Myślisz, że logarytmy to nudna teoria? Nic bardziej błędnego. Wiesz, że w tej skali działają wszystkie nasze zmysły? Na przykład odbierana przez nas głośność dźwięku jest proporcjonalna do logarytmu nacisku powietrza na nasze bębenki. Wąchamy też logarytmicznie, co sprawia zresztą że skuteczność odświeżaczy powietrza jest zawsze mniejsza od oczekiwanej na podstawie samej obiektywnej zmiany stężenia smrodu. Warto poznać własności funkcji logarytmicznych. Zapraszamy na film. W optymalnych warunkach zaczyn drożdży piekarskich podwaja swoją objętość w ciągu pół godziny, a po godzinie mamy go już cztery razy więcej. Załóżmy, że mamy do dyspozycji idealne warunki oraz jedną szklankę zaczynu drożdżowego. W tabeli opisaliśmy zależność objętości zaczynu od czasu wyrastania drożdży. Możemy z niej odczytać, że po godzinie będziemy mieć 4 szklanki zaczynu a po 2,5 godziny aż 32 szklanki. Taka zależność to znana ci już może funkcja wykładnicza, o której mówiliśmy w innym filmie tej playlisty. W tym przypadku to funkcja 4 do potęgi t bo przy zmianie czasu o godzinę objętość drożdży rośnie czterokrotnie. A jak określić, ile czasu musimy poczekać by mieć trzy szklanki zaczynu? Zauważ, że tym razem chcemy wiedzieć jak czas oczekiwania zależy od objętości, a nie jaką objętość otrzymamy po określonym czasie. Nie będzie to więc zależność objętości od czasu a czasu od objętości. Co musimy zrobić, aby taką zależność przedstawić w tabeli? Zamienić ze sobą wiersze. A jak to będzie wyglądało na wykresie? Tak, jakbyśmy zamienili ze sobą osie. Teraz uzyskaliśmy wykres zależności czasu od objętości. Przybliżmy go nieco, aby odczytać po jakim czasie uzyskamy potrzebne nam trzy szklanki zaczynu. Po mniej więcej 3/4 godziny, czyli po 45 minutach a przykładowo sześć szklanek mniej więcej po godzinie i 20 minutach. Jak myślisz, jakim wzorem można opisać tę zależność? Pierwotnie to była funkcja wykładnicza, w której argument, czyli czas, znajdował się w potędze. Teraz chcemy ten czas obliczyć znając objętość. Jak przekształcić taki wzór? Jak zapytać o potęgę? Pytanie o potęgę to definicja logarytmu. Właśnie w nim odpowiedzią na działanie jest potęga. Przypomnij sobie definicję logarytmu. Logarytm przy podstawie a z b równa się c wtedy i tylko wtedy gdy a do potęgi c jest równe b. Innymi słowy liczba c jest odpowiedzią na pytanie: Do jakiej potęgi podniesiono liczbę a że wyszła liczba b? W naszym przypadku b to objętość, c to czas a to nasza czwórka. Po zamianie na logarytm otrzymujemy: t równa się logarytm przy podstawie 4 z V. To wzór, który pozwala obliczyć czas, w jakim uzyskamy potrzebną nam objętość zaczynu. Jednocześnie jest to też funkcja logarytmiczna. Zapomnijmy o drożdżach i zajmijmy się naszą zależnością w czysto matematycznym kontekście. Rozpatrzmy funkcję y równa się logarytm przy podstawie 4 z x. Zacznijmy od tabeli. Liczby usunęłam, aby pokazać Ci, jak je dobierać. Logarytmy istnieją tylko z liczb dodatnich więc będziemy wybierać tylko dodatnie iksy. Dla ułatwienia obliczeń wybierzmy takie z których łatwo nam będzie obliczyć logarytm z czwórką w podstawie. Z mniejszych od jedynki weźmy 1/4 i 1/2. Oprócz tego jedynkę, dwójkę, czwórkę, ósemkę i może jeszcze szesnastkę. Dla iksa równego1/4, logarytm przy podstawie 4 z 1/4 jest równy minus jedynce, bo podnosząc podstawę logarytmu, czyli czwórkę do potęgi minus 1, otrzymujemy 1/4. Wpisujemy do tabeli -1. Dla iksa równego 1/2 musimy policzyć logarytm przy podstawie 4 z 1/2. Jest trochę trudniej. Zastanówmy się. Żeby z czwórki uzyskać 1/2, trzeba czwórkę spierwiastkować, czyli podnieść do potęgi 1/2 a potem tę dwójkę odwrócić czyli podnieść do potęgi -1. Po drodze