Wzór ogólny ciągu arytmetycznego - zadania część 2

Playlista: Ciąg arytmetyczny

Z tego filmu dowiesz się:


  • jak wyznaczać pierwszy wyraz i różnicę ciągu arytmetycznego z przekształconej postaci wzoru ogólnego,
  • jak obliczyć różnicę ciągu arytmetycznego znając wartości niektórych wyrazów.

Podstawa programowa


Autorzy i materiały

Lista wszystkich autorów


Tutor: Krzysztof Chojecki

Konsultacja: Krystyna Parszuto

Grafika podsumowania: Valeriia Malyk

Materiały: Krzysztof Chojecki

Korekta: Małgorzata Załoga

Produkcja


Katalyst Education

Lista materiałów wykorzystanych w filmie


viralspeed (Pixabay License)
Katalyst Education (CC BY)

Wiedza niezbędna do zrozumienia tematu

Aby w pełni zrozumieć materiał zawarty w tej playliście, upewnij się, że masz opanowane poniższe zagadnienia.

Udostępnianie w zewnętrznych narzędziach

Korzystając z poniższych funkcjonalności możesz dodać ten zasób do swoich narzędzi.

Kliknij w ikonkę, aby udostępnić ten zasób

Google Classroom
Microsoft Teams

Kliknij w ikonkę, aby skopiować link do tego zasobu

Link do tej strony
Link do filmu na YouTube

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

Ciągi arytmetyczne to chleb powszedni wielu sportowców. Przed ważnymi zawodami stopniowo zwiększają oni swoje obciążenia treningowe tak, by w określonym dniu być w optymalnej formie. Jeśli półmaraton ma się odbyć za 3 miesiące, najlepiej założyć, że trenując co drugi dzień należy wydłużyć dystans biegowy za każdym razem o 500 metrów. Pamiętaj jednak, że nie każdy trening musi być taki arytmetyczny. Wiesz już, że ciąg arytmetyczny wyraża się wzorem ogólnym an równa się a1 dodać w nawiasie n minus 1 zamknąć nawias razy r. Przyglądając się temu wzorowi zapewne bez problemu możesz stwierdzić, że znając wyraz początkowy i różnicę ciągu obliczysz dowolny wyraz ciągu. Jeśli jednak nie pamiętasz, jak to zrobić, obejrzyj film pod tytułem „Wzór ogólny ciągu – zadania”. W tym filmie pokażę ci, jak mając dane dwa wyrazy ciągu arytmetycznego, ustalić jego wzór ogólny, to znaczy obliczyć wyraz początkowy i różnicę. Popatrzmy na takie zadanie. Ciąg arytmetyczny an jest określony wzorem an równa się minus 2n dodać 1. Jaki jest pierwszy wyraz tego ciągu i ile wynosi jego różnica? Obliczmy najpierw pierwszy wyraz. W miejsce litery n wstawiamy 1. Otrzymujemy a1 równa się minus 2 razy 1 dodać 1, a to równa się minus 1. Pierwszym wyrazem naszego ciągu jest więc liczba minus 1. Pozostaje nam jeszcze obliczenie różnicy ciągu. Masz jakiś pomysł, jak to zrobić? Sugeruje nam to już samo słowo różnica. A co od czego będziemy odejmować? Musimy wziąć dwa kolejne wyrazy i od wyrazu stojącego na dalszym miejscu odjąć ten poprzedzający, czyli na przykład od wyrazu 5. odjąć 4. albo od czwartego trzeci albo od drugiego pierwszy. My wybierzemy ten ostatni wariant, bo pierwszy wyraz już znamy. Tak więc liczymy a2, czyli do wzoru w miejsce n wstawiamy dwójkę. Otrzymujemy: a2 równa się minus 2 razy 2 dodać 1, a to równa się minus 4 dodać 1, czyli minus 3. Teraz obliczamy różnicę a2 odjąć a1. a2 odjąć a1 to minus 3 odjąć minus 1, a to równa się minus 3 dodać 1, czyli minus 2. Zapiszmy odpowiedź. Pierwszym wyrazem tego ciągu jest liczba -1, a różnicą jest liczba -2. Pobawmy się jeszcze tym zadaniem. Skoro ciąg an jest arytmetyczny, a1 to minus 1, a różnica to -2, to inna postać wzoru ogólnego tego ciągu to an równa się minus 1 dodać w nawiasie n minus 1, zamykamy nawias, razy minus 2. Oba zapisy opisują ten sam ciąg. Aby przejść z tego wzoru do tego, należy obliczyć pierwszy wyraz i różnicę oraz wstawić do znanej już formuły. Aby przejść z tego wzoru do tego, należy uprościć to wyrażenie wykonując odpowiednie działania. Zauważ, że różnicę ciągu możemy obliczyć nie znając wartości kolejnych wyrazów. Wiemy, że an równa się minus 2n dodać 1. Mamy to w treści zadania. Możemy spróbować za pomocą wzoru obliczyć wyraz stojący po wyrazie n-tym. Jego pozycja to n plus jeden. W