Filozof Albert Schweitzer powiedział że szczęście to jedyna rzecz która się mnoży, kiedy się ją dzieli. Nie do końca miał rację. W matematyce do wykazania podzielności liczb też często wykorzystuje się sześciany czyli wynik trzykrotnego mnożenia. W tej lekcji dowiesz się jak rozwiązywać zadania dowodowe dotyczące podzielności. Na początku jednak pokażę Ci pewien sposób zapisywania wszystkich liczb podzielnych przez jakąś liczbę na przykład przez 15. Wypiszmy kilka początkowych liczb podzielnych przez 15. minus 30, czyli 15 razy minus 2 minus 15, czyli 15 razy minus 1 zero, czyli 15 razy zero. Następnie 15, czyli 15 razy 1. 30, czyli 15 razy 2 45, czyli 15 razy 3. Liczb ujemnych i dodatnich podzielnych przez 15 jest nieskończenie wiele więc na dole i u góry zapisujemy trzy kropki. Wszystkie te liczby możemy opisać jednym wyrażeniem. Da się je zapisać jako iloczyn liczby 15 i dowolnej liczby całkowitej którą oznaczymy jakąś literą na przykład k. Jak zatem zapisać wszystkie liczby podzielne przez 73? 73 razy k gdzie k to dowolna liczba całkowita. Analogicznie możemy zapisywać wszystkie liczby podzielne przez daną liczbę. Pokażę Ci jaki to ma związek z zadaniami dowodowymi dotyczącymi podzielności. Spójrz na zadanie pierwsze. Udowodnij, że liczba 105 do potęgi trzeciej dodać 95 do potęgi trzeciej jest podzielna przez 200. Aby to zrobić wystarczy pokazać że tę liczbę da się zapisać w postaci iloczynu liczby 200 i innej liczby całkowitej. Zwróć uwagę, że mamy tutaj sumę sześcianów. Możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia. Otrzymany w nawiasie 105 dodać 95 zamknąć nawias razy w nawiasie 105 do kwadratu odjąć 105 razy 95 dodać 95 do kwadratu. 105 dodać 95 to 200. Połowa sukcesu za nami. Teraz wystarczy uzasadnić że wartość tego nawiasu jest liczbą całkowitą. Oczywiście można ją obliczyć na kalkulatorze ale istnieje inny sposób. 105 i 95 to liczby całkowite. Podnosząc te liczby do potęgi o wykładniku naturalnym otrzymamy liczby całkowite. Iloczyn dwóch liczb całkowitych też jest liczbą całkowitą. Dodając lub odejmując od siebie liczby całkowite także otrzymamy liczbę całkowitą. Liczba w nawiasie musi zatem być całkowita. Oznaczmy ją literą k i zapiszmy że należy do zbioru liczb całkowitych. Pokazaliśmy, że 105 do potęgi trzeciej dodać 95 do potęgi trzeciej dzieli się przez 200 co zapisujemy w taki sposób. Wykonaliśmy nasze zadanie. Koniec dowodu. Przejdźmy do kolejnego zadania. Spróbuj samodzielnie wykazać że liczba 135 do potęgi trzeciej odjąć 82 do potęgi trzeciej jest podzielna przez 53. Wskazówka. Przekształcając tę liczbę skorzystaj z odpowiedniego wzoru skróconego mnożenia. Wykaż, że tę liczbę da się zapisać w postaci iloczynu liczby 53 i jakiejś liczby całkowitej. Stosując wzór skróconego mnożenia na różnicę sześcianów otrzymamy w nawiasie 135 odjąć 82 zamknąć nawias razy w nawiasie 135 do kwadratu dodać 135 razy 82 dodać 82 do kwadratu. 