Z ciągami liczbowymi możemy często spotykać się w kulturze popularnej. W serialu „Fringe: Na granicy światów” agentka FBI wraz z genialnym naukowcem Walterem i jego synem tworzą zespół prowadzący śledztwa dotyczące serii zagadkowych zdarzeń. Walter, aby zasnąć, zamiast liczenia owiec cytuje kolejne wyrazy ciągu Fibonacciego. Wiesz już, że ciągi możemy opisywać wzorami. Spójrz zatem na ciąg an opisany wzorem n do kwadratu. Ten ciąg jest rosnący, malejący stały, nierosnący czy niemalejący? A może jest niemonotoniczny? Jak to sprawdzić? Wypiszmy kilka początkowych wyrazów tego ciągu. Pierwszym wyrazem ciągu an jest 1 do kwadratu, czyli 1. Drugim 2 do kwadratu, czyli 4. Trzecim 3 do kwadratu, czyli 9. Czwarty wyraz to 4 do kwadratu, czyli 16. Moglibyśmy oczywiście robić tak w nieskończoność, ale tyle nam wystarczy. Co obserwujemy? Każdy kolejny wyraz jest większy niż poprzedni. Spójrz na wzór tego ciągu — n do kwadratu. Pamiętaj, że n oznacza numery miejsc wyrazów ciągu, czyli w miejsce n możemy wstawiać kolejne dodatnie liczby naturalne. Zasada tworzenia kolejnych wyrazów polega na podnoszeniu kolejnych dodatnich liczb naturalnych do kwadratu. Logiczne jest zatem że każdy kolejny wyraz w tym ciągu jest większy niż poprzedni. Ciąg an jest zatem rosnący. Spójrz teraz na ciąg bn opisany wzorem n minus 3 w nawiasie do kwadratu. Wypisz samodzielnie kilka pierwszych wyrazów tego ciągu. Pierwszy wyraz to 4 drugi to 1, trzeci to 0. Co możemy zaobserwować do tego momentu? Każdy kolejny wyraz do tego momentu jest mniejszy niż poprzedni. Do tego miejsca ciąg maleje. A co się dzieje dalej? Czwarty wyraz to 1. Piąty to 4. Szósty to 9. Siódmy to 16. Od czwartego wyrazu każdy kolejny wyraz jest większy niż poprzedni. Oznacza to, że od czwartego miejsca ciąg rośnie. Badając monotoniczność ciągu wypisując kolejne wyrazy musimy mieć się na baczności. Ten ciąg najpierw maleje a później rośnie. Jest zatem niemonotoniczny. Wiemy, że ciąg jest rosnący gdy każdy kolejny wyraz jest większy niż poprzedni. Jak to zapisać w języku matematyki? Ciąg jest rosnący, gdy an plus 1 jest większe niż an. Skoro an plus 1 jest większe niż an to różnica an plus 1 i an będzie zawsze dodatnia. Skąd to wiemy? Wystarczy an przenieść na drugą stronę. Przypomnijmy sobie teraz kiedy ciąg jest malejący. Ciąg jest malejący, gdy każdy kolejny wyraz jest mniejszy niż poprzedni. Zapisujemy to tak: an plus 1 jest mniejsze niż an. Skoro an plus 1 jest mniejsze niż an to różnica an plus 1 i an będzie zawsze ujemna. A kiedy ciąg jest stały? Wtedy, gdy każdy kolejny wyraz jest taki sam jak poprzedni czyli an plus 1 równa się an. Oznacza to, że odejmując kolejny wyraz od poprzedniego, otrzymamy zawsze 0. A co z ciągami niemalejącymi i nierosnącymi? Ciąg jest niemalejący, gdy każdy kolejny wyraz jest większy niż poprzedni lub taki sam jak poprzedni. Zapisujemy to tak: an plus 1 jest większe bądź równe an. Skoro an plus 1 jest większe bądź równe an to różnica an plus 1 i an będzie zawsze większa lub równa zeru. Ciąg jest nierosnący, gdy każdy kolejny wyraz jest mniejszy niż poprzedni lub taki sam jak poprzedni. Zapisujemy to tak: an plus 1 jest mniejsze bądź równe an. Skoro an plus 1 jest mniejsze bądź równe an, to różnica an plus 1 i an będzie zawsze mniejsza lub równa zeru. Badanie różnicy między an plus 1 i an pozwala zatem określić, czy ciąg jest rosnący, malejący, stały nierosnący czy też niemalejący. Pokażę Ci jak to robić wykorzystując wzory ciągów. Weźmy na tapetę ciąg an równa się n plus 3. Czego potrzebujemy? Wzoru na an plus 1. W ciągu an w miejsce litery n wstawiamy w nawiasie wyrażenie n plus 1. Otrzymujemy w nawiasie n plus 1 a poza nawiasem dodać 3 czyli n plus 4. an plus 1 odjąć an to n plus 4 odjąć w nawiasie n plus 3 czyli n plus 4 odjąć n odjąć 3 a to wynosi 1. Różnica między kolejnymi