Girolamo Cardano włoski matematyk astrolog i lekarz epoki renesansu również badał równania kwadratowe. W oparciu o tę wiedzę wraz ze swoim asystentem odkrył sposób na rozwiązywanie równań trzeciego i czwartego stopnia. W tym filmie nauczymy się rozwiązywać równania kwadratowe z użyciem wzorów na pierwiastki. Wzory wyprowadziliśmy w poprzednim filmie. Przypomnijmy je sobie. Jeżeli mamy równanie kwadratowe zapisane w postaci ogólnej ax kwadrat dodać bx dodać c równa się 0 to zaczynamy od obliczenia delty. Jej wzór powinien już Ci być znany. Delta to b kwadrat odjąć 4 razy a razy c. Jeżeli delta jest większa od zera to równanie ma dwa rozwiązania. Jeżeli delta to 0 to równanie ma jedno rozwiązanie a jeżeli delta jest mniejsza od zera to równanie nie ma rozwiązań. Tutaj dla przypomnienia wzory na pierwiastki czyli rozwiązania równania kwadratowego. Zauważ, że gdy delta jest większa od zera to równanie ma dwa pierwiastki które różnią się między sobą tylko znakiem przed pierwiastkiem z delty. Zacznijmy od rozwiązania takiego równania. 2x kwadrat odjąć 3x dodać 1 równa się 0. Najpierw wypisujemy współczynniki. a to 2, b to -3, a c to 1. Teraz liczymy deltę aby sprawdzić, czy to równanie w ogóle ma jakieś rozwiązania. Delta to -3 w nawiasie do kwadratu odjąć 4 razy 2 razy 1 czyli 9 odjąć 8 a to daje nam 1. Widzimy, że delta jest dodatnia więc nasze równanie ma dwa rozwiązania. Pierwiastek z delty to w naszym przypadku również 1. Otrzymujemy 3 odjąć pierwiastek z delty czyli 1 podzielić przez 2a czyli przez 4. 2 podzielić przez 4 to 1/2. To jest pierwsze rozwiązanie naszego równania. Drugie spróbuj obliczyć samodzielnie. Podstawiamy: 3 dodać 1 podzielić przez 4 co daje 4/4, czyli 1. To równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania 1/2 oraz 1. Drugi przykład x kwadrat odjąć 5x dodać 10 równa się 0 zrób samodzielnie. Zaczynamy od wypisania współczynników. a to 1, b to -5, a c to 10. Co teraz? Liczymy deltę. -5 w nawiasie do kwadratu odjąć 4 razy 10 to 25 odjąć 40, czyli -15. Delta wyszła ujemna. Co to znaczy? Że równanie nie ma żadnego rozwiązania Czyli na tym kończymy. Zapamiętaj to! Jeśli delta jest mniejsza od zera to równanie kwadratowe nie ma żadnych rozwiązań. Teraz zmierz się z takim równaniem: x do kwadratu odjąć 2 pierwiastki z dwóch razy x dodać 2 równa się zeru. Wypisujemy współczynniki. a to 1, b to -2 pierwiastki z dwóch a c to 2. Delta wynosi w nawiasie -2 pierwiastki z dwóch do kwadratu odjąć 4 razy 1 razy 2. Otrzymujemy 8 odjąć 8 co daje nam 0. Co się dzieje jeżeli delta wynosi 0? Równanie ma jedno rozwiązanie. -b podzielić przez 2a czyli 2 pierwiastki z dwóch podzielić przez 2 co daje nam pierwiastek z dwóch. Gdyby o tym zapomnieć i podstawić współczynniki do wzorów na x1 i x2 nic by się nie stało. Po prostu dwukrotnie obliczylibyśmy to samo rozwiązanie. Kolejny przykład wygląda tak: 6x dodać 7 równa się x kwadrat. Spróbuj rozwiązać to równanie samodzielnie. Od czego zaczynamy? W przypadku równań kwadratowych zaczynamy od przerzucenia wszystkich elementów na jedną stronę a po drugiej zostawiamy 0. W naszym równaniu przerzucamy x do kwadratu na lewą stronę ze zmienionym znakiem otrzymując 6x dodać 7 odjąć x do kwadratu równa się zeru. Teraz uporządkujmy wyrazy od tych z najwyższą potęgą przy x-ie do tych z najniższą. Otrzymujemy: -x do kwadratu dodać 6x dodać 7 i to równa się zeru. Teraz na pewno nie pomylimy się przy wypisywaniu współczynników. Zobacz. a to -1, b to 6, a c to 7. Delta to: 6 do kwadratu odjąć 4 razy -1 razy 7 co daje 36 dodać 28, czyli 64. Jest to liczba dodatnia więc równanie ma dwa rozwiązania. Liczymy jeszcze pierwiastek z delty. Wynosi 8. Jesteśmy gotowi do obliczenia pierwiastków. x1 to -6 odjąć 8 podzielić przez -2 czyli -14 podzielić przez -2, co daje 7. Natomiast x2 to -6 dodać 8 podzielić przez -2, czyli 2 podzielić przez -2 co daje -1. Rozwiązaniami tego równania są liczby 7 oraz -1. Ten przykład jest także dla Ciebie do samodzielnego rozwiązania. 