Wiesz, że woda występuje w trzech stanach skupienia. Stałym jako lód, ciekłym i gazowym jako para. Tak samo jedną funkcję kwadratową da się zapisać w trzech różnych postaciach. Ogólnej, iloczynowej i kanonicznej. Jedna z nich nie zawsze jest możliwa do zapisania. Która? Tego dowiesz się z tej lekcji. Masz już niezbędną wiedzę, aby zamieniać postać kanoniczna na ogólną i odwrotnie. Ogólną na kanoniczną. W tym filmie pokażę Ci jak zamieniać postać ogólną i kanoniczną na iloczynową. Wzór postaci ogólnej to: y równa się ax kwadrat dodać bx dodać c. Przykładem takiej funkcji jest: y równa się x kwadrat odjąć x odjąć 2. Zamienię tą postać na postaci iloczynową. Czy pamiętasz wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej? Postać iloczynowa funkcji kwadratowej to y równa się a razy, w nawiasie x odjąć x1 zamknąć nawias razy w drugim nawiasie x odjąć x2 zamknąć nawias. Gdzie x1 i x2 to miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Czego zatem potrzebujemy, aby zamienić postać ogólną na postać iloczynową? Współczynnika a i miejsc zerowych. Ile wynosi współczynnik a tej funkcji? 1 Zostały do obliczenia miejsca zerowe. To zadanie dla Ciebie. Aby znaleźć miejsca zerowe tej funkcji należy rozwiązać równanie: x kwadrat odjąć x odjąć 2 równa się 0. Najpierw liczymy deltę ze wzoru: b kwadrat odjąć 4 razy a razy c. Mamy -1 do kwadratu odjąć 4 razy 1 razy -2, czyli 9. Skoro delta jest dodatnia to funkcja ma dwa miejsca zerowe. Pierwsze liczymy ze wzoru: -b odjąć pierwiastek z delty podzielić przez 2a. Mamy zatem 1 odjąć pierwiastek z dziewięciu, czyli 3 podzielić przez 2, co daje nam -1. Drugie miejsce zerowe liczymy ze wzoru: -b dodać pierwiastek z delty podzielić przez 2a. Po wstawieniu odpowiednich wartości otrzymujemy: 1 dodać 3 podzielić przez 2 czyli 2. Mamy już wszystko czego potrzeba do zamiany postaci ogólnej na postać iloczynową. Otrzymujemy: y równa się 1 razy w nawiasie x odjąć -1 zamknąć nawias razy w drugim nawiasie x odjąć 2. Jedynki przed nawiasem nie musimy zapisywać, a x odjąć -1 to x dodać 1. Postać iloczynowa tej funkcji to w nawiasie x dodać 1 zamknąć nawias razy w drugim nawiasie x odjąć 2. Gotowe. Zwróć uwagę, że nie ma znaczenia czy w miejsce x1 w tym wzorze wstawimy pierwsze rozwiązanie czy też drugie. Wstawiając w miejsce x1 liczbę 2 a w miejsce x2, -1 otrzymalibyśmy iloczyn dwóch nawiasów zapisanych w odwrotnej kolejności, a wiesz już że mnożenie jest przemienne. Spójrz teraz na taką funkcję: y równa się x kwadrat odjąć x dodać 4. Aby zapisać tę funkcję w postaci iloczynowej potrzebujemy współczynnika a oraz miejsc zerowych. Współczynnik a to 1. A miejsca zerowe? Aby je odnaleźć należy rozwiązać równanie x kwadrat odjąć x dodać 4 równa się 0. Współczynnik a to 1, b to -1, a c to 4. Liczymy deltę. b kwadrat odjąć 4 razy a razy c dla tej funkcji to -1 do kwadratu odjąć 4 razy 1 razy 4, czyli -15. To równanie nie ma zatem rozwiązań a co za tym idzie ta funkcja nie ma miejsc zerowych. Czyli nie da się jej zapisać w postaci iloczynowej. Sprawdźmy jeszcze jeden przypadek. Mamy tutaj funkcję: y równa się x kwadrat odjąć 4x dodać 4. Naszym zadaniem jest zapisanie tej funkcji w postaci iloczynowej. Spróbuj to zrobić samodzielnie. Współczynnik a to 1, b to -4, a c to 4. Delta równa się -4 do kwadratu odjąć 4 razy 1 razy 4, co daje nam 0. To równanie ma zatem jedno podwójne rozwiązanie, które liczymy ze wzoru: -b przez 2a. Otrzymujemy 4 podzielić przez 2 czyli 2. Spójrz na postaci