Żadnej sprawy kryminalnej nie da się rozwiązać bez dowodów. Odciski palców, ślady opon, DNA. Tego potrzebują kryminalistycy żeby udowodnić winę sprawcy. Matematycy też potrzebują dowodów. W tej lekcji zobaczysz, które przydają się w udowadnianiu podzielności liczb. W tej lekcji zajmiemy się wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia w zadaniach dowodowych. Zadanie pierwsze brzmi tak: wykaż, że liczba 9 do potęgi piątej odjąć 1 podzielić przez 3 do potęgi piątej odjąć 1 jest liczbą całkowitą. Aby to zrobić, należy sprytnie przekształcić ten ułamek. Przyjrzyjmy mu się dokładnie. Co da się przekształcić? Licznik czy mianownik? Na pewno 9 do potęgi piątej da się zapisać w postaci potęgi liczby 3. 9 do potęgi piątej to 3 do potęgi drugiej do potęgi piątej a to jest to samo co 3 do potęgi piątej do potęgi drugiej. 1 z kolei to inaczej 1 do potęgi drugiej. Licznik możemy zapisać zatem jako 3 do potęgi piątej do potęgi drugiej odjąć 1 do potęgi drugiej. Co dostrzegamy w liczniku? Wzór na różnicę kwadratów. 3 do potęgi piątej do potęgi drugiej odjąć 1 do kwadratu to w nawiasie 3 do potęgi piątej odjąć 1 zamknąć nawias, razy w nawiasie 3 do potęgi piątej dodać 1 zamknąć nawias. Ten czynnik iloczynu jest taki sam jak mianownik. Możemy oba skrócić. Zostaje 3 do potęgi piątej dodać 1. 3 do potęgi piątej to 243 a po dodaniu jedynki do tej liczby otrzymujemy 244, czyli liczbę całkowitą. Wykonaliśmy nasze zadanie. Koniec dowodu, więc na końcu rysujemy kwadracik. Zmierzmy się z kolejnym wyzwaniem. Wykaż, że liczba: pierwiastek z siedemnastu dodać pierwiastek z piętnastu podzielić przez pierwiastek z siedemnastu odjąć pierwiastek z piętnastu dodać pierwiastek z siedemnastu odjąć pierwiastek z piętnastu podzielić przez pierwiastek z siedemnastu dodać pierwiastek z piętnastu jest liczbą naturalną. Mamy tutaj sumę dwóch ułamków o różnych mianownikach. Jedną liczbę otrzymamy dodając do siebie oba ułamki. Żeby to zrobić, trzeba najpierw sprowadzić je do wspólnego mianownika. Weź kartkę i długopis i spróbuj to zrobić samodzielnie. Wspólnym mianownikiem będzie iloczyn obu mianowników. Pod kreską ułamkową mamy zatem w nawiasie pierwiastek z siedemnastu odjąć pierwiastek z piętnastu zamykamy nawias razy w nawiasie pierwiastek z siedemnastu dodać pierwiastek z piętnastu zamykamy nawias. Co zapisujemy nad kreską? Licznik pierwszego ułamka mnożymy przez mianownik drugiego i do tego dodajemy iloczyn licznika drugiego ułamka oraz mianownika pierwszego. Zauważ, że mamy tutaj iloczyn dwóch jednakowych nawiasów. Tak samo tutaj. Możemy zapisać te iloczyny w postaci potęgowania. Otrzymamy w liczniku. W nawiasie pierwiastek z siedemnastu dodać pierwiastek z piętnastu zamykamy nawias do kwadratu dodać w nawiasie pierwiastek z siedemnastu odjąć pierwiastek z piętnastu zamykamy nawias do kwadratu. Aby uprościć licznik należy skorzystać ze wzorów skróconego mnożenia na kwadrat sumy i kwadrat różnicy. Spróbuj to zrobić samodzielnie. Kwadrat pierwszego nawiasu to pierwiastek z siedemnastu do kwadratu dodać 2 razy pierwiastek z siedemnastu razy pierwiastek z piętnastu dodać pierwiastek z piętnastu do kwadratu. Kwadrat drugiego nawiasu to pierwiastek z siedemnastu do kwadratu odjąć 2 razy pierwiastek z siedemnastu razy pierwiastek z piętnastu dodać pierwiastek z piętnastu do kwadratu. W mianowniku mamy iloczyn dwóch nawiasów, które różnią się jedynie znakiem między elementami. Dostrzegamy tutaj wzór na różnicę kwadratów. Iloczyn tych dwóch nawiasów zapisujemy jako: pierwiastek z siedemnastu do kwadratu odjąć pierwiastek z piętnastu do kwadratu. Pierwiastek z siedemnastu do kwadratu to 17 a pierwiastek z piętnastu do kwadratu to 15. W mianowniku mamy więc 17 odjąć 15 a w liczniku 17 dodać 17 dodać 15 dodać 15. Po uproszczeniu licznika mamy 64 a po uproszczeniu mianownika 2. Otrzymujemy 32 a to jest liczba naturalna. Koniec dowodu oznaczamy rysując na końcu kwadracik. Wykonaliśmy nasze zadanie. Gratulacje. Przejdźmy do kolejnego. Wykaż, że pierwiastek trzeciego stopnia z sumy 6 pierwiastków z trzech dodać 10 dodać pierwiastek trzeciego stopnia z różnicy 10 odjąć 6 pierwiastków