Z tego filmu dowiesz się:

  • jak wygląda wzór skróconego mnożenia na sześcian różnicy,
  • jak korzystać ze wzoru na sześcian różnicy,
  • jak udowodnić prawdziwość wzoru na sześcian różnicy,
  • jak przekształcać wyrażenia korzystając ze wzoru na sześcian różnicy.

Podstawa programowa

Pobieranie materiałów

wideo ekran podsumowujący napisy

Licencja: cc-by-nc-sa.svg

Poniższe materiały są udostępnione na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.pl). Możesz je wykorzystywać wyłącznie jako całość, bez rozdzielania ich na indywidualne elementy składowe. Zabronione jest wycinanie, pobieranie, modyfikowanie, edytowanie i zmienianie elementów składowych (np. grafik, tekstów, dźwięków, logotypów). Licencja CC BY-NC-SA 4.0 nie obejmuje wykorzystywania elementów składowych w utworach pochodnych. Jeśli chcesz wykorzystać ten materiał w swoim niekomercyjnym projekcie, nie zapomnij wymienić jego autorów: Pi-stacja / Katalyst Education.

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

Różnice bywają widoczne na pierwszy rzut oka albo subtelne możliwe do wychwycenia tylko przez bardzo uważnych. Te ostatnie można uwydatnić w powiększeniu. W matematyce takie powiększenie to mnożenie. Im większe, tym lepiej. Obejrzyj ten film, a nauczysz się obliczać sześciany różnic. Przypomnijmy sobie wzór na kwadrat różnicy. W nawiasie a minus b, zamykamy nawias do kwadratu, to inaczej a do kwadratu odjąć 2 razy a razy b dodać b do kwadratu. Czy pamiętasz do czego przydaje się ten wzór? Dzięki niemu możemy sprawnie obliczyć ile to jest 99 do kwadratu bez korzystania z kalkulatora oraz mnożenia pisemnego. 99 do kwadratu to inaczej: w nawiasie 100 odjąć 1, zamykamy nawias i tę różnicę podnosimy do kwadratu. Korzystając ze wzoru na kwadrat różnicy otrzymujemy 100 do kwadratu odjąć 2 razy 100 razy 1 dodać 1 do kwadratu. To daje nam 10 000 odjąć 200 dodać 1 czyli 9801. Istnieje również wzór który w podobny sposób pozwala sprawnie obliczyć ile to jest 99 do potęgi trzeciej. Pokażę Ci jak go stworzyć. Weźmy dwie dowolne liczby. Oznaczmy je literami a oraz b. Ich różnica to a odjąć b i tę różnicę podnosimy do sześcianu. a odjąć b do sześcianu to inaczej w nawiasie a odjąć b, zamykamy nawias razy w nawiasie a odjąć b do kwadratu. Wiemy, że a odjąć b do kwadratu to a do kwadratu odjąć 2 razy a razy b dodać b do kwadratu. Więc ten czynnik zamieniamy na a do kwadratu odjąć 2ab dodać b do kwadratu. Mam teraz zadanie dla Ciebie. Uprość otrzymane wyrażenie. Do dzieła. a razy a do kwadratu to a do sześcianu. a razy minus 2ab to minus 2a do kwadratu b. a razy b do kwadratu to ab do kwadratu. minus b razy a do kwadratu to minus a kwadrat b. minus b razy minus 2ab to 2ab do kwadratu. minus b razy b do kwadratu to minus b do sześcianu. minus 2a do kwadratu b minus a do kwadratu b to minus 3a do kwadratu b. ab do kwadratu dodać 2ab do kwadratu to 3ab do kwadratu. Otrzymujemy zatem: a do sześcianu odjąć 3a do kwadratu b dodać 3a razy b do kwadratu odjąć b do sześcianu. Jak wykorzystać ten wzór do sprytnego obliczenia ile to jest 99 do sześcianu? Masz jakiś pomysł? Zapiszmy najpierw liczbę 99 jako różnicę dwóch liczb których sześciany łatwo obliczyć. 99 to inaczej 100 odjąć 1. Podnosimy zatem do sześcianu różnicę 100 odjąć 1. W tym wzorze w miejsce litery a wstawiamy 100, a w miejsce litery b 1. Otrzymujemy: 100 do sześcianu odjąć 3 razy 100 do kwadratu razy 1 dodać 3 razy 100 razy 1 do kwadratu odjąć 1 do sześcianu. 