2 razy, w nawiasie 5 odjąć x kwadrat zamykamy nawias równa się 4x. Zaczynamy od zrobienia porządku w równaniu mnożąc nawias przez 2 otrzymując 10 odjąć 2x do kwadratu równa się 4x. Teraz wszystkie wyrazy przenosimy na jedną stronę otrzymując 10 odjąć 2x kwadrat odjąć 4x równa się zeru. Na koniec porządkujemy wyrazy, otrzymując: -2x kwadrat odjąć 4x dodać 10 równa się zeru. Moglibyśmy już przejść do wypisywania współczynników i obliczenia delty. Można jednak zauważyć że wszystkie współczynniki naszego równania są liczbami parzystymi. Zanim zaczniemy rozwiązywać to równanie warto zatem podzielić jego obie strony przez 2, otrzymując -x kwadrat odjąć 2x dodać 5 równa się zeru. Dzięki temu będziemy działali na mniejszych liczbach czyli będzie nam wygodniej liczyć. Wypiszmy współczynniki. a to -1, b to -2, a c to 5. Więc delta to -2 w nawiasie do kwadratu odjąć 4 razy -1 razy 5, czyli 4 dodać 20 co daje 24. Skoro delta jest dodatnia to równanie ma dwa rozwiązania. Co teraz? Potrzebujemy pierwiastka z delty. W tym przykładzie delta co prawda nie jest kwadratem żadnej liczby naturalnej ale to nie problem. Po prostu zapisujemy że pierwiastek z delty to pierwiastek z dwudziestu czterech. Po wyłączeniu czynnika przed znak pierwiastka otrzymujemy 2 pierwiastki z sześciu. Przechodzimy do obliczeń. x1 to 2 odjąć 2 pierwiastki z sześciu podzielić przez -2. Ten ułamek możemy rozpisać jako różnicę dwóch ułamków otrzymując 2 podzielić przez -2 odjąć 2 pierwiastki z sześciu podzielić przez -2. Po skróceniu otrzymujemy -1 dodać pierwiastek z sześciu. Drugie rozwiązanie będzie różniło się tylko znakiem przed pierwiastkiem z sześciu. x2 to -1 odjąć pierwiastek z sześciu. Gotowe. Rozwiązaliśmy to równanie. Na deser mam dla Ciebie jeszcze jedno trochę ciekawsze równanie. x do potęgi czwartej odjąć 4x kwadrat odjąć 5 równa się 0. Możesz się zastanawiać co równanie z czwartą potęgą robi w filmie o rozwiązywaniu równań kwadratowych ale wystarczy zauważyć że nasze x występują tylko w drugiej lub w czwartej potędze. Moglibyśmy zatem zapisać nasze równania jako x do kwadratu w nawiasie do kwadratu odjąć 4x kwadrat odjąć 5 równa się 0 a potem wprowadzić sobie pomocniczą literkę t, która będzie równa x-owi do kwadratu. Spróbuj teraz samodzielnie tak przerobić to równanie żeby zamiast niewiadomej x występowało tutaj tylko t. x do potęgi czwartej to to samo co x do kwadratu w nawiasie do kwadratu czyli t do kwadratu. -4x do kwadratu to -4t. Otrzymujemy równanie kwadratowe z niewiadomą t. t do kwadratu odjąć 4t odjąć 5 równa się zeru. Nie ma znaczenia, jak nazwiemy niewiadomą. Równanie rozwiązuje się tak samo. Zrób to samodzielnie. a to 1, b to -4, a c to -5, więc delta to 16 odjąć 4 razy 1 razy -5 czyli 16 dodać 20, co daje 36. To znaczy, że równanie z niewiadomą t ma dwa rozwiązania. Pierwiastek z delty to 6 więc t1 to 4 odjąć 6 podzielić przez 2 czyli -1, a t2 to 4 dodać 6 podzielić przez 2, czyli 5. Czy to koniec naszego zadania? Nie, bo chcemy znać wartość x, a nie t. Musimy się zastanowić ile wynosi x, jeśli t to 5. Skoro t to x do kwadratu to istnieją dwie liczby które podniesione do kwadratu dają 5. Pierwiastek z pięciu i minus pierwiastek z pięciu. A co z drugim t? Czy istnieje liczba która podniesiona do kwadratu da -1? Nie. To jest równanie sprzeczne. Ostatecznie nasz przykład ma tylko dwa rozwiązania. Pierwiastek z pięciu i minus pierwiastek z pięciu. To wszystkie przykłady, które przygotowałem dla Ciebie w tej lekcji. Gratulacje. Jak rozwiązywać równania kwadratowe przy wykorzystaniu wzorów na pierwiastki? Najpierw porządkujemy równanie doprowadzając je do postaci 0 równa się ax kwadrat dodać bx dodać c Następnie liczymy deltę. Jeżeli delta jest ujemna, to stwierdzamy że równanie nie ma rozwiązań. Jeżeli delta to 0 to równanie ma jedno rozwiązanie, które liczymy ze wzoru -b podzielić przez 2a. Jeżeli delta jest większa od zera to równanie ma dwa rozwiązania które liczymy ze wzorów: -b odjąć pierwiastek z delty podzielić przez 2a oraz -b dodać pierwiastek z delty podzielić przez 2a. Równania kwadratowe i postać iloczynowa to zagadnienia, które występują prawie na każdym egzaminie maturalnym. Warto je poznać, oglądając lekcje znajdujące się w tym dziale. Wszystkie działy znajdziesz na naszej stronie internetowej pi-stacja.tv