To, co się da, podziel na dwa. Bez namysłu dziel śpiewał kiedyś zespół Dwa Plus Jeden. W tej lekcji pokażemy Ci, że dzielenie kąta na dwa, wymaga jednak namysłu. Zwłaszcza w trójkątach. Zacznijmy od przypomnienia czym jest dwusieczna kąta. To taka półprosta, która ma swój początek w wierzchołku kąta i dzieli ten kąt na dwie równe części, czyli na dwa kąty o równej mierze. Na przykład dwusieczna kąta 60° dzieli ten kąt na dwa kąty po 30 stopni. Ta własność dwusiecznej jest prawdziwa dla każdego kąta także dla kątów wewnętrznych trójkąta. Czasem jednak mówiąc o dwusiecznej w trójkącie, nazywamy tak odcinek będący częścią wspólną trójkąta i dwusiecznej. Wiesz już, że dwusieczna w trójkącie dzieli kąt na połowy. Ale czy to oznacza że dzieli na polowy także przeciwległy do niego bok? Sprawdźmy to. Jeśli dwusieczna wychodzi z wierzchołka z którego wychodzą dwa boki o równej długości to tak, dzieli. AD = DC. Ale co się stanie, gdy boki te nie będą miały równej długości? Zauważ: BD nadal jest dwusieczną ale odcinki AD i DC nie są już równe. Zapamiętaj: w trójkącie dwusieczna kąta nie musi przechodzić przez środek przeciwległego boku chociaż czasem przechodzi. Pobawmy się naszym trójkątem. Obserwuj jak zmieniają się długości poszczególnych odcinków. Gdy wydłużamy bok BC, wydłużają się też odcinki CD i AD. Podobnie gdy zmieniamy położenie punktu A zmieni się i długość odcinka AD, i odcinka CD. Czy widzisz tu jakąś zależność? Jeśli nie, zaraz Ci pokażę. Weźmy dowolny trójkąt. Zauważ, że ten odcinek jest dwa razy dłuższy od tego, a ten dwa razy dłuższy od tego. To nie przypadek. Długości odcinków, na jakie dwusieczna kąta dzieli przeciwległy bok, zawsze są proporcjonalne do długości pozostałych dwóch boków. Można tu ułożyć proporcję i to na różne sposoby. Kiedy podzielimy 12 przez 6 otrzymamy taki sam wynik jak przy dzieleniu 20 przez 10. Czyli CD przez AD równa się BC przez AB. Możemy też zapisać, że AD przez AB równa się CD przez BC. W takim zapisie po obu stronach otrzymujemy wynik 3/5. Ten zapis proporcji jest łatwy do zapamiętania bo po jednej stronie równania dzielimy 2 odcinki leżące po jednej stronie naszej dwusiecznej A po drugiej 2 odcinki leżące po drugiej stronie. Tę zależność opisuje twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie. W dowolnym trójkącie dwusieczna kąta wewnętrznego dzieli bok przeciwległy na odcinki proporcjonalne do boków przyległych. Zależność tę przedstawia zapisana przez nas proporcja. AD przez AB równa się DC przez BC. Czas na zadanie. Dany jest trójkąt ABC, w którym CD jest dwusieczną kąta przy wierzchołku C a punkt D jest punktem przecięcia tej dwusiecznej z bokiem AB. Na podstawie rysunku wskaż które równości są prawdziwe. Ułóżmy proporcję. Ten odcinek ma się do tego, jak ten do tego czyli h przez b równa się e przez a. Czy mamy taką odpowiedź? Nie. Ale co się stanie, jeśli obrócimy oba ułamki czyli zapiszemy liczby odwrotne? Lewa strona nadal będzie równa prawej, czyli Tak. Pierwsza odpowiedź jest prawdziwa. Czy jest to jedyna poprawna odpowiedź? Polecenie sugeruje, że może ich być więcej. W proporcji