Z tego filmu dowiesz się:

  • jak rozwiązywać równania wielomianowe zapisane w postaci iloczynowej,
  • jak rozwiązywać równania wielomianowe wykorzystując deltę oraz wzór na pierwiastki trójmianu kwadratowego,
  • kiedy równanie nie ma rozwiązań, a kiedy musi mieć co najmniej jedno.

Podstawa programowa

Pobieranie materiałów

wideo ekran podsumowujący napisy

Licencja: cc-by-nc-sa.svg

Poniższe materiały są udostępnione na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.pl). Możesz je wykorzystywać wyłącznie jako całość, bez rozdzielania ich na indywidualne elementy składowe. Zabronione jest wycinanie, pobieranie, modyfikowanie, edytowanie i zmienianie elementów składowych (np. grafik, tekstów, dźwięków, logotypów). Licencja CC BY-NC-SA 4.0 nie obejmuje wykorzystywania elementów składowych w utworach pochodnych. Jeśli chcesz wykorzystać ten materiał w swoim niekomercyjnym projekcie, nie zapomnij wymienić jego autorów: Pi-stacja / Katalyst Education.

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

Co można równać albo do czego? Można równać szanse, równać szereg albo równać do najlepszego. Matematycy też zajmują się równaniem. A raczej równaniami. Wielomianowymi. O nich posłuchasz w tej lekcji. Mamy takie równanie: x razy, w nawiasie x odjąć 2 razy, w nawiasie x dodać 1 równa się 0. Jak je rozwiązać? Zauważ, że po prawej stronie znaku równości stoi 0. Natomiast po lewej stronie mamy mnożenie trzech liczb. Kiedy ich iloczyn byłby zerem? Tylko wtedy, kiedy przynajmniej jedna liczba będzie zerem. Na przykład x równe zeru jest rozwiązaniem tego równania. Ale czy jest to jedyne rozwiązanie? Nie, przecież zerem może być też wynik wyrażenia x odjąć 2. Dla jakiego x to wyrażenie będzie się zerować? Oczywiście dla dwójki. Dwójka jest kolejnym rozwiązaniem tego równania. Jak myślisz, czy to wszystkie rozwiązania? Pozostał nam jeszcze ten nawias. Jeśli x dodać 1 będzie równy zeru to x będzie kolejnym rozwiązaniem naszego równania. Tak się stanie dla x równego -1. To równanie ma więc 3 rozwiązania: 0, 2 i –1. Zwróć uwagę, że ta metoda nadaje się tylko do równań w których po jednej ze stron stoi 0 a po drugiej iloczyn jakichś wyrażeń. Dlatego upewnij się, że po którejś ze stron równania stoi 0. Jak myślisz, jak nazywamy wyrażenie po lewej stronie? Możesz mi nie uwierzyć na słowo ale jest to wieloman. Zaraz Ci to pokażę. Pomnóżmy wszystkie czynniki po lewej stronie i sprawdźmy, co otrzymamy. Ja zacznę od nawiasów. x razy x to x kwadrat x razy 1 to po prostu x –2 razy x daje –2x i na końcu –2 razy 1 to –2. Po uproszczeniu w nawiasie dostajemy: x kwadrat odjąć x odjąć 2. Po pomnożeniu tego przez x otrzymamy x do trzeciej odjąć x kwadrat odjąć 2x równa się 0. Jak widzisz, jest to wielomian stopnia trzeciego. Jeśli chcesz przypomnieć sobie podstawowe informacje na temat wielomianów to odsyłam Cię do playlisty poświęconej temu zagadnieniu. Jak myślisz, czym są znalezione przez nas liczby? To miejsca zerowe tego wielomianu. Wielomian jest stopnia trzeciego a my znaleźliśmy dokładnie 3 takie miejsca. Stąd wiemy, że znaleźliśmy je wszystkie ponieważ wielomian nie może mieć ich więcej niż wynosi jego stopień. Każdy