Chcesz wiedzieć, czy więcej zyskasz wkładając pieniądze na taki sam procent na lokatę roczną, czy na taką, w której odsetki dolicza się co miesiąc? A może interesuje Cię, jak długo groźne pozostają promieniotwórcze odpady? Albo jak szybko rozprzestrzeniają się epidemie? W poznaniu odpowiedzi na te i wiele innych praktycznych pytań pomaga znajomość funkcji wykładniczych i metod ich obliczania. A o tym właśnie jest ten film. Zapraszamy. W innym filmie tej playlisty mówiliśmy o funkcji wykładniczej jej wykresie i własnościach. W tym skupimy się na rozwiązywaniu zadań. Mniej i bardziej praktycznych. Zadanie 1 Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji wykładniczej f. Podaj wzór tej funkcji. Na początek przypomnijmy wzór ogólny funkcji wykładniczej. To f(x) równe a do potęgi x. We wzorze tym poza zmienną x występuje tylko litera a. Naszym zadaniem jest zastąpienie jej konkretną liczbą. Z rysunku wiemy, że do wykresu funkcji f należy punkt A o współrzędnych 2 i 9. 2 to współrzędna iksowa, 9 - igrekowa. Naszą funkcję możemy zapisać jako y równe a do potęgi x. Jeśli pod y podstawimy 9, a pod x dwójkę otrzymamy równanie z jedną niewiadomą: literą a. Ją właśnie chcemy obliczyć. 9 równa się a do potęgi drugiej czyli a do kwadratu równa się 9. Widzisz, że a może być równe 3 lub -3. Z definicji funkcji wykładniczej wiemy jednak że a musi być liczbą większą od zera a więc -3 nie spełnia warunków zadania. Wzór naszej funkcji to: f od x równa się 3 do potęgi x. Kolejne zadanie - po orzeszku. Funkcja wykładnicza o wzorze: f(x) równe 4 do potęgi x, przyjmuje wartość 3 dla argumentu... ...i tu 4 argumenty do wyboru. Wybierz właściwą odpowiedź. Zacznijmy od przepisania naszej funkcji. Wartość, czyli y, to 3. Zapiszmy to. Naszą wartość chcemy wstawić do wzoru funkcji. Zapiszmy ją. Tym razem jako y równe 4 do potęgi x. Podstawiając trójkę otrzymujemy: 3 równe 4 do potęgi x. Naszą niewiadomą jest wykładnik potęgi A pytanie o potęgę to...? Tak, logarytm. Przypomnijmy sobie definicję logarytmu. Logarytm przy podstawie a z b równa się c wtedy i tylko wtedy, gdy a do potęgi c = b. Taką formę ma właśnie nasze równanie. a to czwórka c to x a b to trójka. Przekonwertuj nasz zapis na formę logarytmiczną. a to czwórka b to trójka a c to nasza niewiadoma. X równa się więc takiemu logarytmowi i dokładnie taki mamy w odpowiedzi D. Czas na kolejne zadanie. Dana jest funkcja wykładnicza określona wzorem: h od x równe 3 do potęgi (x - 3). W jakim punkcie funkcja ta przecina oś Y? Na początek przepiszmy naszą funkcję. h od x = 3 do potęgi (x - 3). Mała ściąga: narysujmy dowolną funkcję i zaznaczmy na niej punkt przecięcia z osią Y. Współrzędna x takiego punktu to zawsze 0. Aby obliczyć drugą współrzędną wystarczy więc pod x podstawić zero. W wykładniku naszej potęgi jest jednak zapis (x - 3). Coś Ci on mówi? Jeśli tak, super. Jeśli nie, to warto przy okazji tego zadania powtórzyć przesuwanie wykresu funkcji. Dlatego rozwiążemy nasze zadanie na dwa sposoby. Pierwszy: podstawiamy pod x wspomniane już zero, otrzymując: 3 do potęgi 0 minus 3, a po wykonaniu odejmowania: 3 do potęgi -3. W takiej potędze minus odwraca liczbę potęgowaną, czyli z trójki robi...? Masz rację, 1/3. Trójkę przepisujemy i otrzymujemy 1/27. To nasza szukana, igrekowa współrzędna punktu przecięcia funkcji z osią Y. Obiecaliśmy jednak przypomnieć co znaczy taki zapis w potędze przy okazji powtarzając zagadnienie przesuwania wykresu funkcji. Kiedy funkcję f(x) przesuniemy o 3 jednostki w górę, otrzymujemy funkcję f(x) dodać 3. Kiedy przesuniemy ją o trzy jednostki w dół otrzymamy funkcję f(x) odjąć 3. Przesunięcie w lewo da nam taką funkcję a w prawo taką. W naszym przypadku wyjściową funkcją czyli tą przed przesunięciem była funkcja 3 do potęgi x. Zapiszmy to. Taki zapis oznacza, że trójkę dodajemy do całej funkcji, czyli otrzymujemy 3 do potęgi iks i dopiero do tego dodajemy trójkę. Podobnie przy odejmowaniu: trójka ląduje na samym końcu zapisu. A tu? Tu trójka jest w nawiasie, co oznacza że ma być ona dodana bezpośrednio do x czyli w przypadku naszej funkcji musimy ją dopisać w wykładniku potęgi. Analogicznie postępujemy tu. Trójkę odejmujemy od x w wykładniku. Jeśli chcesz dokładniej powtórzyć przesuwanie funkcji, zajrzyj do playlisty poświęconej temu zagadnieniu. To, co otrzymaliśmy tu, to dokładnie nasza funkcja, czyli funkcja h od x powstała przez