Przy projektowaniu maszyn i urządzeń pracujących w trudnych warunkach inżynier musi uwzględnić siły na nie działające. Informacje o naprężeniach, którym poddawane są maszyny, ukryta jest w pierwiastkach takiego wielomianu. Po obejrzeniu tej lekcji będziesz potrafić to, co dobry inżynier. W tej wideolekcji będziemy rozkładać wielomiany na iloczyn czynników wykorzystując wzory skróconego mnożenia oraz umiejętność wyciągania wspólnego czynnika przed nawias. Zacznijmy od takiego zadania: rozłóż na czynniki wielomian W od x. Jak to zrobić? Wyciągnijmy wspólny czynnik przed nawias. Jaki? Na pewno możemy wyciągnąć x. Rozkładając wielomiany zawsze warto jednak sprawdzić jaką najwyższą potęgę x możemy wyciągnąć przed nawias. Ponieważ dążymy do tego aby w nawiasie pozostało nam wyrażenie o jak najniższym stopniu wyciągamy zatem przed nawias x kwadrat. A czy moglibyśmy wyciągnąć x w wyższej potędze? Nie, ponieważ z tego wyrażenia wyciągnęliśmy już wszystkie x. Warto również doprowadzać do postaci w której współczynnik przy najwyższej potędze x wynosi 1. Co musimy zrobić w naszym wielomianie aby dojść do takiej postaci? Popatrzmy na współczynnik stojący przy niewiadomej. To -12. Mamy też wyraz wolny –6. Żeby w nawiasie dostać x bez współczynnika musimy wyciągnąć –12 przed nawias. Co otrzymamy? W od x równa się: –12x kwadrat, razy w nawiasie x dodać 1/2. Przekształciliśmy postać ogólną naszego wielomianu w postać iloczynową. Innymi słowy, rozłożyliśmy go na czynniki. W tym przykładzie należy rozłożyć wielomian W od x na iloczyn czynników o jak najniższym stopniu. Przyjrzyjmy się naszemu wielomianowi. Moglibyśmy go zapisać jako iloczyn trzech identycznych czynników ale każdy byłby stopnia drugiego. Spróbujmy inaczej. Czy wyrażenie w nawiasie coś Ci przypomina? Dziesiątkę mogę zamienić na 2 razy 5 a 25 na 5 kwadrat. Teraz może już dostrzegasz że możemy zwinąć to wyrażenie do wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy. Otrzymamy wtedy, że W od x równa się w nawiasie x dodać 5 do kwadratu i do potęgi trzeciej. Jak pamiętasz, kiedy potęgujemy liczbę podniesioną do potęgi to mnożymy wykładniki. Zatem W od x równa się x dodać 5 podniesione do potęgi szóstej. W nawiasie otrzymaliśmy żądane wyrażenie stopnia pierwszego. Kontynuujemy rozkładanie wielomianów na czynniki. Rozłóż wielomian W od x samodzielnie. Podpowiem Ci, że należy skorzystać ze wzoru na różnicę sześcianów. Na początku wyciągnijmy wspólny czynnik przed nawias. W naszym przypadku będzie to x kwadrat. W nawiasie zostanie nam x do trzeciej odjąć 27. 27 to 3 do potęgi trzeciej. A zatem korzystając ze wzoru skróconego mnożenia mamy: W od x równa się x kwadrat razy w nawiasie x odjąć 3 razy, w nawiasie x kwadrat dodać 3x dodać 9. W ostatnim nawiasie mamy wciąż wyrażenie stopnia drugiego. Czy możemy rozłożyć je do prostszej postaci? Policzmy deltę. Mamy 3 do kwadratu odjąć 4 razy 1 razy 9 a to jest mniejsze od zera. Dlatego tego wyrażenia nie możemy już bardziej uprościć. Ten przykład też rozwiąż samodzielnie wykorzystując do tego wzory skróconego mnożenia. Zauważ, że x do czwartej to x kwadrat do kwadratu. –2x kwadrat to –2 razy 1 razy x kwadrat a jedynkę możemy zapisać jako 1 do potęgi drugiej. Możemy zatem skorzystać ze wzoru na kwadrat różnicy czyli W od x równa się w nawiasie x kwadrat odjąć 1, do kwadratu. Wyrażenie wewnątrz nawiasu możemy rozłożyć korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów. Zatem W od x równa się x odjąć 1 razy x dodać 1 i wszystko podniesione do potęgi drugiej. Kwadrat iloczynu dwóch nawiasów jest iloczynem kwadratów. Udało nam się rozłożyć wielomian W od x na czynniki stopnia pierwszego. W ostatnim przykładzie mamy rozłożyć wielomian W od x na czynniki. Ale czy W od x nie jest już przedstawiony w postaci iloczynowej? Mamy tutaj przecież 2 nawiasy. Nie jest, bo te nawiasy odejmujemy a nie mnożymy. Zapisz ten wielomian w postaci iloczynowej a potem sprawdź, czy masz tak samo jak ja. Należy pozbyć się nawiasów a następnie złożyć wszystkie wyrażenia tak aby doprowadzić W od x do postaci iloczynowej. Pierwszy nawias rozwijamy korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy. Wtedy W od x równa się x do trzeciej dodać 3x kwadrat dodać 3x i dodać 1. Drugi nawias należy pomnożyć przez minus dwójkę. Otrzymujemy –6x kwadrat odjąć 2. Dodajemy do siebie wyrazy o tych samych potęgach przy zmiennej. Piszemy: W od x równa się x do trzeciej mamy tylko tutaj więc przepisujemy go po znaku równości. 3x kwadrat odjąć 6x kwadrat równa się –3x kwadrat. x w potędze pierwszej jest tutaj dlatego przepisujemy go niżej. 1 odjąć 2 to –1. Aby zamienić nasz W od x na postać iloczynową, wystarczy zauważyć, że w tym wyrażeniu kryje się wzór skróconego mnożenia. Tutaj mamy 3 razy 1 razy x kwadrat a tutaj 3 razy 1 do kwadratu razy x a jedynkę zapisujemy jako 1 do potęgi trzeciej. Korzystamy ze wzoru na sześcian różnicy i otrzymujemy, że W od x równa się x odjąć 1, do potęgi trzeciej. Jest to rozwiązanie naszego zadania ponieważ w nawiasie otrzymaliśmy wyrażenie stopnia pierwszego. Do rozkładu wielomianów na czynniki często wykorzystujemy wzory skróconego mnożenia. Udało Ci się rozwiązać wszystkie przykłady? Może jakimiś innymi metodami niż te które Ci pokazałem? Podziel się tym z nami w komentarzu. A jeśli ten film Ci się spodobał to zostaw łapkę w górę!