wielomian możemy zapisać w postaci iloczynowej. Czynniki będą stopnia pierwszego lub drugiego. Nie zawsze da się zapisać wielomian w postaci iloczynu czynników stopnia tylko pierwszego ponieważ trójmiany kwadratowe o ujemnej delcie są nierozkładalne. W przypadku funkcji kwadratowych liczyliśmy deltę, a następnie podstawialiśmy ją do wzoru na pierwiastki otrzymując postać iloczynową. Wielomiany wysokiego stopnia, powyżej czwartego nie posiadają takich gotowych wzorów, dlatego w tej playliście pokażę Ci kilka metod pozwalających doprowadzać wielomiany do postaci iloczynowej. Schrup orzeszka, a za chwilę rozwiążemy nieco bardziej złożone przykłady. Rozwiążmy teraz taki przykład. W nawiasie x kwadrat dodać 2 razy w nawiasie x kwadrat dodać 1 równa się 0. Postępujemy podobnie jak poprzednio. Nasz x musi spełniać równanie x kwadrat dodać 2 równa się 0 lub x kwadrat dodać 1 równa się 0. Zajmijmy się pierwszym z nich. Przenosimy dwójkę na prawą stronę i otrzymujemy x kwadrat równa się –2. Jaka liczba podniesiona do potęgi drugiej da nam –2? To było nieco podchwytliwe pytanie ponieważ taka liczba nie istnieje. Cokolwiek podniesione do potęgi drugiej da nam liczbę nieujemną. Możemy zatem napisać że x należy do zbioru pustego. A co z drugim równaniem? Jeśli jedynkę przeniesiemy na prawą stronę to otrzymamy x kwadrat równa się –1. Ponownie po prawej stronie mamy liczbę ujemną dlatego znowu x należy do zbioru pustego. Skoro żaden z czynników tego równania nie może być zerem to ono samo nie ma rozwiązań czyli x należy do zbioru pustego. Kolejny przykład: w nawiasie x do trzeciej dodać 8 razy w nawiasie x kwadrat dodać 3 równa się 0. Zatrzymaj film i rozwiąż go samodzielnie. To równanie będzie spełnione jeśli x do trzeciej dodać 8 będzie równe zeru lub kiedy x kwadrat dodać 3 będzie równe zeru. Zacznijmy od tego wyrażenia i przenieśmy ósemkę na prawą stronę. Mamy x do trzeciej równa się –8. Zatem x równa się –2 bo –2 do potęgi trzeciej daje –8. Przechodzimy do drugiego wyrażenia i przenosimy trójkę na prawą stronę otrzymując x kwadrat równa się –3. Podobnie jak w poprzednim przykładzie otrzymujemy sprzeczność, ponieważ nie ma takiej liczby, która po podniesieniu do kwadratu będzie ujemna. x należy zatem do zbioru pustego. To równanie ma tylko jedno rozwiązanie a mianowicie –2. Zwróć uwagę na stopnie wielomianów w równaniach. Aby je obliczyć, wystarczy dodać do siebie najwyższe potęgi x z każdego z nawiasów. W pierwszym przypadku dostajemy wielomian stopnia 2 dodać 2, czyli czwartego. Jest to wielomian stopnia parzystego. W naszym przypadku nie posiada on żadnych pierwiastków bo takie wielomiany nie muszą ich mieć. Na pewno ich nie mają jeśli można je przedstawić tylko jako iloczyn nierozkładalnych wyrażeń stopnia drugiego. Wielomian w drugim przykładzie jest natomiast stopnia 3 dodać 2 czyli piątego. Jako wielomian stopnia nieparzystego musi posiadać co najmniej 1 pierwiastek. I tak właśnie jest. Znaleźliśmy go. Wielomian stopnia nieparzystego musi mieć pierwiastek ponieważ nie da się go rozłożyć na iloczyn wyrażeń o parzystym stopniu. Przy obliczaniu miejsc zerowych wielomianów, zwracaj uwagę na ich stopnie aby weryfikować poprawność