135 odjąć 82 to 53. Wartość tego nawiasu jest liczbą całkowitą bo mamy tutaj potęgi o wykładnikach naturalnych oraz dodawanie liczb całkowitych. Oznaczając ją literą k i zapisując, że należy ona do zbioru liczb całkowitych otrzymujemy 53 razy k. Pokazaliśmy, że tę liczbę da się zapisać w postaci iloczynu liczb 53 i jakiejś liczby całkowitej więc jest podzielna przez 53. Koniec dowodu. Przejdźmy do kolejnych przykładów. Udowodnij, że liczba 5 do potęgi szóstej dodać 9 do potęgi szóstej jest podzielna przez 106. Aby to zrobić trzeba pokazać, że tę liczbę da się zapisać w postaci iloczynu liczby 106 i jakiejś liczby całkowitej. Do dzieła. Czy sumę szóstych potęg da się przekształcić w sumę sześcianów? Zauważ, że 5 do potęgi szóstej to 5 do potęgi drugiej do potęgi trzeciej. 9 do potęgi szóstej to 9 do potęgi drugiej do potęgi trzeciej. 5 do kwadratu to 25 a 9 do kwadratu to 81. Mamy 25 do sześcianu dodać 81 do sześcianu. Teraz możemy już skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia. Weź kartkę i długopis i spróbuj to zrobić samodzielnie. Otrzymujemy w nawiasie 25 dodać 81 zamknąć nawias razy w nawiasie 25 do kwadratu odjąć 25 razy 81 dodać 81 do kwadratu. 25 dodać 81 to 106 i tę liczbę mnożymy przez ten nawias. Zastanówmy się czy ten nawias jest liczbą całkowitą. Mamy tutaj potęgowanie o wykładnikach naturalnych oraz dodawanie i odejmowanie liczb całkowitych. Bez wykonywania tych działań stwierdzamy że wynik musi być liczbą całkowitą. Oznaczamy ją literą k otrzymując 106 razy k i zapisujemy że k należy do zbioru liczb całkowitych. Wykonaliśmy nasze zadanie. Udowodniliśmy, że 106 dzieli wyrażenie 5 do potęgi szóstej dodać 9 do potęgi szóstej. Przejdźmy do kolejnego zadania. Udowodnij, że liczba 13 do potęgi dwunastej odjąć 5 do potęgi dwunastej jest podzielna przez 18. Schemat rozwiązywania tego zadania jest analogiczny do poprzedniego. Naszym celem jest przekształcenie tej liczby i zapisanie jej w postaci iloczynu liczby 18 i jakiejś innej liczby całkowitej. Skoro chcemy otrzymać iloczyn a tutaj mamy różnicę to należy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia. Ale którego? Wykładnik obu potęg to 12. 12 to 2 razy 6 ale również 4 razy 3. Zobaczmy najpierw, co się stanie gdy zamienimy to potęgowanie na takie w którym mamy 2 i 6. 13 do potęgi dwunastej to inaczej 13 do potęgi szóstej do potęgi drugiej. 5 do potęgi dwunastej to 5 do potęgi szóstej do potęgi drugiej. Mamy tutaj różnicę kwadratów. Ta różnica to jest zatem to samo co w nawiasie. 13 do potęgi szóstej odjąć 5 do potęgi szóstej zamknąć nawias razy w nawiasie 13 do potęgi szóstej dodać 5 do potęgi szóstej zamknąć nawias. Mamy tu gdzieś 18? No nie. Przekształcamy więc dalej. Ale który nawias? Wszędzie mamy szóste potęgi. Zamieńmy w tym nawiasie 13 do potęgi szóstej na 13 do potęgi trzeciej do potęgi drugiej a 5 do potęgi szóstej na 5 do potęgi trzeciej do potęgi drugiej. Po takiej zamianie potęg dostrzegamy tutaj różnicę kwadratów. Stosując wzór skróconego mnożenia dostajemy 13 do potęgi trzeciej odjąć 5 do potęgi trzeciej zamykamy nawias razy 13 do potęgi trzeciej dodać 5 do potęgi trzeciej zamykamy nawias. Ten nawias przepisujemy bo nic z nim nie zrobimy. Pamiętaj, że chcemy otrzymać iloczyn 18 i innej liczby całkowitej. Możemy przekształcić