Wiesz, że logarytmy określają intensywność wielu otaczających nas zjawisk jak głośność dźwięku, czy intensywność trzęsień ziemi, ale czy wiesz, że mogą też określać internetową popularność? Wiele serwisów internetowych i wyszukiwarek porządkuje strony albo utwory przypisując im rangę zależną od liczby wyświetleń. Tę wartość opisuje właśnie skala logarytmiczna co oznacza, że strona o randze 2 ma 10 razy więcej wyświetleń niż ta o randze 1. A taka o randze 9? Jeśli udało Ci się policzyć, że miliard razy więcej gratulujemy. Jeśli nie, obejrzyj ten film by nabrać wprawy w liczeniu logarytmów. Funkcja logarytmiczna, o której mówiliśmy w innym filmie tej playlisty, opisuje wiele zjawisk. Aby sprawnie z niej korzystać potrzeba wprawy. A ta wymaga ćwiczeń. Dlatego w tym filmie rozwiążemy razem kilka zadań. Zadanie 1 Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji logarytmicznej f. Podaj wzór tej funkcji. Przypomnijmy jak wygląda wzór ogólny funkcji logarytmicznej. To f(x) równe logarytmowi przy podstawie a z x. Wiemy, że do wykresu naszej funkcji f należy punkt A o współrzędnych 16 i 2. 16 to współrzędna iksowa, 2 - igrekowa. 16 jest więc argumentem naszej funkcji 2 jej wartością, czyli igrekiem. Zapiszmy zatem tę funkcję. Y równa się logarytmowi przy podstawie a z x. Kiedy pod y podstawimy dwójkę, a pod x 16 otrzymamy równanie z jedną niewiadomą a. Jak je obliczyć? Skorzystajmy z definicji logarytmu. a do potęgi drugiej jest równe 16. Jeśli nie pamiętasz logarytmów zajrzyj do odpowiedniego filmu na pi-stacji. Zatem a jest równe 4 lub -4. Wiemy jednak, że a musi być liczbą większą od 0 czyli -4 nie spełnia warunków zadania. Rozwiązaniem naszego równania jest liczba 4. Nasza funkcja ma postać f(x) równe logarytm przy podstawie czterech z x. Zadanie 2 Funkcja logarytmiczna o wzorze f(x) równe logarytmowi przy podstawie 3 z x przyjmuje wartość -4 dla argumentu... i tu cztery argumenty do wyboru. Zacznijmy od przepisania naszej funkcji w formie y = logarytm przy podstawie 3 z x. Wartość to y, czyli y jest równe minus czterem. Podstawmy tę wartość do równania. Otrzymujemy -4 = logarytm przy podstawie 3 z x. Aby obliczyć x, czyli argument, o który pytają w zadaniu, najprościej skorzystać z definicji logarytmu. Wynika z niej, że 3 do potęgi -4 = x. Tym samym wiemy już ile wynosi nasz argument. Nie musimy nawet podnosić trójki do potęgi bo taki wynik znajdziemy w odpowiedziach. Schrup orzeszka, by nabrać sił na kolejne zadanie. Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f(x) równe logarytmowi przy podstawie 2 z x. Wykres ten przesunięto tak, że otrzymano wykres funkcji g określonej wzorem: g(x) równa się f(x + 2). Podaj miejsce zerowe funkcji g czyli tej po przesunięciu, a nie tej którą widzimy na wykresie. Funkcja g(x) powstała przez przesunięcie funkcji f(x) o dwie jednostki. W którą stronę? Spójrz na naszą graficzną przypominajkę. Jeśli to dla ciebie za duży skrót myślowy koniecznie zajrzyj do playlisty poświęconej zagadnieniu przesuwania wykresów funkcji. Widzimy, że w naszym przypadku chodzi o przesunięcie funkcji o dwie jednostki w lewo. Zróbmy to na wykresie. Ten punkt będzie tu, ten tu, a ten tu. Funkcja g(x) będzie przebiegać mniej więcej tak ale nie musimy jej nawet rysować, ponieważ nas pytają tylko o miejsce zerowe, czyli ten punkt. Miejsce zerowe tej funkcji to -1. Czas na ostatnie zadanie. Chemicy do określania kwasowości roztworów używają skali pH. Jest to funkcja logarytmiczna, w której zmienną jest stężenie jonów wodorowych H+. Ma ona postać: pH jest równe minus logarytmowi z H+, gdzie H+ to stężenie jonów wodorowych w molach na litr roztworu. Wyznacz pH roztworu, jeśli stężenie jonów wodorowych wynosi 1,7 razy 10^-4 moli na litr. Zaczynamy od przepisania naszej funkcji. pH to ujemny logarytm ze stężenia jonów wodorowych H+. Nie mamy tu zapisanej podstawy logarytmu co oznacza, że jest to logarytm dziesiętny. Możemy te dziesiątkę wpisać żeby o tym pamiętać. Stężenie jonów wodorowych to 1,7 razy 10^-4. Zapiszmy to. Teraz podstawmy do naszej funkcji. Widzisz że nasze pH to ujemny logarytm z jednej całej i siedmiu dziesiętnych razy 10 do minus czwartej. Mamy tu dwie liczby: tę i tę. Przypomnijmy wzory dotyczące działań na logarytmach. Nasz logarytm możemy zapisać jako sumę dwóch logarytmów. Minus zostawmy na razie przed nawiasem. Zmieni nam znaki, ale tym zajmiemy się później. Otrzymujemy logarytm dziesiętny z 1. liczby dodać logarytm dziesiętny z drugiej. Aby obliczyć taki logarytm potrzebujemy kalkulatora albo tablic z wartościami logarytmów dziesiętnych. Ale w tablicach mamy wartości tylko do jedynki. Co możemy z tym zrobić? Zapisać 1,7 jako 17/100 razy 10 i za chwilę znów rozbić ten zapis na dodawanie dwóch logarytmów. Drugi logarytm to po prostu -4. Zapiszmy to. W nawiasie otrzymujemy: logarytm dziesiętny z 17/100 dodać logarytm dziesiętny z 10 i odjąć 4. Ten logarytm znajdziemy już w naszej tabeli ale będzie to wartość przybliżona. -77 setnych. Logarytm dziesiętny z 10 to... Racja, jeden. I odjąć cztery. Opuśćmy teraz nawias, zmieniając znaki. 0,77 odjąć 1, dodać 4, to 3 i 77 setnych. I to jest właśnie pH naszego roztworu. Pamiętasz może, co ono oznacza? pH poniżej 7 znaczy, że jest to roztwór kwasowy. Funkcja logarytmiczna to funkcja, w której argumentem jest liczba logarytmowana a wykresem krzywa logarytmiczna. Zapamiętaj, że podstawa logarytmu musi być liczbą większą od zera i różną od jedynki co wynika z definicji logarytmu. Dzięki logarytmom można sprowadzić wielkie liczby do ludzkiej skali a dzięki pistacji możesz wybierać z wielkiej liczby filmów te, których akurat potrzebujesz by uzupełnić swoją wiedzę. Zapraszamy.