są sobie równe. Zapisujemy to oczywiście jako 2R równa się a przez sinus alfa równa się b przez sinus beta równa się c przez sinus gamma co kończy dowód dla trójkąta rozwartokątnego. Wykazaliśmy, że we wszystkich rodzajach trójkątów wpisanych w okrąg stosunki odpowiednich boków i sinusów naprzeciwległych kątów wynoszą 2R, co kończy dowód. Twierdzenie sinusów mówi że w każdym trójkącie stosunek długości boku do sinusa przeciwległego kąta jest równy średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie. Udowadniając twierdzenie sinusów należy rozważyć 3 przypadki. Pierwszy to taki, w którym kąt jest ostry drugi, gdy kąt jest prosty a trzeci, gdy kąt jest rozwarty. Zapraszam Cię do obejrzenia pozostałych lekcji z tego działu a także do zasubskrybowania naszego kanału aby być na bieżąco z nowymi lekcjami!