ten nawias korzystając ze wzoru na różnicę sześcianów i otrzymalibyśmy czynnik w którym byłoby 13 odjąć a to nie jest 18. Jeżeli jednak zastosujemy wzór na sumę sześcianów dla tego nawiasu to otrzymamy czynnik w którym będzie 13 dodać 5 a to już jest 18. To zastosujmy ten wzór. Otrzymane w nawiasie 13 dodać 5 zamykamy nawias razy 13 do kwadratu odjąć 13 razy 5 dodać 5 do kwadratu zamykamy nawias. Pozostałe nawiasy przepisujemy. Zatrzymajmy się na chwilę. Otrzymaliśmy to co chcieliśmy, czyli 18. Tę liczbę mnożymy przez 3 inne liczby które znajdują się w nawiasach. Czy to są liczby całkowite? Możesz to sprawdzić samodzielnie obliczając ich wartości na kalkulatorze. Można to też uzasadnić tak jak w poprzednim przykładzie. Pokazaliśmy, że to wyrażenie da się zapisać w postaci iloczynu osiemnastki i innej liczby całkowitej czyli, że dzieli się przez 18. Koniec dowodu. To zadanie można też rozwiązać podążając nieco inną drogą. Wróćmy do początku. Mamy 13 do potęgi dwunastej odjąć 5 do potęgi dwunastej. Kilka chwil temu 13 do potęgi dwunastej zapisałem jako 13 do potęgi szóstej do potęgi drugiej. Powiedziałem też, że można inaczej. 13 do potęgi dwunastej to także 13 do potęgi czwartej do potęgi trzeciej. Analogicznie przekształcamy 5 do potęgi dwunastej otrzymując 5 do potęgi czwartej do potęgi trzeciej. Mamy tutaj różnicę sześcianów. Stosujemy wzór skróconego mnożenia i mamy w nawiasie 13 do potęgi czwartej odjąć 5 do potęgi czwartej zamykamy nawias razy w nawiasie 13 do potęgi czwartej do potęgi drugiej dodać 13 do potęgi czwartej razy 5 do potęgi czwartej dodać 5 do potęgi czwartej do potęgi drugiej. 13 do potęgi czwartej to 13 do potęgi drugiej do potęgi drugiej. 5 do potęgi czwartej to 5 do potęgi drugiej do potęgi drugiej. Ten czynnik przepisujemy. Zobacz, mamy tutaj różnicę kwadratów. Możemy zatem zapisać to wyrażenie jako: w nawiasie 13 do kwadratu odjąć 5 do kwadratu zamykamy nawias razy 13 do kwadratu dodać 5 do kwadratu zamykamy nawias. Resztę przepisujemy. Sumy kwadratów liczb 13 i 5 już nie przekształcimy. Różnicę kwadratów tych liczb znów możemy zapisać w postaci mnożenia korzystając ze wzoru skróconego mnożenia. Otrzymujemy w nawiasie 13 dodać 5 zamykamy nawias razy w nawiasie 13 odjąć 5 zamykamy nawias. Pozostałe wyrażenia przepisujemy. 13 dodać 5 to 18. Wynik iloczynu trzech pozostałych czynników jest liczbą całkowitą. Uzasadnienie tego faktu jest analogiczne jak w pierwszej metodzie. Pokazaliśmy, że to wyrażenie da się zapisać w postaci iloczynu osiemnastki i innej liczby całkowitej czyli, że dzieli się przez 18. Koniec dowodu. Wykonaliśmy tym samym wszystkie zadania w tej lekcji. Gratulacje. Liczba podzielna przez 7 ma postać 7 razy k gdzie k należy do liczb całkowitych a liczba podzielna przez 53 ma postać 53 razy k gdzie k należy do liczb całkowitych. I tak można zapisać każdą liczbę podzielną przez pewną liczbę. Aby przedstawić liczbę w takiej postaci często pomogą Ci wzory skróconego mnożenia. Zapraszam Cię do obejrzenia pozostałych lekcji o sześcianach w wyrażeniach algebraicznych oraz do zasubskrybowania naszego kanału.