100 do sześcianu to 1 000 000. minus 3 razy 100 do kwadratu to minus 30 000 a to pomnożone przez 1 daje to samo. 3 razy 100 razy 1 do kwadratu to 300. minus 1 bez nawiasu do sześcianu to minus 1. Mamy więc 1 000 000 odjąć 30 000 dodać 300 odjąć 1, a to daje nam 970 299. Możesz sprawdzić poprawność tego wyniku na kalkulatorze. Gwarantuję, że będzie taki sam. Teraz przećwiczymy korzystanie z poznanego wzoru. Mamy w nawiasie: y odjąć 2, zamykamy nawias i tę różnicę podnosimy do sześcianu. Spróbuj samodzielnie zapisać tę różnicę w postaci sumy algebraicznej. W miejsce litery a w tym wzorze wstawiamy literę y a w miejsce litery b, liczbę 2. Otrzymujemy y do potęgi trzeciej odjąć 3 razy y do kwadratu razy 2 dodać 3 razy y razy 2 do kwadratu odjąć 2 do potęgi trzeciej. Po uproszczeniu otrzymamy: y do sześcianu odjąć 6y do kwadratu dodać 12y odjąć 8. Przejdźmy do kolejnego przykładu. W nawiasie mamy 2a odjąć x i tę różnicę podnosimy do sześcianu. Spróbuj samodzielnie zapisać to potęgowanie w postaci sumy algebraicznej. Tym razem w miejsce litery a wstawiamy 2a a w miejsce litery b literę x. Otrzymujemy 2a w nawiasie do sześcianu odjąć 3 razy w nawiasie 2a do kwadratu razy x dodać 3 razy 2a razy x do kwadratu odjąć x do sześcianu. 2a w nawiasie do sześcianu to 8a do sześcianu. 2a w nawiasie do kwadratu to 4a do kwadratu. minus 3 razy 4a do kwadratu razy x to minus 12a do kwadratu razy x. 3 razy 2a razy x do kwadratu to 6ax do kwadratu. minus x do sześcianu przepisujemy. Gotowe. Spróbuj teraz samodzielnie obliczyć ile to jest 2 pierwiastki z dwóch odjąć pierwiastek z trzech w nawiasie do sześcianu. Tym razem we wzorze na sześcian różnicy w miejsce litery a wstawiamy 2 pierwiastki z dwóch a w miejsce litery b pierwiastek z trzech. Otrzymujemy 2 pierwiastki z dwóch w nawiasie do sześcianu odjąć 3 razy 2 pierwiastki z dwóch w nawiasie do kwadratu razy pierwiastek z trzech dodać 3 razy 2 pierwiastki z dwóch razy pierwiastek z trzech w nawiasie do kwadratu odjąć pierwiastek z trzech do sześcianu. 2 pierwiastki z dwóch w nawiasie do sześcianu to inaczej 2 do sześcianu razy pierwiastek z dwóch do sześcianu czyli 16 pierwiastków z dwóch. 2 pierwiastki z dwóch w nawiasie do kwadratu to 4 razy 2, czyli 8. minus 3 razy 8 razy pierwiastek z trzech to minus 24 pierwiastki z trzech. 3 razy 2 pierwiastki z dwóch razy pierwiastek z trzech w nawiasie do kwadratu to 18 pierwiastków z dwóch. Od tego odejmujemy sześcian pierwiastka z trzech czyli 3 pierwiastki z trzech. 16 pierwiastków z dwóch dodać 18 pierwiastków z dwóch to 34 pierwiastki z dwóch. A minus 24 pierwiastki z trzech odjąć 3 pierwiastki z trzech to minus 27 pierwiastków z trzech. Wynik to 34 pierwiastki z dwóch odjąć 27 pierwiastków z trzech. Gotowe. To tyle w tej lekcji. Wzór ten, podobnie jak wzór na sześcian sumy jest przydatny do szybkiego obliczania i wyrażania w uporządkowanej postaci wszystkich wyrażeń typu sześcian różnicy. Te wzory są do siebie bardzo podobne więc miej się na baczności stosując je. W tym dziale znajdziesz lekcje dotyczące sześcianów w wyrażeniach algebraicznych. Wszystkie lekcje znajdziesz na naszej stronie internetowej pi-stacja.tv

Lista wszystkich autorów

Lektor: Krzysztof Chojecki

Konsultacja: Anna Grabek

Grafika podsumowania: Zofia Borysiewicz

Materiały: Krzysztof Chojecki

Kontrola jakości: Małgorzata Załoga

Napisy: Klaudia Abdeltawab, Татьяна Кравец

Produkcja:

Katalyst Education

Lista materiałów wykorzystanych w filmie:

suetot (CC0)
IanZA (CC0)
Joxerra Aihartza (CC BY)
Postdif (CC BY)

Licencja:

Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej

cc-by-nc-sa.svg