Wyobraź sobie, że jesteś w próżni. Rzucasz piłkę do kosza. Próżnia sprawa, że na lecący przedmiot nie będzie napierało powietrze. Kształt lotu piłki, będzie wtedy idealną parabolą. Wiesz już, jak wygląda wykres funkcji y równa się x kwadrat. Przed wyrażeniem x do kwadratu nie ma żadnego znaku, więc możemy powiedzieć, że x do kwadratu jest przemnożone przez liczbę 1. Zobacz, co się stanie z wykresem tej funkcji, gdy x do kwadratu będziemy mnożyli przez liczby większe niż 1. Gdy x kwadrat pomnożymy przez 2 to ramiona tej paraboli znajdą się bliżej osi y. Ramiona paraboli dalej są skierowane do góry. Zobacz, co się stanie gdy x kwadrat pomnożymy przez 3. Ramiona tej paraboli są jeszcze bliżej osi y. Dalej są skierowane do góry. Gdy x kwadrat będziemy mnożyli przez liczbę 4, 5, 6 i 7 czyli przez coraz większe liczby to ramiona będą coraz bliżej osi y. Zauważ, że ramiona tej paraboli są cały czas skierowane do góry. Co jeszcze możemy zauważyć? Wszystkie te funkcje które przed chwilą Ci pokazałem mają wierzchołek w punkcie 0, 0. Wiesz również, jak wygląda wykres funkcji y równa się –x do kwadratu. Przed wyrażeniem x do kwadratu stoi minus. Oznacza to, że x do kwadratu zostało pomnożone przez –1. Ramiona tej paraboli są skierowane w dół. Gdy x kwadrat mnożymy przez liczbę ujemną to ramiona zawsze będą skierowane w dół. Gdy wyrażenie x kwadrat mnożymy przez liczbą dodatnią to ramiona zawsze będą skierowane do góry. Zobacz, co się stanie, gdy zamiast liczby –1, wyrażenie x kwadrat pomnożymy przez –2. –2 to liczba mniejsza niż –1. Widzisz jednak, że są one w dalszym ciągu skierowane w dół. Gdy x kwadrat pomnożymy przez –4 to ramiona będą w dół i jeszcze bliżej osi y. Taki sam efekt otrzymamy, gdy pomnożymy x kwadrat przez –5, –6 i –7. Można również zauważyć że wierzchołkiem każdej z tych funkcji jest punkt o współrzędnych 0, 0. Wierzchołek paraboli oznaczamy wielką literą W. Ważne jest, aby zapamiętać, że gdy x kwadrat mnożymy przez liczbę dodatnią to ramiona są skierowane do góry a gdy x kwadrat mnożymy przez liczbę ujemną, to ramiona są skierowane w dół. Czy pamiętasz, co dzieje się z ramionami gdy x kwadrat mnożymy przez coraz to większe liczby dodatnie? Ramiona będą coraz bliżej osi y. A czy pamiętasz, co dzieje się gdy x kwadrat mnożymy przez coraz mniejsze liczby ujemne? Ramiona również są coraz bliżej osi y. Do tej pory rozpatrywaliśmy przypadki w których x do kwadratu mnożyliśmy przez liczby całkowite. Teraz pokażę Ci, co się stanie gdy x kwadrat będziemy mnożyć przez ułamki zarówno dodatnie, jak i ujemne. Spójrz na wykres funkcji kwadratowej 1/2x kwadrat. Co można powiedzieć o ramionach paraboli będącej wykresem tej funkcji? 1/2 jest liczbą dodatnią więc ramiona będą skierowane do góry. Sprawdźmy, co się stanie z ramionami paraboli, gdy x kwadrat pomnożymy przez ułamek mniejszy niż 1/2. Na przykład przez 1/3. Zobacz: ramiona są szerzej rozłożone wzdłuż osi x. Są dalej od osi y. Mnożąc x kwadrat przez liczbę mniejszą niż 1/3, na przykład przez 1/4 efekt będzie jeszcze bardziej widoczny a wykres paraboli jeszcze bardziej rozciągnięty wzdłuż osi x. Podsumujmy: mnożąc x kwadrat przez coraz to mniejsze ułamki otrzymamy parabole coraz to bardziej rozciągnięte wzdłuż osi x. Dzieje się tak dlatego, że mnożenie przez ułamek mniejszy od jednego powoduje zmniejszenie wartości funkcji. Na przykład y równa się x kwadrat dla x równego jednemu, przyjmowała wartość czyli y, równą jednemu, a y równa się 1/3x kwadrat dla tego samego x przyjmie wartość 1/3 czyli wykres się spłaszcza. Teraz pokażę Ci, jak wygląda wykres funkcji –1/2x kwadrat. Ale zanim to zrobię mam do Ciebie pytanie. Jak będą skierowane ramiona paraboli będącej wykresem tej funkcji? W górę czy w dół? Tym razem x kwadrat mnożymy przez liczbę ujemną, więc ramiona paraboli będą skierowane w dół. A co się stanie z ramionami tej paraboli jeśli –1/2 zamienimy na –1/3? Ramiona nowej funkcji będą bliżej czy dalej od osi y? Widzisz, że ramiona oddaliły się od osi y a rozciągnęły wzdłuż osi x jak w poprzednim przykładzie. –1/3 to liczba większa niż –1/2 ale wartość bezwzględna tego współczynnika jest mniejsza. 