iloczynową. We wzorze mamy x1 i x2. Nigdzie nie zostało jednak powiedziane że x1 i x2 nie mogą być identyczne. Wstawiamy zatem nasze podwójne rozwiązanie czyli 2 w dwa miejsca. Za x1 i za x2. Otrzymujemy 1 razy, w nawiasie x odjąć 2 zamknąć nawias razy w drugim nawiasie x odjąć 2. Iloczyn dwóch jednakowych nawiasów możemy zapisać jako potęgę czyli w nawiasie x odjąć 2 zamknąć nawias do kwadratu. Przypadek gdy funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe skrywa jeszcze jedną tajemnicę. Przeszliśmy od postaci ogólnej do postaci iloczynowej. A tę zapisaliśmy w postaci potęgowania. Zauważ, że ta postać jest jednocześnie postacią kanoniczną. Przypomnę Ci, że jej ogólna forma to: a razy, w nawiasie x odjąć p zamknąć nawias do kwadratu dodać q. Ile wynosi a? 1 Ile wynosi p? 2 A ile wynosi q? 0 Gdy postać iloczynowa ma jedno podwójne miejsce zerowe to funkcję możemy zapisać od razu w postaci kanonicznej. Zapisując iloczyn dwóch nawiasów w postaci potęgi. Wierzchołek tej funkcji jest zatem w punkcie 2 i 0. Teraz zajmiemy się taką funkcją zapisaną w postaci kanonicznej: y równa się 5 razy, w nawiasie x dodać 3 zamknąć nawias do kwadratu. Jak zapisać tę funkcję w postaci iloczynowej? Zauważ, że druga współrzędna wierzchołka wynosi 0. Tak jak w poprzednim przypadku. Kwadrat tego nawiasu zapiszmy w postaci iloczynu dwóch nawiasów. Otrzymujemy: 5 razy, w nawiasie x dodać 3 zamknąć nawias razy w drugim nawiasie x dodać 3. Gotowe. Mamy postać iloczynową, która ma jedno podwójne miejsce zerowe, -3. Spróbujmy podsumować czego dowiedzieliśmy się z dwóch poprzednich przypadków. Jeśli mamy postać kanoniczną funkcji kwadratowej, której druga współrzędna wierzchołka jest zerem, to jej wzór to: a razy, w nawiasie x odjąć p zamknąć nawias do kwadratu. Aby zapisać tę funkcję w postaci iloczynowej, należy zapisać kwadrat nawiasów w postaci iloczynu dwóch nawiasów. Otrzymamy: a razy, w nawiasie x odjąć p razy w drugim nawiasie x odjąć p. Porównajmy to z postacią iloczynową. A razy, w nawiasie x odjąć x1 razy w drugim nawiasie x odjąć x2. Widzimy, że x1 i x2 są równe p, czyli pierwszej współrzędnej wierzchołka. W takim przypadku p jest podwójnym miejscem zerowym funkcji kwadratowej. Można to też dostrzec na wykresie. Wykresem funkcji kwadratowej której druga współrzędna wierzchołka to 0, jest parabola, której wierzchołek leży na osi x. Pierwsza współrzędna, czyli p jest jednocześnie jedynym miejscem zerowym tej funkcji kwadratowej. Zwróć jednak uwagę że jest tak tylko w przypadku, gdy q wynosi 0. Nie ma znaczenia ile wynosi p. A jak zamienić na postać iloczynową postać kanoniczna, której p i q są różne od zera? Sprawdźmy. Mamy tutaj funkcję: y równa się 2 razy w nawiasie x odjąć 2 zamykamy nawias do kwadratu odjąć 1. Przypomnij sobie czego potrzebujemy aby móc zapisać postać iloczynową. Miejsc zerowych i współczynnika a. Wiesz jednak, że nie każda funkcja kwadratowa ma miejsca zerowe. Jak szybko sprawdzić czy nasza je ma? Zobacz. q jest mniejsze od zera, czyli wierzchołek paraboli jest pod osią x. a jest dodatnie, czyli ramiona wykresu są skierowane w górę, co oznacza że przetną oś x. Wiemy więc, że ta funkcja ma dwa miejsca zerowe, czyli da się ją zapisać w postaci iloczynowej. Jak to zrobić? Zapiszmy najpierw kwadrat tego nawiasu w postaci iloczynu dwóch nawiasów. Zauważ, że w uzyskaniu postaci iloczynowej przeszkadza nam -1. Co możemy zrobić? Pomnożyć przez siebie te nawiasy lub skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia. Otrzymamy: 2 razy, w nawiasie x kwadrat odjąć 4x dodać 4, zamykamy nawias odjąć 1. Mnożymy nawias przez 2 i od wyniku odejmujemy 1, otrzymując 2x kwadrat odjąć 8x dodać 7. Co otrzymaliśmy? Postać ogólną. Gdy druga współrzędna wierzchołka czyli q jest różna od zera, należy postać kanoniczną zamienić najpierw na ogólną tak jak zrobiliśmy to tutaj, a następnie postać ogólną zamienić na iloczynową. Zrób to samodzielnie. Delta tej postaci wynosi 8. Pierwsze miejsce zerowe wynosi 2 odjąć 1/2 razy pierwiastek z dwóch a drugie: 2 dodać 1/2 razy pierwiastek z dwóch. Postać iloczynowa tej funkcji kwadratowej to 2 razy, w nawiasie x odjąć w nawiasie 2 odjąć 1/2 razy pierwiastek z dwóch zamykamy nawias i raz jeszcze zamykamy nawias razy w drugim nawiasie x odjąć w nawiasie 2 dodać 1/2 razy pierwiastek z dwóch i zamykamy dwa nawiasy. Gotowe. Zapamiętaj! Gdy obie współrzędne funkcji kwadratowej zapisanej w postaci kanonicznej są różne od zera, to najpierw przechodzimy do postaci ogólnej, a dopiero później do iloczynowej. Warto tu wspomnieć, że po przejściu od postaci ogólnej do postaci iloczynowej może się okazać, że dana funkcja nie ma miejsc zerowych, czyli nie da się zamienić danej postaci kanonicznej w postać iloczynową. Pokażę Ci taki przykład. y równa się -3 razy, w nawiasie x odjąć 4 zamykamy nawias do kwadratu odjąć 5. Czy tę funkcję da się zapisać w postaci iloczynowej? Aby odpowiedzieć na to pytanie, sprawdźmy czy ta funkcja ma miejsca zerowe. Przeanalizujmy położenie wierzchołka i kierunek ramion. Druga współrzędna wierzchołka, czyli q to -5. Wierzchołek paraboli znajduje się zatem pod osią x. Współczynnik a jest ujemny, więc ramiona są skierowane w dół. Wynika z tego, że ramiona nigdy nie przetną osi x, czyli ta funkcja nie ma miejsc zerowych. Co za tym idzie? Nie da się jej zapisać w postaci iloczynowej. Dzięki temu sprawdzeniu, nie musimy zamieniać postaci kanonicznej na ogólną ani liczyć delty. Istnieje druga metoda zamiany postaci kanonicznej na iloczynową, wykorzystująca wzory skróconego mnożenia. Posłużymy się nią na przykładzie funkcji. y równa się minus razy, w nawiasie x dodać 3 zamknąć nawias do kwadratu dodać 4. Najpierw sprawdź samodzielnie korzystając ze współrzędnych wierzchołka czy ta funkcja posiada postać iloczynową. Wierzchołek jest w punkcie -3 i 4 a ramiona są skierowane do dołu więc przetną oś x. Stąd wynika, że funkcja ma miejsca zerowe i postać iloczynową. Zaczynamy od wyciągnięcia a przed całe wyrażenie. Nasze a wynosi -1, więc otrzymujemy: -1 razy, otwieramy nawias x plus 3 w nawiasie do kwadratu odjąć 4, bo zmieniamy znak i zamykamy nawias. Zauważamy, że 4 to 2 do kwadratu i w nawiasie kwadratowym mamy różnicę kwadratów dwóch wyrażeń. x dodać 3 i dwójki. Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia. a kwadrat odjąć b kwadrat gdzie a to x dodać 3, a b to 2. -1 przepisujemy. W pierwszym nawiasie jest suma. a dodać b, czyli x dodać 3 dodać 2. A w drugim różnica, czyli x dodać 3 odjąć 2. Po wykonaniu obliczeń otrzymujemy: -1 razy, w nawiasie x dodać 5 zamknąć nawias razy w nawiasie x dodać 1. Koniec. Aby zamienić postać ogólna funkcji kwadratowej na postać iloczynową najłatwiej jest skorzystać ze wzorów na x1 i x2. Aby zamienić postać kanoniczna na iloczynową, najprościej jest zacząć od przekształcenia jej do postaci ogólnej. Zapraszam Cię do obejrzenia pozostałych lekcji z tego działu oraz do zasubskrybowania naszego kanału aby być na bieżąco.