miejsce n wstawiamy do wzoru wyrażenie n plus 1 i obliczamy. an plus 1 równa się minus 2 razy w nawiasie n plus jeden zamykamy nawias dodać 1. Opuszczając nawias otrzymamy minus 2n odjąć 2, dodać 1, a po dodaniu minus 2 n odjąć 1. Różnica ciągu, czyli r, równa się a(n plus 1) odjąć an, czyli minus 2n odjąć 1 odjąć w nawiasie -2n plus 1. Opuszczamy nawias zmieniając znaki i otrzymujemy minus 2n odjąć 1 dodać 2n odjąć 1, 2n się redukuje i zostaje minus 2. Jak widzisz, tą metodą można obliczyć różnicę ciągu, wykorzystując jedynie wzór ogólny. Przejdźmy do innego zadania. Oblicz różnicę ciągu arytmetycznego, w którym piąty wyraz wynosi 3, a wyraz dziewiąty to 5. To zadanie da się rozwiązać dwiema metodami. Najpierw na logikę: przedstawmy nasz ciąg na rysunku. Zaczniemy od miejsca piątego, bo jego wartość znamy. To 3. Kolejny wyraz to a6. Jego wartości nie znamy, podobnie jak wartości a7 i a8. Wiemy za to, ile wynosi a9 – pięć. Aby otrzymać wyraz szósty, należy do piątego dodać różnicę ciągu. Nie znamy jej, więc oznaczamy ją literą r. Podobnie wyraz siódmy otrzymujemy dodając r do wartości wyrazu szóstego, a ósmy dodając wartość r do siódmego. I wreszcie, dodając r do a8 otrzymamy a9, czyli 5. Ile razy należy dodać tę samą liczbę do a5, aby otrzymać a9? 4 razy. Zapiszmy to. a5 dodać 4r równa się a9. a5 to 3, a9 to 5. 3 dodać 4r równa się 5. Otrzymaliśmy równanie z niewiadomą r. Rozwiąż je samodzielnie. Najpierw od obu stron odejmę 3, otrzymując 4r równa się 2. Teraz to równanie dzielę obustronnie przez 4 i otrzymuję, że r równa się 1/2. Tej różnicy poszukiwaliśmy. Możemy zapisać odpowiedź. Różnica tego ciągu to 1/2. Możemy jeszcze wykonać sprawdzenie, aby upewnić się, że ten wynik i ta metoda są poprawne. Zobacz: jeżeli do liczby 3 dodamy 1/2, otrzymamy 3 1/2. Jeżeli do tej liczby dodamy jedną drugą, otrzymamy 4. 4 dodać jedna druga to 4 i 1/2. Jeżeli do tej liczby dodamy jedną drugą, otrzymamy 5. Widzisz, że wszystko się zgadza. Pokażę ci teraz inny sposób. Dowolny ciąg arytmetyczny można opisać wzorem an równa się a1 dodać w nawiasie n minus jeden, zamykamy nawias, razy r. Wstawmy do niego to, co wiemy z treści zadania. Skoro a5 równa się 3, to wstawiając do wzoru w miejsce litery n liczbę 5 otrzymamy 3. 3 równa się a1 dodać w nawiasie 5 minus 1, zamykamy nawias, razy r. Podobnie skoro a9 równa się 5, to wstawiając do tego wzoru w miejsce litery n liczbę 9, otrzymamy 5. 5 równa się a1 dodać w nawiasie 9 odjąć 1, zamykamy nawias, razy r. Zobacz: powstał nam układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi. Rozwiąż go samodzielnie. Można to zrobić na kilka sposobów. Ja wykorzystam metodę przeciwnych współczynników. Najpierw uproszczę oba równania. Otrzymam 3 równa się a1 dodać 4r oraz 5 równa się a1 dodać 8r. Najłatwiej będzie otrzymać przeciwne współczynniki przy niewiadomej a1. Wystarczy, że jedno z naszych równań pomnożę przez -1, na przykład pierwsze równanie. Otrzymam wtedy minus 3 równa się minus a1 odjąć 4r. Drugie równanie przepisuję. Teraz dodajemy równania stronami, otrzymując po lewej minus 3 dodać 5, a po prawej minus 4r dodać 8r. Po uproszczeniu obu stron otrzymujemy że 2 równa się 4r. Teraz to równanie dzielimy obustronnie przez 4 i otrzymujemy... zgadnij, ile? 1/2, czyli taki sam wynik, jak poprzednią metodą. To od ciebie zależy, którą wybierzesz rozwiązując konkretne zadanie. My wykonaliśmy już wszystkie zadania w tej lekcji. Gratuluję. Znając wartości dwóch dowolnych wyrazów ciągu arytmetycznego i numery pozycji, na których stoją te wyrazy, możemy wyznaczyć różnicę tego ciągu i jego pierwszy wyraz. Aby to zrobić, ułóż układ równań, stosując wzór ogólny lub ułóż równanie z wyrazów i odpowiedniej liczby różnic. Ta playlista dotyczy ciągu arytmetycznego. Jeśli chcesz być na bieżąco z nowym materiałem, zasubskrybuj kanał.

Pobieranie materiałów

Poniższe materiały są udostępniane na otwartej licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 4.0.

cc-by