Czy wiesz, że funkcją kwadratową zajmowali się już starożytni Babilończycy? I to prawie 3000 lat temu? Zgłębiając tajniki tej funkcji uczysz się zatem wiedzy pradawnej! W tej lekcji opiszemy własności postaci kanonicznej funkcji kwadratowej. Zaczniemy od funkcji 1/2 razy w nawiasie x dodać 1 zamykamy nawias, do kwadratu dodać 3. Skupmy się na własnościach, które da się odczytać z wykresu pomocniczego. Można go łatwo narysować korzystając z dostępnych informacji. Postać kanoniczna funkcji to f od x równa się a razy, w nawiasie x odjąć p zamykamy nawias, do kwadratu dodać q gdzie p i q to współrzędne wierzchołka. W naszym przypadku p to –1, a q to 3. Wierzchołek jest w punkcie –1, 3. Nanieśmy go na układ współrzędnych. Współczynnik a w tej funkcji to 1/2. Jest dodatni, więc ramiona funkcji są skierowane do góry. Przejdźmy do opisywania własności. Zacznijmy od dziedziny funkcji. Dziedzina to inaczej zbiór argumentów czyli wszystkie liczby dla których da się obliczyć wartość funkcji. Do każdej liczby da się dodać 1 i wykonać resztę obliczeń. Nie ma tutaj żadnych ograniczeń. Skoro w miejsce x można wstawić dowolną liczbę to dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych. Dziedzinę możemy zapisać także w postaci przedziału. x należy do zbioru obustronnie otwartego od minus nieskończoności do plus nieskończoności. Oba zapisy są poprawne. Teraz zbiór wartości. Zastanów się, czy ta funkcja przyjmuje wartość równą –3. Można to sprawdzić, rysując bądź wyobrażając sobie poziomą linie przechodzącą przez –3. Funkcja przyjmuje tę wartość tylko wtedy jeśli taka linia przetnie nasz wykres. Jeśli nie przetnie, to znaczy że jej nie przyjmuje. I tak jest w tym przypadku. –3 nie należy do zbioru wartości. A –2? Też nie. A 0? Też nie. Tak samo jak 2. Pozioma linia dotknie wykresu tej funkcji dopiero w miejscu gdzie y jest równy trzem. +3 jest zatem najmniejszą wartością którą przyjmuje ta funkcja. A czy istnieje górna granica na której zatrzymują się jej wartości? Nie. Ramiona idą w nieskończoność do góry. Zbiorem wartości tej funkcji jest zatem zbiór lewostronnie domknięty od trzech do plus nieskończoności. Zauważ, że liczba 3 jest zarazem drugą współrzędną wierzchołka tej funkcji. Gdy ramiona są skierowane do góry to druga współrzędna wierzchołka paraboli jest jej najmniejszą wartością. Pozostałe wartości ciągną się do plus nieskończoności. Nie ma zatem wartości największej. Teraz wyznaczymy oś symetrii tej funkcji. Oś symetrii to prosta, która po narysowaniu dzieli parabolę na dwie symetryczne części. Zastanów się, jak narysować taką prostą. Oś symetrii paraboli to linia, która zawsze przechodzi przez jej wierzchołek i jest prostopadła do osi x więc równanie tej osi to x równa się współrzędna x wierzchołka czyli w naszym przypadku –1. Gotowe! Teraz przejdziemy do monotoniczności. Dla których x-ów funkcja maleje? Funkcja maleje, czyli jej wartości są coraz mniejsze dla x-ów należących do zbioru prawostronnie domkniętego od minus nieskończoności do –1. A dla których x-ów funkcja rośnie? Dla x-ów należących do zbioru lewostronnie domkniętego od –1 do plus nieskończoności. Zauważ, że monotoniczność paraboli jest związana z jej wierzchołkiem, ale istotny jest też kierunek ułożenia ramion. Teraz zadanie dla Ciebie. Samodzielnie narysuj wykres funkcji f od x równa się 2 razy w nawiasie x odjąć 1 zamykamy nawias, do kwadratu odjąć 2. Najpierw odczytuję z postaci kanonicznej p i q. p to 1, a q to –2. Wierzchołek znajduje się zatem w punkcie o współrzędnych 1 i –2. Współczynnik a jest dodatni więc ramiona paraboli są skierowane do góry. Mamy wykres. Przejdźmy do opisywania własności funkcji. Jaka jest jej dziedzina? Odpowiedz samodzielnie. Dziedziną każdej funkcji kwadratowej jest zbiór liczb rzeczywistych. Podaj teraz zbiór wartości tej funkcji. Widać na wykresie że najmniejszą wartością jest –2. Ramiona są skierowane do góry więc wartości ciągną się do plus nieskończoności. Oznacza to, że zbiorem wartości jest przedział lewostronnie domknięty od –2 do plus nieskończoności. Liczba –2 jest drugą współrzędną wierzchołka, czyli q. Wyczyszczę teraz tablicę żeby mieć miejsce na kolejne wnioski. Jaka jest oś symetrii naszej funkcji? Oś symetrii to prosta przechodząca przez pierwszą współrzędną wierzchołka