wyrazami ciągu an jest liczbą dodatnią. Jaki z tego wniosek? Ciąg jest rosnący. Można to sprawdzić wypisując kilka kolejnych wyrazów tego ciągu. a1 to 4, a2 to 5, a3 to 6 a4 to 7, a5 to 8. Za każdym razem otrzymujemy liczbę większą od poprzedniej. Wszystko się zgadza. Przejdźmy teraz do kolejnego przykładu. Ciąg an jest opisany wzorem n do kwadratu. Tym ciągiem zajmowaliśmy się na początku lekcji. Zbadamy teraz jego monotoniczność obliczając różnicę między kolejnymi wyrazami ciągu. Zaufaj mi, napotkamy coś intrygującego! Wyznaczmy najpierw wzór na an plus 1. Spróbuj to zrobić samodzielnie. We wzorze na an w miejsce litery n wstawiamy w nawiasie wyrażenie n plus 1. Otrzymamy w nawiasie n plus 1 i to podnosimy do kwadratu. Stosując wzór skróconego mnożenia otrzymamy n do kwadratu dodać 2n dodać 1. Teraz badamy różnicę między kolejnymi wyrazami ciągu. Od an plus 1 odejmujemy an. Otrzymujemy n do kwadratu dodać 2n dodać 1 odjąć n do kwadratu. Zostanie nam 2n dodać 1. Zwróć uwagę, że nie mamy tutaj liczby a wyrażenie, które zależy od n. To jest ta intrygująca część o której mówiłem. Aby wytłumaczyć Ci to wyrażenie potrzebuję jego kilku pierwszych wartości. Obliczyliśmy, że an plus 1 odjąć an to 2n plus 1. Co się stanie, gdy do tego równania wstawię w miejsce litery n liczbę 1? Otrzymam a2 odjąć a1 równa się 2 razy 1 dodać 1, czyli 3. Ten zapis mówi nam, że różnica między drugim, a pierwszym wyrazem wynosi 3. Widzimy, że rzeczywiście tak jest. Wstawmy teraz do tego równania w miejsce litery n liczbę 2. Otrzymamy a3 odjąć a2 równa się 2 razy 2 plus 1, czyli 5. Ten zapis oznacza, że różnica między trzecim, a drugim wyrazem tego ciągu to 5. Trzeci wyraz to 9, drugi to 4. Różnica między tymi wyrazami wynosi 5. Znowu się zgadza. Wstaw teraz samodzielnie do tego równania w miejsce litery n liczbę 3 oraz oblicz wartość tego wyrażenia. Wstawiając w tym równaniu w miejsce litery n liczbę 3, otrzymamy: a4 odjąć a3 równa się 2 razy 3 dodać 1 czyli 7. Widać, że różnica między czwartym a trzecim wyrazem tego ciągu rzeczywiście wynosi 7. Jeśli an plus 1 odjąć an, po uproszczeniu będzie wyrażeniem, które zależy od n to różnica między kolejnymi wyrazami za każdym razem będzie inna. Może być zawsze dodatnia, zawsze ujemna albo czasami dodatnia i czasami ujemna. Może też wynosić 0. Badając różnice między kolejnymi wyrazami ciągu, też trzeba mieć się na baczności! Dla jedynki ta różnica wynosi 3 czyli jest dodatnia. Dla dwójki wynosi 5 czyli też jest dodatnia. Dla trójki wynosi 7 i też jest dodatnia. Zastanów się, jaka zachodzi zależność między kolejnymi różnicami. Im dalsza pozycja pary wyrazów tym różnica jest większa ale zawsze dodatnia. Ten ciąg jest zatem rosnący. Mam teraz polecenie dla Ciebie: spróbuj samodzielnie zbadać monotoniczność ciągu an równa się 3 odjąć 4n. Najpierw wyznaczamy wzór na kolejny wyraz ciągu, czyli na an plus 1. W miejsce litery n w tym wzorze w nawiasie wstawiamy wyrażenie n plus 1. Otrzymujemy 3 minus 4 razy w nawiasie n plus 1 czyli 3 minus 4n minus 4 a to wynosi –1 minus 4n. Teraz od an plus 1 odejmujemy an to daje nam –1 minus 4n minus w nawiasie 3 minus 4n. Po opuszczeniu nawiasu i zmianie znaków dostajemy: –1 minus 4n minus 3 plus 4n, czyli –4. W tym przypadku różnica między dwoma kolejnymi wyrazami jest zawsze taka sama i jest liczbą ujemną. Ciąg an jest malejący. Aby zbadać monotoniczność ciągu o podanym wzorze, musimy wykonać odejmowanie an plus 1 minus an i zinterpretować wynik. Jeżeli jest on liczbą dodatnią to ciąg jest rosnący. Jeżeli jest liczbą ujemną to ciąg jest malejący. Jeżeli wynosi 0, to ciąg jest stały. Gdy różnica jest wyrażeniem ze zmienną n to określenie monotoniczności wymaga dalszej interpretacji. Zapraszam Cię do obejrzenia pozostałych lekcji z tego działu oraz do zasubskrybowania naszego kanału aby byc na bieżąco.