swoich obliczeń. Ten przykład jest dla Ciebie. Zatrzymaj film i samodzielnie rozwiąż to równanie. Nasz iloczyn będzie zerem jeśli któryś z nawiasów będzie zerem. Zapiszmy to. W pierwszym wyrażeniu przenosimy jedynkę na prawą stronę i otrzymujemy, że nawias jest zerem wtedy kiedy x równa się 1. A co z drugim wyrażeniem? Tutaj musimy odwołać się do wiedzy z równań kwadratowych. Zachęcam Cię do obejrzenia odpowiedniej wideolekcji, jeśli chcesz przypomnieć sobie to zagadnie. Kiedy takie wyrażenie będzie równe zeru? Żeby się tego dowiedzieć musimy obliczyć wyróżnik trójmianu kwadratowego czyli potocznie deltę. Delta równa się 2 do kwadratu odjąć 4 razy 1 razy –2, a to daje 12. Pierwiastek z delty równa się pierwiastek z dwunastu czyli 2 razy pierwiastek z trzech. Następnie podstawiamy deltę do wzoru na pierwiastki równania kwadratowego. Pierwszy z nich równa się –2 odjąć 2 pierwiastki z trzech podzielić przez 2 a po skróceniu dwójek to –1 odjąć pierwiastek z trzech. Drugi pierwiastek liczymy z drugiego wzoru ale różni się on jedynie znakiem przy delcie. Więc x równa się –1 dodać pierwiastek z trzech. To równanie ma zatem 3 rozwiązania: 1, –1 odjąć pierwiastek z trzech i –1 dodać pierwiastek z trzech. W ostatnim przykładzie wykorzystaj wszystkie metody które dotychczas ćwiczyliśmy i zrób go samodzielnie. Tak jak poprzednio musimy znaleźć zerowe wartości każdego z czynników iloczynu. Zaczynamy od pierwszego wyrażenia. Przenosimy dwójkę na prawą stronę i otrzymujemy x kwadrat równa się 2. Po wyciągnięciu pierwiastka otrzymujemy 2 rozwiązania: x równa się pierwiastek z dwóch lub x równa się minus pierwiastek z dwóch. W drugim wyrażeniu wystarczy przenieść piątkę na prawą stronę. Otrzymamy wtedy x równy –5. A co z ostatnim wyrażeniem? Tu należy obliczyć deltę, a następnie podstawić ją do wzoru na pierwiastki. Delta równa się –2 do kwadratu odjąć 4 razy 1 razy 2, a to równa się –4. Okazuje się że delta jest ujemna więc to wyrażenie nigdy nie będzie zerem. Piszemy, że x należy do zbioru pustego. Podsumowując, nasze równanie ma 3 rozwiązania: pierwiastek z dwóch, minus pierwiastek z dwóch oraz –5. Jak widzisz, jeśli zapiszesz wielomian w postaci iloczynowej, to szukanie jego miejsc zerowych będzie prostsze i sprowadzi się do sprawdzania kiedy wyrażenia w nawiasach się zerują. Aby rozwiązać równanie wielomianowe należy doprowadzić je do postaci iloczynowej. Aby iloczyn był równy zeru któryś z czynników musi być zerem. Ta playlista opowiada o równaniach wielomianowych. Jeśli chcesz dowiedzieć się więcej na ten temat to zachęcam Cię do obejrzenia naszej innej playlisty na temat wielomianów.

Lista wszystkich autorów

Lektor: Patryk Bojarski

Konsultacja: Zofia Wiśniewska

Grafika podsumowania: Valeriia Malyk

Materiały: Patryk Bojarski

Kontrola jakości: Małgorzata Załoga

Napisy: Grzegorz Jakubiec, Татьяна Кравец

Produkcja:

Katalyst Education

Lista materiałów wykorzystanych w filmie:

MD Duran (licencja Unsplash)
Larm Rmah (licencja Unsplash)
Bence Balla-Schottner (licencja Unsplash)
OpenClipartVectors (CC0)
Clker-Free-Vector-Images (CC0)

Licencja:

Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej

cc-by-nc-sa.svg