a ta wynosi 1. Jej równanie to x równa się 1. Teraz monotoniczność. Spróbuj wyznaczyć ją samodzielnie. Funkcja maleje dla x-ów należących do przedziału prawostronnie domkniętego od minus nieskończoności do jednego. Liczba 1 jest pierwszą współrzędną wierzchołka. Funkcja rośnie dla x-ów należących do przedziału lewostronie domkniętego od 1 do plus nieskończoności. Spróbuj jeszcze powiedzieć ile miejsc zerowych ma ta funkcja? Widać na wykresie, że nasza parabola przecina oś x w dwóch miejscach. Oznacza to, że funkcja ma 2 miejsca zerowe. Nauczysz się je wyznaczać w playliście o postaci iloczynowej i równaniach kwadratowych. Przejdźmy do kolejnej funkcji. Zacznij od narysowania funkcji opisanej wzorem: –2 razy, w nawiasie x dodać 1 zamknąć nawias, do kwadratu odjąć 2. Mamy do czynienia z postacią kanoniczną. Najpierw wyznaczamy więc p i q. p to liczba z nawiasu ze zmienionym znakiem, czyli –1. q to –2. Współrzędne wierzchołka tej paraboli to –1 i –2. To jest ten punkt. Współczynnik a to –2. Jest ujemny, więc ramiona paraboli są skierowane w dół. Mamy wykres funkcji. Przejdźmy do opisywania jej własności. Jaka jest dziedzina tej funkcji? Dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych, jak w każdej funkcji kwadratowej. Teraz zbiór wartości. Ramiona tej paraboli inaczej niż w poprzednich przykładach są skierowane w dół. Wierzchołek nie jest najniższym a najwyższym punktem tej paraboli. Najwyższą wartością jest druga współrzędna wierzchołka, czyli –2. Pozostałe wartości ciągną się aż do minus nieskończoności. Nie ma zatem wartości najmniejszej. Zbiorem wartości tej funkcji jest przedział prawostronnie domknięty od minus nieskończoności do –2. Pamiętaj! Wartości zawsze opisujemy od dołu. Czyścimy tablicę żeby mieć miejsce na dalsze wnioski. Teraz samodzielnie wyznacz oś symetrii. Oś symetrii każdej paraboli to prosta równoległa do osi y przechodząca przez pierwszą współrzędną wierzchołka, czyli x równe–1. A jaka jest monotoniczność tej funkcji? Funkcja rośnie dla x-ów należących do zbioru prawostronnie domkniętego od minus nieskończoności do –1 czyli od minus nieskończoności do pierwszej współrzędnej wierzchołka. Funkcja maleje dla x-ów należących do zbioru lewostronnie domkniętego od –1, czyli od pierwszej współrzędnej wierzchołka do plus nieskończoności. Powiedz jeszcze, ile miejsc zerowych ma ta funkcja? Nasza parabola nie przecina osi x więc ta funkcja nie ma miejsc zerowych. Przejdźmy do ostatniego zadania. Podaj przykładowy wzór funkcji kwadratowej jeżeli wiadomo, że rośnie ona w przedziale prawostronnie domkniętym od minus nieskończoności do dwóch a zbiorem jej wartości jest przedział prawostronnie domknięty od minus nieskończoności do pięciu. Skoro zbiorem wartości funkcji jest przedział prawostronnie domknięty od minus nieskończoności do pięciu to 5 jest zarazem największą wartością tej funkcji oraz współrzędną y wierzchołka czyli q równa się 5. Spróbuj samodzielnie powiedzieć dla jakich argumentów ta funkcja rośnie. Skoro rośnie ona w przedziale prawostronnie domkniętym od minus nieskończoności do dwóch to oznacza że p, czyli pierwsza współrzędna wierzchołka, to 2. Stąd wzór funkcji w postaci kanonicznej wygląda tak: a razy, w nawiasie x odjąć 2 zamknąć nawias, do kwadratu dodać 5. Pozostało nam jeszcze określić ile wynosi a. Ponieważ funkcja przyjmuje wartość największą, a nie ma najmniejszej to na pewno a jest mniejsze niż 0. Ponieważ w zadaniu proszę o przykładowy wzór to wybieramy dowolną liczbę ujemną na przykład –3. Piszemy zatem odpowiedź: f od x równa się –3 razy w nawiasie x odjąć 2 zamknąć nawias, do kwadratu dodać 5. To jest przykładowy wzór funkcji kwadratowej, która spełnia warunki podane w treści zadania. Wykonaliśmy wszystkie wyzwania z tej lekcji! Gratulacje! Opisując własności dowolnej funkcji kwadratowej, takie jak: monotoniczność równanie prostej symetrii wartość najmniejszą oraz największą a także zbiór wartości potrzebujesz znać obie współrzędne jej wierzchołka, czyli p i q. Te odczytasz od razu z postaci kanonicznej funkcji kwadratowej która jest opisana wzorem: y równa się a razy, w nawiasie x odjąć p zamknąć nawias, do kwadratu dodać q. Zapraszam Cię do obejrzenia pozostałych lekcji o funkcji kwadratowej oraz do zasubskrybowania naszego kanału!