przesunięcie funkcji 3 do x o 3 jednostki w prawo. Zobaczmy to na wykresie. Oto wykres funkcji f(x) czyli tej przed przesunięciem. Kiedy przesuniemy ją o 3 jednostki w prawo otrzymamy funkcję h(x) = 3 do potęgi (x - 3) czyli tę z polecenia naszego zadania. Mamy znaleźć współrzędne punktu jej przecięcia z osią Y. Przed przesunięciem punkt ten znajdował się tu i miał współrzędne: -3 i 1/27. Po przesunięciu o trzy w prawo x będzie równy zeru ale y się nie zmieni czyli szukany punkt przecięcia ma współrzędne 0 i 1/27. Kolejne zadanie brzmi: Masa m pewnego leku zażytego przez chorego zmienia się w organizmie zgodnie z zależnością wykładniczą. m(t) = m0, czyli masa przyjętej dawki do potęgi 1/3 t, gdzie t to czas jaki upłynął od momentu zażycia leku. Oblicz, ile miligramów leku pozostanie w organizmie chorego po upływie 6 godzin jeśli przyjął on jednorazowo dawkę leku o masie 100 mg. Przepiszmy naszą zależność: m(t) to m0 razy 1/2 do potęgi 1/3 t. Obliczyć mamy masę leku w organizmie po upływie 6 godzin, czyli t = 6. Początkowa dawka leku to 100 mg a to nasze m0. Tę liczbę wstawiamy tu, a tę tu. Masa po 6 godzinach to więc 100 razy 1/2 do potęgi 1/3 razy 6. Całość wygląda dość skomplikowanie ale... po kolei. Zaczynamy od mnożenia w wykładniku potęgi. 1/3 i szóstkę możemy skrócić. Początek przepisujemy. W wykładniku mamy 1/1 razy 2, czyli 2. Kolejnym krokiem jest podniesienie 1/2 do potęgi. Otrzymujemy 100 x 1/4, a 1/4 ze stu to 25. Szukana masa leku po 6 godzinach to 25 mg. Zadanie 5 Czas połowicznego rozpadu to czas w którym połowa pierwotnej liczby atomów danego izotopu promieniotwórczego ulega rozpadowi. Możemy go zapisać w postaci zależności: Y równa się m0 razy 1/2 do potęgi x gdzie m0 oznacza początkową masę izotopu a x liczbę okresów rozpadu. Dla jednego z izotopów wodoru okres połowicznego rozpadu to 12 lat. Jeśli na początku mieliśmy 2 i 4/10 g tego izotopu, to po ilu latach zostanie go 15 setnych grama? Na początek zastanówmy się, co dokładnie oznacza czas połowicznego rozpadu? Jeśli na początek mieliśmy 2,4 g izotopu to po jednym czasie połowicznego rozpadu zostanie z niego połowa, czyli 1,2 grama. Kiedy znów minie taki sam czas czyli czas połowicznego rozpadu zostanie połowa z tej połowy czyli sześć dziesiątych grama, i tak dalej. W naszej funkcji m0 to początkowa masa izotopu, a x to liczba czasów połowicznego rozpadu, jakie miną w całym analizowanym przez nas okresie. Musimy więc naszą masę początkową pomnożyć przez 1/2 tyle razy ile czasów połowicznego rozpadu mieści się w analizowanym okresie. Zapiszmy to bardziej elegancko w formie tabeli. Początkowa masa izotopu to 2,4 grama. Po jednym czasie połowicznego rozpadu zostaje 1,2 grama po drugim - sześć dziesiątych po trzecim - trzy dziesiąte a po czwartym - piętnaście setnych grama. Moglibyśmy wypełniać komórki dalej ale to już masa z polecenia. Jak widać, w tym zadaniu można znaleźć odpowiedź właściwie nie korzystając z podanej zależności, ale są przypadki kiedy tabelka nie wystarczy. Teraz skorzystajmy więc z wzoru. Końcowa masa, czyli y to 15/100 grama. m0 to 2,4 grama, a x zostanie jako niewiadoma, którą będziemy obliczać. Po podstawieniu otrzymujemy 2,4 razy 1/2 do potęgi x równa się 0,15 g. Najpierw musimy pozbyć się liczby 2,4 dzieląc przez nią obustronnie. Dostaniemy: 1/2 do potęgi x = 0,0625. Łatwiej nam będzie obliczyć, do jakiej potęgi musimy podnieść 1/2, kiedy ułamek dziesiętny zapiszemy jako zwykły. W liczniku 625, w mianowniku 10 000. Ułamek można skrócić. Liczby spore, więc jeśli chcesz to zrób to na raty. Wynik to 1/16. 1/2 do jakiej potęgi daje 1/16? Tak, do 4, czyli x równa się 4. Niezapominajmy, że liczba 4 którą otrzymaliśmy i z tabeli, i z obliczeń to liczba czasów połowicznego rozpadu a nas pytają, ile lat upłynie. Ale to już proste. Jeden taki czas to 12 lat a więc upłynie 12 razy 4, czyli 48 lat. I to jest odpowiedź do naszego zadania. Funkcja wykładnicza opisuje wiele zjawisk w których coś rośnie lub maleje w sposób wykładniczy. Na przykład wzrost kapitału na lokacie z procentem składanym rozpad promieniotwórczy czy stężenie leków w organizmie. Przyjmuje ona postać f(x) = a do potęgi x gdzie a jest większe od zera i a nie jest równe 1. Korzystając z wzorów funkcji wykładniczej można rozwiązać wiele praktycznych problemów. A jeśli Ty będziesz korzystać z pistacja.tv Twoja wiedza wzrośnie wykładniczo. Sprawdź nas.