z trzech to 2. Uwaga, bądź skupiony! Na początku korzystamy z pewnej sztuczki. Załóżmy, że nie wiemy ile wynosi nasza suma. Oznacza to, że całe to wyrażenie równa się jakiejś liczbię którą oznaczymy sobie literą a. Mamy równanie z niewiadomą a. Spróbujmy je uprościć. Po lewej stronie widzimy pierwiastki trzeciego stopnia. Podnieśmy zatem obie strony równania do potęgi trzeciej. Sumę obu pierwiastków po lewej stronie zapisujemy więc w nawiasie i podnosimy ją do sześcianu. Z prawej strony mamy a do sześcianu. Przekształcamy teraz lewą stronę równania korzystając ze wzoru na sześcian sumy. Otrzymujemy 6 pierwiastków z trzech dodać 10 dodać 3 razy w nawiasie pierwiastek trzeciego stopnia z sumy 6 pierwiastków z trzech dodać 10 zamykamy nawias do kwadratu razy pierwiastek trzeciego stopnia z różnicy 10 odjąć 6 pierwiastków z trzech do tego dodajemy 3 razy pierwiastek trzeciego stopnia z sumy 6 pierwiastków z trzech dodać 10 razy w nawiasie pierwiastek trzeciego stopnia z różnicy 10 odjąć 6 pierwiastków z trzech zamykamy nawias do kwadratu dodać 10 odjąć 6 pierwiastków z trzech Prawą stronę równania przepisujemy. Dalej upraszczamy lewą stronę. 6 pierwiastków z trzech odjąć 6 pierwiastków z trzech nam znika bo to zero. 10 dodać 10 to 20. Teraz skorzystajmy z kolejnej sztuczki. Widzimy, że w tych dwóch składnikach wspólnym czynnikiem jest 3 razy pierwiastek trzeciego stopnia z sumy 6 pierwiastków z trzech dodać 10 razy pierwiastek trzeciego stopnia z różnicy 10 odjąć 6 pierwiastków z trzech. Wyłączamy ten wspólny czynnik przed nawias w którym mamy: pierwiastek trzeciego stopnia z sumy 6 pierwiastków z trzech dodać 10 dodać pierwiastek trzeciego stopnia z różnicy 10 odjąć 6 pierwiastków z trzech. Prawą stronę równania przepisujemy. Dalej przekształcamy lewą stronę. Będzie nam do tego potrzebna wiedza że to wyrażenie oznaczyliśmy literą a. Przepisujemy 20 dodać 3 razy. Iloczyn tych dwóch pierwiastków trzeciego stopnia możemy zapisać jako jeden pierwiastek trzeciego stopnia pod którym mamy w nawiasie 10 dodać 6 pierwiastków z trzech zamykamy nawias razy w nawiasie 10 odjąć 6 pierwiastków z trzech zamykamy nawias. Zauważ, że ten nawias jest taki sam jak ten zapis, którego wartość oznaczyliśmy wcześniej literą a. Zamieńmy zatem to wyrażenie na a. Prawą stronę równania znów przepisujemy. Idziemy dalej. Przepisujemy 20 dodać 3 razy pierwiastek trzeciego stopnia a pod nim 100 odjąć 108. Dlaczego 100 odjąć 108? Zwróć uwagę, że mamy tutaj iloczyn dwóch nawiasów w których dostrzegamy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów, czyli: w nawiasie 10 dodać 6 pierwiastków z trzech zamykamy nawias razy w nawiasie 10 odjąć 6 pierwiastków z trzech. Po wykonaniu obliczeń mamy 10 do kwadratu, czyli 100 odjąć 6 pierwiastków z trzech do kwadratu czyli 108. To mnożymy jeszcze przez a a całość wynosi a do sześcianu. 100 odjąć 108 to minus 8 a pierwiastek trzeciego stopnia z liczby minus 8 to minus 2. Otrzymujemy zatem: 20 dodać 3 razy minus 2a równa się a do potęgi trzeciej. Po dalszych przekształceniach mamy: a do potęgi trzeciej dodać 6a odjąć 20 równa się zero. Przeanalizujmy, co się stało. Przyjęliśmy, że ta skomplikowana liczba przyjmuje pewną wartość którą oznaczyliśmy literą a. Wykonując przekształcenia otrzymaliśmy równanie którego niewiadomą jest właśnie litera a. Wiemy, że a do sześcianu dodać 6a odjąć 20 to zero. Skoro mamy udowodnić, że ta liczba to 2 to wystarczy pokazać że 2 jest rozwiązaniem tego równania. Aby to zrobić należy w miejsce litery a wstawić liczbę 2. Otrzymamy 2 do sześcianu dodać 6 razy 2 odjąć 20 a to równa się 8 dodać 12 odjąć 20 czyli zero. Jaki z tego wniosek? Ta liczba z pierwiastkami to po prostu 2. Koniec dowodu. Wykonaliśmy wszystkie zadania. Gratulacje. Wzory skróconego mnożenia to świetne narzędzie które możemy wykorzystywać do zadań dowodowych na przykład przy wykazywaniu podzielności liczb. Dzięki nim twój dowód przeprowadzisz szybciej i będzie bardzo czytelny. Dzięki tej playliście poznasz sekrety sześcianów w wyrażeniach algebraicznych. Wszystkie playlisty znajdziesz na naszej stronie internetowej pi-stacja.tv