możemy liczby mnożyć na krzyż a więc b razy e równa się a razy h. Poprawna jest zatem także odpowiedź B. Twierdzenie o dwusiecznej przyda się też w takim zadaniu. W trójkącie ABC bok AB ma długość 4 a bok BC 10. Dwusieczna kąta przecina bok AC w punkcie D takim, że AD równa się 2,5. Oblicz długość boku AC. Zacznijmy od proporcji. Wstrzymaj film i ułóż ją samodzielnie. AD podzielić przez AB równa się DC podzielić przez BC. Masz tak, jak ja? Super. Oznaczmy długość odcinka DC jako x. Wstawmy dane. Odcinek AD ma długość 2,5 AB - cztery, DC to nasza niewiadoma a BC ma długość 10. Po pomnożeniu na krzyż otrzymujemy: 4 razy x równa się 2,5 razy 10 czyli 4x równa się 25. Po podzieleniu równania obustronnie przez 4 otrzymujemy: x równa się 6 i 25/100. I właśnie taką długość ma odcinek DC. W poleceniu mieliśmy jednak obliczyć nie długość DC, tylko AC, ale to już proste. AC równa się 6,25 dodać 2,5, czyli 8,75. Możemy podać odpowiedź. Długość boku AC to 8 i 75 setnych. Oto kolejne zadanie. Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 6 i 8. Oblicz długości odcinków, na jakie dwusieczna kąta prostego tego trójkąta dzieli przeciwprostokątną. Zaczynamy od ułożenia proporcji. AD przez AB równa się DC przez BC. Wstawmy to, co wiemy już z rysunku. AB jest równe sześciu a BC jest równe ośmiu a więc AD podzielić przez 6 równa się DC podzielić przez 8. Znamy w tej proporcji jednak długości tylko dwóch odcinków. Musimy szukać pomocy w innej zależności. Co jeszcze wiemy? To, że trójkąt jest prostokątny. Taka informacja nigdy nie jest podawana bez przyczyny. Co możemy dzięki niej obliczyć? Tak, długość przeciwprostokątnej. Skorzystajmy z twierdzenia Pitagorasa. Jeśli potrzebujesz, zatrzymaj film i oblicz to w swoim tempie. Widzisz, że długość naszej przeciwprostokątnej wynosi dziesięć. Nadal nie wiemy, jaka jest długość odcinków AD i DC, ale wiemy że ich łączna długość to 10. Jak możemy to zapisać za pomocą jednej niewiadomej? Skoro cała przeciwprostokątna ma długość 10 to AD równa się 10 odjąć DC. Wstawmy to do naszej proporcji. Teraz zastąpmy DC iksem aby ułatwić sobie zapis. Mnożąc na krzyż otrzymamy 8 razy (10 - x) równa się 6x. Pomnóżmy nawias przez 8. Dostajemy: 80 odjąć 8x równa się 6x. Przenosimy niewiadome na lewą, a liczby na prawą stronę, pamiętając o zmianie znaku. Minus 8x odjąć 6x równa się minus 80 czyli minus 14x równa się minus 80. Po podzieleniu przez liczbę przy iksie otrzymujemy 80/14 co możemy skrócić do 40/7. Ostatecznie nasz wynik to 5 całych i 5/7 i taką długość ma odcinek DC. Obliczmy jeszcze długość drugiej części. AD równa się 10 odjąć 5 i 5/7 a to się równa 4 i 2/7. I gotowe. Mamy długości obu szukanych odcinków. Możemy podać odpowiedź. Dwusieczna kąta prostego w tym trójkącie dzieli przeciwprostokątną na odcinki o długościach: 5 i 5/7 oraz 4 i 2/7. Twierdzenie o dwusiecznej kąta mówi że dwusieczna kąta wewnętrznego trójkąta dzieli przeciwległy bok na odcinki proporcjonalne do długości pozostałych dwóch boków trójkąta. Dwusieczna dzieli kąt, a ty podziel się z koleżankami i kolegami linkiem do pi-stacji. To procentuje. Wiedzą.