1/3 to przecież mniej niż 1/2. Biorąc zatem pod uwagę wartości bezwzględne ułamków przez które mnożymy nasz x kwadrat zachowana jest zasada, że im mniejszy ułamek przez który mnożymy x kwadrat tym bardziej ramiona paraboli są rozciągnięte wzdłuż osi x. A co się stanie, gdy x kwadrat pomnożymy przez 0? Czy otrzymamy funkcję kwadratową? 0 razy x kwadrat to po prostu 0. y równa się 0 jest funkcją stałą. Jej wykresem nie jest zatem parabola lecz pozioma linia przechodząca przez y równe zeru czyli pokrywająca się z osią x. Pamiętaj zatem, że aby otrzymać funkcję kwadratową, x kwadrat możemy mnożyć przez dowolną liczbę, ale różną od zera. Podsumujmy nasze rozważania. Wykresem funkcji kwadratowej opisanej wzorem: y równa się a razy x do kwadratu gdzie a jest liczbą różną od zera jest parabola o wierzchołku w punkcie 0 i 0. Jej kształt zależy od współczynnika a. Jeżeli liczba, przez którą mnożymy x kwadrat jest dodatnia, to ramiona paraboli skierowane są w górę. Jeżeli ujemna, to ramiona paraboli są skierowane w dół. Przejdźmy teraz do zadania. Widzisz wykres funkcji kwadratowej o wierzchołku w punkcie 0, 0 przechodzący przez punkty A, B i C. Znajdź wzór tej funkcji oraz brakujące współrzędne punktów B i C. Co wiemy z treści zadania? Wierzchołek tej funkcji kwadratowej jest w punkcie 0, 0 a wykres przechodzi przez punkty A, B i C. Czy jesteśmy w stanie odczytać współrzędne któregoś z tych punktów? Tak. Współrzędne punktu A. Współrzędna x-owa tego punktu to minus pierwiastek z pięciu a współrzędna y to 3. Skoro wierzchołkiem tej paraboli jest punkt o współrzędnych 0, 0 to wiemy, że jej wzór można zapisać w postaci y równa się pewna liczba a różna od zera razy x do kwadratu. Aby wyznaczyć wzór tej funkcji należy obliczyć wartość współczynnika a. Czy masz pomysł, jak to zrobić? Do obliczenia wartości współczynnika a wykorzystamy współrzędne punktu A. Wstawiając w miejsce x w tym wzorze czyli y równa się ax kwadrat minus pierwiastek z pięciu a w miejsce y, 3 otrzymamy równanie z jedną niewiadomą. Mamy zatem: 3 równa się a razy w nawiasie minus pierwiastek z pięciu zamykamy nawias, do kwadratu. Minus pierwiastek z pięciu do kwadratu to 5. Otrzymujemy 3 równa się a razy 5 czyli a to 3/5. Wzór tej paraboli to y równa się 3/5 razy x do kwadratu. Ten wzór przyda się do znalezienia brakujących współrzędnych punktów B i C. Zobacz: znamy x-ową współrzędną punktu B. To –1 i 1/2. Jak wykorzystać ten wzór do znalezienia współrzędnej y punktu B? Wystarczy w miejsce x wstawić –1 i 1/2. Otrzymujemy y równa się 3/5 razy, w nawiasie –1 i 1/2 zamykamy nawias, do kwadratu. –1 i 1/2 to –3/2. Mamy więc 3/5 razy, w nawiasie –3/2 zamykamy nawias, do kwadratu. –3/2 do kwadratu to 9/4. 3/5 razy 9/4 to 27/20 czyli 1 i 7/20. Współrzędna y punktu B to 1 i 7/20. Teraz samodzielnie znajdź brakującą współrzędną punktu C. Tym razem znamy współrzędną y, wynosi 6. Nie znamy x-owej. Do jej znalezienia wykorzystujemy wzór funkcji. y równa się 3/5 razy x kwadrat. W miejsce y wstawiamy 6. Otrzymujemy 6 równa się 3/5 razy x do kwadratu. Żeby znaleźć x, obustronnie mnożymy to równanie przez 5/3. Otrzymujemy 10 równa się x kwadrat. Istnieją dwie liczby, które można podnieść do kwadratu, aby otrzymać 10. Pierwiastek z dziesięciu i minus pierwiastek z dziesięciu. Którą wybieramy? Popatrz na wykres. Punkt C znajduje się w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych a w niej wszystkie punkty mają dodatnią współrzędną x-ową. Brakującą współrzędną punktu C jest zatem pierwiastek z dziesięciu. Gotowe! Wykonaliśmy nasze zadanie! Gratulacje! Wykresem funkcji kwadratowej opisanej wzorem: y równa się a razy x do kwadratu gdzie a jest liczbą różną od zera jest parabola o wierzchołku w punkcie 0 i 0. Jej kształt zależy od współczynnika a. Gdy liczba a jest dodatnia ramiona paraboli są skierowane w górę a gdy ujemna, w dół. Zapraszam Cię do obejrzenia pozostałych lekcji o funkcji kwadratowej oraz do zasubskrybowania naszego kanału.