wykorzystaliśmy dwie potęgi: 1/2 i -1 czyli podnieśliśmy czwórkę do potęgi -1/2. Dla iksa równego 1, wynik to 0, bo każda liczba podniesiona do potęgi zerowej daje jedynkę. Dalszą część tabeli wypełnij samodzielnie a jeśli masz problem z obliczaniem logarytmów wiesz, gdzie zajrzeć. Gotowe. Zaznaczmy teraz te punkty na układzie współrzędnych i narysujmy nasz wykres. Dla x równego 1/4 y równa się -1 czyli punkt będzie tu. Dla x = 1/2 y to - 2, czyli tu. Dla iksa równego jednemu y jest równy 0. Dla dwójki y to 1/2. Dla czwórki - jeden. Dla ósemki półtora. I dla szesnastki - dwa. Otrzymaliśmy krzywą nazywaną krzywą logarytmiczną. Jest ona wykresem funkcji logarytmicznej. Przed orzeszkiem omówiliśmy przykład funkcji logarytmicznej. Czas na definicję. Funkcją logarytmiczną nazywamy taką funkcję w której argumenty występują jako liczba logarytmowana. Zapamiętaj, że jest ona określona tylko w sytuacjach, gdy podstawą logarytmu jest liczba większa od zera i różna od 1 co wynika z definicji logarytmu. Popatrz na znany ci już wykres. Powiedz, jakie własności funkcji możesz z niego odczytać? Po pierwsze, określ dziedzinę. Mówiliśmy już o tym, że liczba logarytmowana musi być większa od zera, więc dziedziną naszej funkcji są liczby dodatnie. D jest równe zakresowi od zera do plus nieskończoności. Wykres funkcji zbliża się do osi Y, jednak x nie może być równy 0, więc jej nigdy nie dotknie. Oś Y jest więc asymptotą pionową co zapisujemy jako x = 0. Zbiorem wartości jest zbiór liczb rzeczywistych. Choć wzrost jest tu niewielki to jednak funkcja cały czas rośnie. Z wykresu możemy też odczytać że nasza funkcja jest rosnąca w całej swojej dziedzinie. Funkcja posiada jedno miejsce zerowe. To x = 1. Przed orzeszkiem omówiliśmy własności funkcji: f(x) równe logarytmowi przy podstawie 4 z x. W podstawie logarytmu mamy tu liczbę większą od jedynki. Jeśli znasz już funkcję wykładniczą to możesz się domyślać, co spowoduje jej zmiana na liczbę mniejszą od jedynki. Zmieńmy czwórkę na 1/4 i uzupełnijmy tabelkę. Zrób to samodzielnie. Gotowe? Sprawdzamy. Aby z czwórki zrobić 1/4, musimy ją odwrócić a więc dodać minus do potęgi. Dlatego porównując tabelki możesz zobaczyć że wartości funkcji zmieniły znaki. Przenieśmy je na wykres. Dla 1/4 teraz wartość to nie -1 a 1. Dla 1/2 to 1/2, dla jedynki to nadal 0 i tak samo z kolejnymi punktami. Widzisz że wykresy funkcji f(x) równe logarytmowi przy podstawie 4 z iksa i h(x) równe logarytmowi przy podstawie 1/4 z x są jak lustrzane odbicia względem osi X. Spójrz na własności funkcji f(x) i zastanów się które z nich są takie same dla funkcji h(x) a które się zmieniły. Tak, zmieniła się tylko monotoniczność funkcji. Funkcja h od x jest malejąca. Zwróć uwagę, że obie przecinają oś X w tym samym punkcie. Tak dzieje się w przypadku wszystkich funkcji logarytmicznych, gdyż każda liczba podniesiona do potęgi zerowej daje jedynkę a logarytm to przecież odwrotność potęgi. Spójrzmy na jeszcze jedną taką parę funkcji logarytmicznych. g(x) = logarytmowi z iksa oraz i(x) równe logarytmowi przy podstawie 1/10 z x. Pamiętaj, że logarytm, w którym nie ma zapisanej podstawy, to logarytm dziesiętny a więc parą dla niego będzie logarytm o podstawie 1/10. I tu obie funkcje mają miejsce zerowe dla iksa równego jedynce. Jedna jest rosnąca, a druga malejąca. Od poprzedniej pary różnią się tylko tempem zmian. Funkcja logarytmiczna to każda funkcja matematyczna, zdefiniowana logarytmem o ustalonej podstawie. Jej argumentem jest liczba logarytmowana a wykresem Krzywa logarytmiczna. Zasubskrybuj nasz kanał pistacja.tv a twoja wiedza będzie jak funkcja logarytmiczna: najpierw szybko wzrośnie a potem nigdy nie zmaleje.